:: Questões resolvidas de MATEMÁTICA.

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1 :: Questões resolvidas de MATEMÁTICA.
Espero que possa ajudar de forma fácil e rápida. Um GRANDE abraço e bom estudo. Fred Tavares

2 Como enfrentar todos os assuntos durante o ano?
O estudante que se prepara para um teste tem de dominar as ferramentas básicas da Matemática, que vai usar sempre. Como enfrentar todos os assuntos durante o ano? Cada pessoa tem o seu método de estudar, mas uma coisa não dá para deixar de lado: o esforço. O estudante precisa usar todos os recursos possíveis. Tem de estudar teoria, aprender conceitos, entender os exemplos que são dados e estudar sempre escrevendo. Matemática não dá para estudar só lendo. Como estudar Matemática Fred Tavares

3 Como estudar Matemática Um conselho: não se deve ficar um período inteiro tentando resolver um exercício que não sai. É contraproducente. Perdeu mais de 10, 15 minutos num exercício, põe de lado e registra: "não sei fazer este". Depois tenta de novo. Se ainda aí não conseguir resolver, deve pedir ajuda ao professor, ao plantonista ou a um colega. O pedido de ajuda correto deve ser no sentido de a outra pessoa dar dicas, orientação para resolver a questão – e não buscar a resposta pronta e desenvolvida. Abraços Fred Tavares Fred Tavares

4 Aplicando a propriedade distributiva: 2(2x+7) + 3(3x-5) = 3(4x+5) -1
Equação do 1º grau (UFPB) Qual a solução da equação abaixo: 2(2x+7) + 3(3x-5) = 3(4x+5) -1 Aplicando a propriedade distributiva: 2(2x+7) + 3(3x-5) = 3(4x+5) -1 4x+14+9x-15=12x+15-1 4x+9x-12x= (juntando os termos semelhantes) x= Portanto V={15} Fred Tavares

5 Em quanta horas as duas torneiras juntas encherão o tanque?
(Unb) Uma torneira A enche sozinha um tanque em 10h, uma torneira B, enche o mesmo tanque sozinha em 15h. Em quanta horas as duas torneiras juntas encherão o tanque? Sendo V a capacidade do tanque em 1 hora: “A” enche V/10 do tanque; “B” enche V/15 do tanque A e B enchem juntas: V/10 + V/15 = V/6 Sendo t o tempo em que as duas juntas enchem o tanque: V/6.t = V Portanto t = 6horas Equação do 1º grau Fred Tavares

6 (UFPR) Determine a expressão da função
representada pelo gráfico abaixo: Uma equação do 1º grau y=ax+b Pelo gráfico, concluímos: Quando x=0, y=2 ponto (0,2) Quando y=0, x=-4 ponto (0,-4) Substituindo os valores em y=ax+b: 2=a.0+b = -4a + 2 b= a = 1/2 Logo, a expressão é y = 1/2x+2. Equação do 1º grau Fred Tavares

7 (UFBA) Se f(g(x)) = 5x – 2 e f(x) = 5x + 4, determine a função g(x).
Função Composta (UFBA) Se f(g(x)) = 5x – 2 e f(x) = 5x + 4, determine a função g(x). Para esse caso basta substituir o x por g(x) f(x) = 5x + 4 f(g(x)) = 5.g(x) + 4 = 5x – 2. Logo, teremos: 5.g(x) + 4 = 5x – 2 5.g(x) = 5x – 2 – 4 g(x) = (5x – 6) 5 Fred Tavares

8 Subtraindo membro a membro, vem:
Geratriz Geratriz (UFBA) Qual a fração geratriz de 0, ? Seja x = 0, Podemos escrever: 10x = 3, 1000x = 391, Subtraindo membro a membro, vem: 1000x – 10x = 391, – 3, 990x = 388 x = 388/990 = 194/495, que é a fração geratriz procurada. Fred Tavares

