Fractais - Prof. Ilydio Pereira de Sá (USS / UERJ)

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1 Fractais - Prof. Ilydio Pereira de Sá (USS / UERJ)
OS FRACTAIS Matemática, beleza e aplicações: “A ordem na desordem” Prof. Ilydio Pereira de Sá (USS / UERJ)

2 "A Geometria dos Fractais não é apenas um capítulo da Matemática, mas também uma forma de ajudar os Homens a verem o mesmo velho Mundo diferentemente“ "O mundo que nos cerca é caótico mas podemos tentar limitá-lo no computador A geometria fractal é uma imagem muito versátil que nos ajuda a lidar com os fenômenos caóticos e imprevisíveis."                        Benoît Mandelbrot

3 Nas últimas décadas aconteceram investigações cujo tema central foi a construção e o estudo de novos objetos geométricos, denominados FRACTAIS pelo seu iniciador, Benoit Mandelbrot. Esses objetos constituem uma imagem de si, própria em cada uma de suas partes. Segue que suas partes lhe são semelhantes; propriedade conhecida como auto-similaridade ou auto-semelhança. A Geometria dos Fractais está intimamente ligada à uma ciência chamada CAOS. Essa ciência trouxe consigo o ver ordem e padrões, onde anteriormente só se observava o irregular, o aleatório, o imprevisível, digamos mesmo o caótico.

4 Entretanto, nota-se que o Caos colocou elos entre temas não relacionados, justamente pelas suas irregularidades. Temas como desordem na atmosfera, turbulência nos fluidos, variação populacional de espécies, oscilações do coração e cérebro, interligações microscópicas de vasos sanguíneos, ramificações alveolares, cotações da bolsa, forma das nuvens, relâmpagos, aglomerações estelares etc. foram estudados buscando-se então ligações entre diferentes tipos de irregularidades; e surpreendentes ordens no caos foram descobertas.

5 A Geometria Euclidiana clássica, com as suas formas perfeitas e simétricas não foi suficiente para dar conta dessa complexidade. As ferramentas da geometria fractal com suas formas foram elementos insubstituíveis de muitos cientistas, pois permitiram reformular antigos problemas. Em particular, os fractais revolucionaram a geração e a reprodução de imagens. Na constituição de nosso mundo, da natureza em geral, por mares e oceanos, separando os continentes e ilhas, com suas costas, suas montanhas e rios, rochas, plantas e animais, e acima as nuvens etc., temos componentes com suas formas nas quais dominam a irregularidade e o caos; tentar simplificá-las, empregando formas usuais da clássica geometria euclidiana, como triângulos, círculos, esferas, cones etc., seria absurdamente inadequado. A geometria dos fractais pode fornecer aproximações melhores para essas formas.

6 Benoît Mandelbrot Benoît Mandelbrot nasceu em Varsóvia (Polônia) em 1924, a sua família emigrou para França, devido à 2ª guerra mundial. Tinha um tio, Szolem Mandelbrot, que era professor de Matemática no “Collège de France” e era o responsável pela sua educação. Benoît freqüentou o “Lycze Rolin” em Paris, depois estudou em Lyon, e, mais tarde, foi para os Estados Unidos da América. Por fim estudou na École Polytechnique e na Sorbonne, em Paris e no Instituto Californiano de Tecnologia. A sua carreira acadêmica dividiu-se principalmente entre França e os EUA.

7 Mandelbrot, começou a ficar insatisfeito em relação à Geometria Clássica, uma vez, que ao explorar e resolver diversos problemas, os pontos, as linhas retas, os círculos, entre outros, não demonstraram ser abstrações adequadas para compreender a complexidade da natureza. A pesquisa de Mandelbrot forneceu teorias matemáticas para o fenômeno da probabilidade errática e métodos de auto-semelhanças em probabilidades. Levou a cabo uma pesquisa sobre processos esporádicos, termodinâmica, linguagens naturais, astronomia, geomorfologia, gráficos e arte com a ajuda do computador e criou e desenvolveu a geometria fractal.

8 Este prodigioso e ilustre matemático contemporâneo, é conhecido mundialmente como sendo o único responsável pelo enorme interesse nos chamados objetos fractais. Hoje em dia a sua geometria é conhecida através de bonitas gravuras coloridas que, enriqueceram tanto a matemática moderna como a arte e cujas aplicações já se estendem aos mais distintos ramos da ciência. “Nuvens não são esferas,montanhas não são círculos, um latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta“ Benoit Mandelbrot

9 O que são os fractais? Nos últimos anos, diferentes definições de fractais têm surgido. No entanto, a noção que serviu de fio condutor a todas as definições foi introduzida por Mandelbrot através do neologismo "Fractal", que surgiu do latino fractus, que significa irregular ou quebrado. Os fractais são formas geométricas abstratas de uma beleza incrível, com padrões complexos que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma área finita. Mandelbrot, constatou ainda que todas estas formas e padrões, possuíam algumas características comuns e que havia uma curiosa e interessante relação entre estes objetos e aqueles encontrados na natureza.

