3/30/2017 ISOMETRIAS 9º ano.

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1 3/30/2017 ISOMETRIAS 9º ano

2 Simetria: Que significado?
Serão as mãos simétricas? Será a nossa cara simétrica? Serão os bonecos simétricos?

3 Simetria: Que significado?
3/30/2017 Simetria: Que significado? A noção de simetria, sendo essencial em Matemática, não é exclusiva deste campo Simetria é uma ideia que o homem tem usado ao longo dos tempos para tentar compreender e criar ordem, beleza e perfeição. (Serra, 1993, p. 304, cit. Weyl) A noção de simetria é deveras importante em Matemática, nas artes visuais e em diversas ciências como a Cristalografia e a Física. (Oliveira, 1997, p. 70) Em geometria, simetria define-se em termos de isometrias Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem simetria. (Serra, 1993)

4 TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS
Isometrias Não isometrias Homotetias Translações Rotações Reflexões

5 3/30/2017 Isometria Definição: Isometria: Transformação geométrica que preserva as distâncias; as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente iguais. Quatro tipos fundamentais de isometrias: Rotação Translação Reflexão Reflexão deslizante

6 Translação Translação Translação associada ao vector
3/30/2017 Translação Translação Translação associada ao vector Translação associada ao vector Numa translação todos os pontos de uma figura se “deslocam” na mesma direção, no mesmo sentido e a mesma distância.

7 Dos Vetores para a Translação
Um vetor é um ser matemático que se define por uma direção, um sentido e um comprimento. Na Fisica as forças representam-se por vetores. Resistência do ar Gravidade

8 O que significa em Matemática direção e sentido?
Uma reta define uma direção e todas as que lhe são paralelas têm a mesma direção. Direção horizontal Direção vertical

9 A B Para cada direção existem dois sentidos.
Aqui, a direção horizontal tem ,em A, o sentido da esquerda para a direita e, em B, o sentido da direita para a esquerda.

10 Na figura estão representados 6 vetores.
Como os vetores a e e têm a mesma direção, mesmo sentido e o mesmo comprimento, são representações do mesmo vetor. c a AB = f e d b A B O vector f = vector AB, ou seja, um vector também pode ser representado usando dois pontos, um correspondente à origem e o outro à extremidade do vector. f Os restantes vetores diferem na direção, no sentido e/ou no comprimento.

11 Composição de Translações
b Fig. 2 Fig. 1 Fig. 3 A figura 2 foi obtida da figura 1 pela translação Ta . O simbolo ◦ entre translações é um sinal operacional como o simbolo + ou x entre números e lê-se “após”. A figura 3 foi obtida da figura 2 pela translação Tb .

12 Composição de Translações
b Fig. 2 Fig. 1 Fig. 3 Assim, podemos dizer que a figura 3 foi obtida da figura 1 pela translação composta Tb após Ta . O simbolo ◦ entre translações é um sinal operacional como o simbolo + ou x entre números e lê-se “após”. Tb após Ta escreve-se Tb ◦Ta . Composição de Translações

13 Soma de Vetores: A soma de dois vetores é um vetor que pode ser obtido através da “regra do paralelogramo”... a c = a + b b De notar que se somarmos dois vectores com o mesmo comprimento e direcção, mas com sentidos opostos, vamos obter o vector nulo. ...que consiste em construir um paralelogramo em que os lados são representações dos vetores e o vetor soma é a sua diagonal.

14 Translação Translação
3/30/2017 Translação Translação Translação associada ao vector é uma transformação geométrica em que cada ponto O do plano é transformado num outro ponto O’ (imagem de O) em que O’ = O + Translação da figura F associada ao vector F

15 3/30/2017 Reflexão Reflexão Os eixos de reflexão podem, ou não ter pontos em comum com a(s) figura(s) eixo de reflexão Cada ponto de uma figura e a sua imagem estão sobre uma reta perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo. É como se o peixe e a estrela se estivessem “a ver ao espelho”...