9 Tratar-se de um problema de MMC - mínimo múltiplo comum.
(UEFS) Hoje, A e B estão de folga do trabalho. Sabendo-se que A tem folga de 6 em 6 dias e B, de 4 em 4 dias e que a folga dos dois coincide sempre a cada x dias, pode-se concluir que o valor de x é: Tratar-se de um problema de MMC - mínimo múltiplo comum. Então, MMC(4,6) = 12 Fred Tavares 4,6 2 2,3 2 1,3 3 1,1 12

10 É dado que A = 20 e V = F. Logo, substituindo, fica:
Geometria Espacial (UNICAMP) O número de faces de um poliedro convexo de 20 arestas é igual ao número de vértices. Determine o número de faces do poliedro. V + F = A + 2 dica ( Vamos Fazer = Amor a 2 ) É dado que A = 20 e V = F. Logo, substituindo, fica: V + F = A + 2 F + F = ; logo, 2F = 22 e daí conclui-se que F = 11. Portanto, o poliedro possui 11 faces. Fred Tavares

11 Um casal foi casar a filha. p: O padre perguntou a jovem.
Filha quantos anos você tem? j: A jovem respondeu. Tenho a metade da idade de minha mãe. p: O padre virou-se para a mãe da jovem e perguntou. Quantos anos a senhora tem? m: A mulher respondeu. Sou 10 anos mais nova do que meu marido. p: O padre virou-se para o marido da senhora e perguntou-lhe. Quantos anos o senhor tem? h: O Homem respondeu. A soma das nossas três idades é igual a um século. Raciocínio Fred Tavares

12 O ponto de partida é a idade da mãe que é igual a “x”
Resolução: O ponto de partida é a idade da mãe que é igual a “x” x + x + x + 10 = 100 (tirando o mínimo) x + 2x + 2x + 20 = 200 5x = 5x = 180 x = 180 : 5 x = 36 anos, a idade da mãe 18 anos, a idade da filha 46 anos, a idade do pai Raciocínio Fred Tavares

13 Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo.
Raciocínio Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio? 1tijolo = 1 kg + ½ tijolo 1tijolo – ½ tijolo = 1 kg ½ tijolo = 1kg se ½ tijolo pesa 1 kg, logicamente 1 tijolo pesa 2 kg, e um tijolo e meio, ou seja, 1 ½ tijolo pesa 3 kg. Fred Tavares Um prisioneiro encontra-se em uma cela de duas portas(saídas), a da liberdade(L) e a do fuzilamento(F), e em cada porta tem um guarda, sendo que um deles só fala a verdade e o outro só fala mentira, porém o prisioneiro não sabe quem fala a verdade nem o que mente. Qual a pergunta que ele deve fazer a qualquer um dos guardas para ganhar a liberdade? Basta fazer a pergunta para os dois guardas. Como vimos no enunciado do problema, tem um guarda que só fala mentira, portanto se o prisioneiro chegar para ele e perguntar ... Se eu perguntar para o seu colega qual a porta da liberdade, que porta ele vai indicar? Ele apontar para a porta (F).

14 (UFPB) Quantas vezes 100 é maior que 20?
Raciocínio (UFPB) Quantas vezes 100 é maior que 20? O referencial neste caso é 20, portanto apure a diferença entre os números dados, em seguida divida o resultado apurado pelo referencial, ou seja: 100 – 20 = 80 80 : 20 = 4, portanto 100 é 4 vezes maior que 20, ou na forma percentual, 100 é 400% maior que 20. Existe uma outra maneira de resolver este problema, através de uma equação: 20(x + 1) = 100 x + 1 = 100 : 20 x + 1 = 5 x = 5 – 1 x = 4, mais uma vez, 100 é 4 vezes maior que 20. Fred Tavares Qual a metade de dois mais dois? A metade de 2 é igual a 1, somado com 2 é igual a 3 ½ x = = 3