10 Um fractal é gerado a partir de uma fórmula matemática, muitas vezes simples, mas que aplicada de forma iterativa, produz resultados fascinantes e impressionantes. Além de se apresentarem como formas geométricas, os fractais representam funções reais ou complexas e apresentam determinadas características: auto-semelhança, a dimensionalidade e a complexidade infinita. Uma figura é auto-semelhante se cada parte dela é semelhante a toda a figura, ou seja, é uma forma irregular que pode ser subdividida em partes, e cada parte será uma cópia reduzida da forma toda. Podemos ainda dizer que os fractais são figuras geradas por processos iterativos “infinitos” providos, entre outras coisas, de rotações, translações e semelhanças de figuras geométricas.

11 AUTO-SEMELHANÇA Cada porção pequena do fractal pode ser vista como uma réplica reduzida do todo.

12 Gerando Fractais Sucessivas iterações de uma função sobre cada ponto.

13 Dimensão Fractal dos Sistemas Auto-Semelhantes
Os fractais são caracterizados em termos de sua dimensão, ou seja, de sua complexidade. As dimensões fractais apresentam valores quebrados, entre os valores das dimensões Euclidianas. Consideremos o seguinte fractal

14 Construção Substitui o segmento original por três segmentos com metade do comprimento anterior .

15 Construção Substitui o segmento original por três segmentos com metade do comprimento anterior .

16 Construção Substitui o segmento original por três segmentos com metade do comprimento anterior .

17 Construção Substitui o segmento original por três segmentos com metade do comprimento anterior .

18 Cálculo da Dimensão fractal
A cada geração substituímos um segmento por N segmentos de tamanho L. No nosso exemplo, cada segmento é sempre substituído por 3 segmentos de tamanho ½, logo, a dimensão desse fractal será:

19 DIMENSÃO FRACTAL – OUTROS EXEMPLOS
Curva de Koch Cada segmento é substituído por 4 segmentos de tamanho 1/3 Triângulo de Sierpinsky Cada triângulo é substituído por 3 triângulos de tamanho 1/4

20 EXEMPLO DE GERAÇÃO DE UM FRACTAL:
O FLOCO DE NEVE DE KOCH 2 1 3 4

21 SUGESTÃO PARA SALA DE AULA: INVESTIGANDO O TRIÂNGULO DE SIERPINSKY COM O GEOPLANO

22 ATIVIDADE: O TRIÂNGULO DE SIERPINSKY
Supondo que a área do triângulo inicial é 1 unidade, prove que, à medida o número de transformações aumenta, a área do triângulo de Sierpinsky tende para 0. 2) Exprima, em função da iteração (n), a área An do menor triângulo colorido da iteração n da construção do triângulo de Sierpinsky. 3) Mostre que, apesar da área do triângulo de Sierpinsky tender para 0, o perímetro total dos triângulos tende para  .

23 Fractais - Prof. Ilydio Pereira de Sá (USS / UERJ)
SOLUÇÃO Área  total dos buracos: 0  Área  total do triângulo de Sierpinski: 1 Número de novos buracos: 1 Área de cada novo buraco: ¼ Área total dos novos buracos : 1 x  ¼  = ¼ Área total  dos buracos: ¼ Área total do triângulo de Sierpinski: 1- ¼ Número de novos buracos: 3 Área de cada novo buraco: 1/16 Área total dos novos buracos: 3 x 1/16 = 3/16 Área total  dos buracos: 1/4 + 3/16 Área total do triângulo de Sierpinski: 1 - 1/4 - 3/16 Número de novos buracos: 9 Área de cada novo buraco: 1/64 Área total dos novos buracos: 9 x 1/64 = 9/64 Área total  dos buracos: 1/4 + 3/16 + 9/64 Área total do triângulo de Sierpinski: 1 - 1/4 - 3/16 - 9/64

24 1) Portanto a área dos buracos é assim dada por:
PG, ilimitada, de razão igual a ¾ Calculando-se o limite dessa soma, quando o número de parcelas tende ao infinito, teremos: LEMBRETE n   A área dos buracos tende de fato para 1 . Tendo em conta que : Área do triângulo  de Sierpinsky = 1 - Área dos buracos, conclui-se que a área do triângulo  de Sierpinsky tende para zero.    