15 (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo).
Regra de Três (UEPB) Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do problema, temos: Velocidade (Km/h) Tempo (s) T Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: Quando a velocidade aumenta o tempo diminui. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T. Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima. Assim =200.T, donde segue que 200T=3600 e assim T=3600/200=18. Se a velocidade do corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso. Fred Tavares

16 a) 10 dias b) Um século c) 10 anos d) 100 séculos e) 10 séculos
(FUVEST) Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas dez músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as prováveis seqüências dessas músicas serão necessários aproximadamente: a) 10 dias b) Um século c) 10 anos d) 100 séculos e) 10 séculos Trata-se de um problema de permutações simples, ou seja, calcular o número de permutações simples de 10 elementos.  Da teoria, teremos: P10 = 10! = Portanto serão necessários 10! (fatorial de 10) dias, para esgotar todas as possibilidades. Vamos converter esse número em anos e, para isto vamos dividir por 360 dias (o mais exato seria dividir por 365 dias = 1 ano, mas o problema pede uma solução aproximada). Logo, vem: 10!/360 = /360 = dias ou 100 séculos Logo, serão necessários 100 séculos para esgotar todas as possibilidades, o que nos leva à  alternativa D. Análise Combinatória Fred Tavares

17 Obs: C4,3 = nº de combinações de 4 elementos, taxa 3.
Análise Combinatória Funções (UNICAMP) Uma mesa de quatro pernas pode oscilar. Já uma mesa de três pernas está sempre firme. Explique.   As três pernas determinam um único plano. Já as quatro pernas podem determinar mais de um plano, rigorosamente C4,3 = 4 planos, ocorrendo nesse caso, oscilação. Obs: C4,3 = nº de combinações de 4 elementos, taxa 3. Cn,p = ___n!____ dica para decorar: p!(n-p)! Fred Tavares Comigo não pode, não pode, não pode. (FFT) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e a função f: A em B, f(x) = x². Encontre o conjunto imagem fazendo os diagramas. F(x) = x2 F(0) = 02 = 0 F(1) = 12 = 1 F(2) = 22 = 4 Temos: No nosso exemplo a Im = { 0, 1, 4}

18 (FUVEST) Qual o valor da expressão a³-3a²x²y², para a=10, x=3 e y=1?
Basta que você substitua cada variável por seu valor. a³ a² x² y² 103 – = 1000 – = 1000 – 2700 = -1700 Expressões Fred Tavares (UNICAMP) Por definição (f+g)(x)=f(x)+g(x). Realizar a soma das funções f e g é o mesmo que obter os valores de f+g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Consideremos as funções reais: f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)} Qual o valor da função f+g? Logo temos: (f+g)(x)=f(x)+g(x). (f+g)(1)=f(1)+g(1) = = 7 (f+g)(2)=f(2)+g(2) = = 5 (f+g)(3)=f(3)+g(3) = = 7 (f+g)(4)=f(4)+g(4) = = 6 Resposta {(1,7),(2,5),(3,7),(4,6)}

19 Logo, fazendo a subtração f(1) – g(0) = 6 → -2 - a = 6 → a = -8
Funções Porcentagem ( UNESP) Sejam as funções f(x)=2x-4 e g(x)=3x+a. Se f(1)-g(0)=6, quanto vale f(2)+5g(7)=? Para f(x), vamos substituir 1 no valor de x e para g(x) vamos substituir 0. f(1) = 2.1-4=-2 g(0) = 3.0+a=a Logo, fazendo a subtração f(1) – g(0) = 6 → -2 - a = 6 → a = -8 Fred Tavares (Mack) Um pintor pintou 30% de um muro e outro pintou 60% do que sobrou. A porcentagem do muro que falta pintar é: 10% b) 15% c) 23% d) 28% e) 33% Resolução 1) 60% de 70% = 42% 2) 100% – 42% – 30% = 28%

20 (Mack) 12 professores, sendo 4 de matemática, 4 de geografia
Análise Combinatória Funções Exponencial (Mack) 12 professores, sendo 4 de matemática, 4 de geografia e 4 de inglês, participam de uma reunião com o objetivo de formar uma comissão que tenha 9 professores, sendo 3 de cada disciplina. O número de formas distintas de se compor essa comissão é: Resolução Dos 4 professores de cada uma das três disciplinas, serão escolhidos sempre 3 professores. O número total de comissões possíveis com 9 professores sendo 3 de cada disciplina é: C4;3 . C4;3 . C4;3 = 43 = 64 Fred Tavares (FUVEST) Se 2m = 3, então log254 é igual a: Resolução 2m = 3 logo m = log23 Então: log254 = log2 (2 . 33) = log log23 = m

21 Se o mapa está na escala de 1:20 000 000 então a distância
Funções (FUVEST) Um mapa está numa escala 1: , o que significa que uma distância de uma unidade, no mapa, corresponde a uma distância real de de unidades. Se no mapa a distância entre duas cidades é de 2 cm , então a distância real entre elas é de: Se o mapa está na escala de 1: então a distância de 2cm entre duas cidades corresponde a uma distância real de cm, ou seja, 400 km. Fred Tavares Paula digita uma apostila em 2 horas, enquanto Ana o faz em 3 horas. Se Paula iniciar o trabalho, digitando nos primeiros 50 minutos, o tempo necessário para Ana terminar a digitação da apostila é: Seja T o trabalho de digitar a apostila, e x o tempo, em minutos, necessário para Ana terminar a digitação iniciada por Paula. Tem-se que: Paula digita T em 2 horas e portanto T/120 por minuto. Ana digita T em 3 horas e portanto T/180 por minuto. Assim sendo, (T/120) (T/180). x = T 150 T + 2T x = 360 T então x = 105

22 (UFBA) Num grupo de 400 pessoas, 70% são não-fumantes.
O número de fumantes que devemos retirar do grupo, para que 80% das pessoas restantes sejam não-fumantes, é: I) O número de não-fumantes do grupo inicial é de 70% de 400 pessoas = ( ):100 = 280 pessoas. II) Seja x o número de fumantes que devemos retirar deste grupo. Para que o número de não-fumantes passe a ser de 80% das pessoas restantes, devemos ter: 280 = 80% (400 – x) então x = 50 Porcentagem Probabilidade Fred Tavares (UFRN) Considere a seqüência (2 , 3 , ..., 37), de números primos maiores que 1 e menores que 40. Escolhidos ao acaso dois deles, a probabilidade de serem ímpares consecutivos é: A seqüência dos números primos, entre 1 e 40, é: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37} Existem 5 pares de dois primos ímpares consecutivos em B:(3; 5), (5; 7), (11; 13), (17; 19) e (29; 31) Existem C12,2 = 66 duplas de elementos de B Então a probabilidade procurada é P = 5/66

23 Por regra de três composta temos: x = R . 2/3 . 4/2 . 5/6 = 10R/9
Produtos Notáveis Regra de Três ( DICA) Calcule 41x39 usando um produto notável. (40+1)(40-1) = 40² -1² = 1.599 Fred Tavares FATORAÇÃO ax+2a  =  a(x+2) a²-b² = (a+b)(a-b) a² - 4ab + 4b² = (a-2b)² 2x²-2 = 2(x²-1) = 2(x+1)(x-1) (UFCE) Um certo setor de uma empresa tem várias máquinas, todas com o mesmo custo operacional por hora. Se o custo de operação de 3 delas, em 2 dias, funcionando 6 horas por dia, é de R reais, então o custo de operação em reais de 2 delas, em 4 dias, funcionando 5 horas por dia, é igual a? Por regra de três composta temos: x = R . 2/3 . 4/2 . 5/6 = 10R/9