25 2) Facilmente se observa que a área do menor triângulo colorido é igual à área do menor buraco da iteração n, portanto, pelo que vimos anteriormente, a área do menor triângulo colorido da iteração n é (1/4)n 3) Se chamarmos o perímetro do primeiro triângulo de 3 L, teremos que na primeira interação, o perímetro passará a ser igual a (3 L + L/2 + L/2 + L/2 = 4,5 L ou 3L x 1,5. Analogamente, na segunda interação, teremos que o perímetro será igual ao anterior (4,5 L) + 3 x (L/4 + L/4 + L/4) = 4,5 L + 9L/4 = 27L/4 = 6,75 L. Acontece que 6,75 L é igual a 4,5 L (perímetro anterior) multiplicado por 1, Logo ... Conclusão: temos que a seqüência dos perímetros é também uma PG, só que crescente (razão 1,5) e que, quando n tender ao infinito, o perímetro (1,5)n - 1 x 3L, tenderá também a infinito. Essa atividade nos mostra uma propriedade importante que ocorre nos fractais: Uma curva com perímetro tendendo ao infinito, mas com área finita.

26 EXEMPLOS DE FRACTAIS ANIMADOS

27 APLICAÇÕES DOS FRACTAIS
Nos últimos 20 anos, a geometria fractal e seus conceitos têm se tornado uma ferramenta central em muitas ciências, como: geologia, medicina, meteorologia, entre outros. Ao mesmo tempo, fractais são do interesse de designers gráficos e cineastas pela sua habilidade de criar formas novas e mundos artificiais mais realistas. Na Computação Gráfica, fractais, entre outras coisas, são utilizados para representar elementos da Natureza como crateras, planetas, costas, superfícies lunares, plantas, ondulações em águas, representação de nuvens; também são de grande importância para a criação de efeitos especiais em filmes, como por exemplo a criação do planeta Gênesis no filme Jornada nas Estrelas 2.

28 Os fractais auxiliam na criação de novas formas e mundos artificiais mais realistas, e na representação de elementos da natureza que a geometria tradicional não pode representar.

29 A geometria fractal ajuda a aproximar as ciências naturais e a computação da pesquisa matemática, e é utilizada como instrumento principal em várias ciências: Na biologia - Estudo da influência da superfície irregular das proteínas nas iterações moleculares; Na geografia - A descrição e caracterização de falhas sísmicas e, por conseguinte, terremotos são obtidos através do estudo de sua estrutura fractal. Além de terremotos, outros fenômenos geológicos podem ser estudados como, por exemplo, a dinâmica dos vulcões. Os fractais ainda podem ser usados na criação de modelos de crescimento demográficos. Na computação - Geração de terrenos e atmosfera com modeladores gráficos; criação de softwares de compactação de imagens (zipadores); criptografia, codificação e decodificação de áudio e vídeo.

30 Hoje em dia a compactação fractal de imagens disputa a preferência das empresas através do processo JPEG, uma das mais usadas atualmente. A compressão fractal de imagens vai ganhando espaço (a Microsoft, por exemplo, adotou esse método na sua enciclopédia Encarta). Na Medicina - Várias patologias cardíacas nada mais são que a falta de regularidade nas batidas do coração. Taquicardia e fibrilação, entre elas. Pesquisadores têm estudado a dinâmica do coração, bem como condições de suspensão e indução da fibrilação. Isto tem permitido a criação de equipamentos desfibriladores mais eficientes. O câncer ainda é uma moléstia a ser vencida. Além de novas terapias, os cientistas estudam novas formas de diagnóstico para que a identificação de tumores seja precisa e cada vez mais prematura. Uma das diferenças entre células sadias e doentes está nos diferentes padrões de crescimento de cada tipo. O exame destes padrões, utilizando recursos de geometria fractal, pode ser a chave para a criação de um sistema de detecção do câncer por computador (Ciência Hoje, ago. 1998).

31 Análise fractal do crescimento de tumores cerebrais in vitro.

32 Por que a Geometria Fractal nas salas de aula?
Conexões com várias ciências e com situações do cotidiano. Deficiências da Geometria Euclidiana para o estudo de formas da natureza. Os objetos naturais são com freqüência mais complicados e exigem uma geometria mais rica, que os modela com fractais. Difusão e acesso aos computadores e a tecnologias da informática nos vários níveis de escolarização; Existência do belo nos fractais e possibilidade do despertar e desenvolver o senso estético com o estudo e arte aplicada à construção de fractais, entendendo-se arte como toda ação que envolve simultaneamente emoção, habilidade e criatividade; Sensação de surpresa diante da ordem na desordem. Possibilitar momentos de investigação e envolvimento na elaboração de conjecturas e aprendizagens significativas.

33 AMPLIANDO OS CONHECIMENTOS

34 REFERÊNCIAS BARBOSA, R M, Descobrindo a Geometria Fractal. Autência Editora, BH: 2002. MANDELBROT, B – Objetos Fractais. Coleção Ciência Aberta, Gradiva, 1992. Site: Site: Site:

35 ANEXO: ALGUNS FRACTAIS NATURAIS

36 ANEXO: ALGUNS FRACTAIS CONSTRUÍDOS