24 Valor financiado em P.A.: R$ 560,00 com razão R$ 40,00
(UFBA) Na compra a prazo de um aparelho eletrodoméstico, o total pago por uma pessoa foi R$ 672,00. A entrada teve valor correspondente a 1/6 do total, e o restante foi pago em 4 parcelas, cujos valores formaram uma progressão aritmética crescente de razão R$ 40,00.O valor da última prestação foi? Valor total: R$ 672,00 Entrada: 1/6 de R$ 672,00 = R$ 112,00 Valor financiado em P.A.: R$ 560,00 com razão R$ 40,00 Logo temos (x, x + 40, x + 80, x + 120). Então x + x x x = 560 Portanto x = 80 reais. A 4a prestação é x + 120, isto é, R$ 200,00. Porcentagem Combinatória Fred Tavares (UFPB) Em uma Olimpíada, a delegação de um país A se apresentou com 10 atletas e a de um país B, com 6 atletas. Os alojamentos da Vila Olímpica eram para quatro pessoas, e um deles foi ocupado por 2 atletas de A e 2 atletas de B. O número de maneiras distintas de formar esse grupo de 4 atletas era de ? Análise Combinatória, temos a fórmula da combinação C10, 2 . C6, 2 = = 675

25 O volume de um cilindro é (área da base) x altura
(CEFET) Uma pessoa comprou um vasilhame para armazenar água em sua casa e, colocar ,256 m3 de água, constatou que a parte ocupada correspondia a apenas 40% da capacidade total. Se esse vasilhame tem o formato de um cilindro circular reto e altura de 1 m, então o raio de sua base, em metros, é 0,256 _______ 40%  V = 0,64 m3 V _______100% O volume de um cilindro é (área da base) x altura  R2 . 1 = 0,64  R = 0,8m Geometria Espacial Equações Fred Tavares (CEFET) O valor de x que é solução, nos números reais, da equação 1/2 + 1/3 + 1/4 = x/48 é igual a:   = x então = x x = 52

26 (UFPR) Considere a função real de variável real, definida por
Logaritmos Complexos Polinômios (UFPR) Considere a função real de variável real, definida por f(x) = 3 + 2–x. Então f( log2 5 ) é igual a: Esta questão é extremamente simples e requer do vestibulando habilidade no uso de exponenciais e logaritmos. f(log2 5 ) = 3 + 2[–log25] = [log2(1/5)] = 3 + 1/5 = 16/5 Fred Tavares (UEPB) O polinômio P(x) = 2x3 – x2 + ax + b, em que a e b são números reais, possui o número complexo i como uma de suas raízes. Então o produto ab é igual a: Basta usar o Teorema de D’Alembert. P(i) = 2i – i2 + ai + b = 0 substituindo P(–i) = 2(–i)3 – (–i)2 – ai + b = 0 Ou seja: –2i ai + b = 0 2i + 1 – ai + b = 0 pela igualdade 1 + b = 0  b = – 1, logo – 2i ai – 1 = 0 a = 2. Portanto, ab = – 2

27 Esta questão é interessante,
(FUVEST) Uma seqüência de números reais é dita uma progressão aritmética de segunda ordem quando a seqüência formada pelas diferenças entre termos sucessivos for uma progressão aritmética. Assinale a alternativa na qual se encontra parte de uma progressão aritmética de segunda ordem. A)      (0, 5, 12, 21, 23) B)      (6, 8, 15, 27, 44) C)      (-3, 0, 4, 5, 8) D)      (7, 3, 2, 0, -1) E)      (2, 4, 8, 20, 30) A)      (5, 7, 9, 2) B)      (2, 7 12, 17) C)      ( 3, 4, 1, 3) D)      (–4, –1, –2, –1) E)      (2, 4, 12, 10) Claramente vemos que apenas (2, 7, 12, 17) representa uma parte de uma progressão aritmética. Portanto apenas a seqüência (6, 8, 15, 27, 44) contém parte de uma P. A. de segunda ordem. Progressão Aritmética Fred Tavares Esta questão é interessante, pois requer dos concorrentes habilidade de leitura compreensiva e posterior aplicação de um conceito. Construindo as seqüências das diferenças obtemos:

28 Análise Combinatória (FUVEST) A quantidade de números inteiros,positivos e ímpares, formados por três algarismos distintos, escolhidos dentre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, é igual a: É interessante notar que os algarismos escolhidos têm que ser distintos. Formemos um dos números pedidos sob a forma XYZ. Há 5 escolhas possíveis para Z pois XYZ é ímpar. Para X, há 8 escolhas possíveis, pois o zero não pode ser escolhido. Escolhidos X e Z, restam para Y 8escolhas dentre os 10 algarismos oferecidos. Logo, há 885 = 320 números. Fred Tavares João tinha 20 bolinhas de gude e queria distribuí-las entre ele e 3 amigos de modo que cada um ficasse com um número par de bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo número que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino? Resposta: Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, sobrarão 18 bolinhas para os outros 3 meninos. Se o segundo receber 4, sobrarão 14 bolinhas para os outros dois meninos. O terceiro menino receberá 6 bolinhas e o quarto receberá 8 bolinhas.

29 Na Páscoa, um comerciante de Ovos de Páscoa fez a seguinte promoção:
1 ovo = R$ 6,00 2 ovos = R$ 11,00 3 ovos = R$ 15,00 4 ovos = R$ 18,00 Um cliente realizou uma compra sob certas circunstâncias. Quantos ele pagou pela compra de 11 ovos? Quantos ele pagaria se comprasse 177 ovos? Sem promoção, quanto ele pagaria a mais pela compra dos 177 ovos? Resposta: Para comprar 11 ovos ele dividiu 11 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 3, assim ele usou a decomposição: 11= Custo=R$18,00+R$18,00+R$15,00=R$51,00. Para comprar 177 ovos, ele deve dividir 177 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 1, assim: 177=4×44+1 Custo=44×R$18,00+R$6,00=R$798,00. Aritmética Básica Fred Tavares

30 (UnB) Para obter os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número a. Com base nessa afirmação, obtenha o conjunto de divisores de cada um dos números: 13, , 32 e 60. Resposta: D(13)={1,13}, D(18)={1,2,3,6,9,18}, D(25)={1,5,25}, D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} e D(32)={1,2,4,8,16,32}. Obtivemos apenas alguns números naturais que, multiplicados entre si, têm por resultado 32: 1×32=32; 2×16=32; 4×8=32, 8×4=32, 16×2=32, 32×1=32. Divisores Fred Tavares (FFT) De que forma explícita podemos escrever o conjunto de todos os múltiplos de um número natural n? Resposta: O conjunto dos números naturais é N={0,1,2,3,4,5,...}. Se n é um número para o qual queremos obter os múltiplos, então a multiplicação de n por cada elemento de N será: M(n)={0,n,2n,3n,4n,...}.

31 (UEA) Resolver a inequação 4x-1+ 4x– 4x+1> –11/4 Resolução:
A inequação pode ser escrita 4x/4 + 4x – 4x.4 > - 11/4 Multiplicando ambos os lados por 4 temos: 4x + 4.4x – 16.4x > -11, ou seja: (1+4 – 16).4x > –11 ⇒ –11.4x > –11 e daí 4x < 1 Porém, 4x < 1 ⇒ 4x < 40. Como a base (4) é maior que 1, obtemos: 4x < 40 ⇒ x < 0 Portanto S = IR– (reais negativos) Exponencial Fred Tavares (UEA) O gráfico de f(x) = ax2 intersecta a curva y = 2x no ponto P de abscissa 1. O gráfico de f passa pelo ponto: Fazendo a igualdade ax2 = 2x Para x = 1, teremos que a = 2; Logo f(2) = 2.22 = 8 . O que nos leva a concluir que f passa pelo ponto Q(2,8)

32 (UEA) Supondo m > 0 e m ≠ 1, o valor de logm2 é igual a:
Logaritmos (UEA) Supondo m > 0 e m ≠ 1, o valor de logm é igual a: Resolução: Logm = Logm2 m1/3 = (1/3)/2 = 1/3 x 1/2 Resposta: 1/6 Fred Tavares