16 Reflexão Reflexão Reflexão da figura F de de eixo s
3/30/2017 Reflexão Reflexão Reflexão de eixo s é a transformação geométrica que faz corresponder a cada ponto O do plano o ponto O’ (imagem de O) de tal modo que: a recta s é perpendicular a [O O’] e passa pelo ponto médio de [O O’] (ou s é a mediatriz de [O O’]; se O pertence a s, a sua imagem coincide com O. s F Reflexão da figura F de de eixo s

17 Reflexão deslizante Reflexão deslizante
3/30/2017 Reflexão deslizante A composição de uma reflexão com uma translação associada a um vetor paralelo ao eixo de reflexão designa-se por reflexão deslizante. Reflexão deslizante O’’ imagem de O através da reflexão deslizante associada a s e ao vector s F

18 Rotação O Rotação 75º Rotação de centro O e amplitude 750
3/30/2017 Rotação O . Rotação 75º O peixe da esquerda “rodou” no sentido contrário aos ponteiros do relógio (sentido positivo), descrevendo um ângulo de vértice O e amplitude 75 graus. Rotação de centro O e amplitude 750

19 Rotação O 75º Rotação .O 2700 750 .O .O .O 1800 (meia volta) 3600 .
3/30/2017 Rotação O 75º . Centro de rotação: pode ser um ponto que não pertence à figura Rotação Centro de rotação: pode ser um ponto da figura .O 2700 750 .O .O .O 1800 (meia volta) 3600

20 Rotação Rotação Rotação de centro O e amplitude 900
3/30/2017 Rotação Rotação Rotação de centro O e amplitude α é uma transformação geométrica tal que: qualquer que seja o ponto P do plano, a distância de O a P é igual à distância de O à imagem de P (P’ ); a amplitude do ângulo orientado definido por P, O e P’ é igual a α. Rotação de centro O e amplitude 900 F F

21 Retomando a ideia de simetria de uma figura
3/30/2017 Retomando a ideia de simetria de uma figura De entre as aplicações mais interessantes das transformações e grupos de transformações estão as relacionadas com questões de simetria. Existindo muitas espécies de simetrias no plano e no espaço (...). (Oliveira, 1996, p. 187) Simetria de reflexão (ou simetria axial) Simetria de rotação (ou simetria rotacional) Simetria de translação Simetria de reflexão deslizante Há uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias referidos. (Serra, 1993, p. 305)

22 Simetria de reflexão de uma figura
3/30/2017 Simetria de reflexão de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Várias hipóteses... Se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente; Se conseguirmos colocar um espelho ou mira sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda; Se recortarmos a figura e conseguirmos preencher exactamente o buraco que fica na folha com a parte recortada mas virada ao contrário (com a parte de baixo do papel virada para cima); ...

23 Simetria de reflexão de uma figura
3/30/2017 Simetria de reflexão de uma figura Por vezes a simetria de reflexão é designada por simetria axial; o eixo de reflexão também se pode designar por eixo de simetria ou linha de simetria. (Serra, 1993, p. 305) Eixo de simetria? 1 eixo de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria

24 Simetria de reflexão de uma figura
3/30/2017 Simetria de reflexão de uma figura Eixo de simetria? 1 eixo de simetria 2 eixos de simetria 6 eixos de simetria 0 eixos de simetria 4 eixos de simetria Eixo de simetria de uma figura: Reta (sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira…) que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. Caso contrário, a reta não é eixo de simetria.

25 Simetria rotacional de uma figura
3/30/2017 Simetria rotacional de uma figura Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 00 e inferior a 3600 que deixa a figura globalmente invariante. Só neste caso se admite também uma simetria rotacional associada a um ângulo de 3600. Como a reconhecemos? Se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo, de modo a que a imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original. Figura com simetria rotacional Figura sem simetria rotacional (ou qualquer outro tipo de simetria)

26 Simetria rotacional de uma figura
3/30/2017 Simetria rotacional de uma figura C Que simetrias rotacionais tem a figura? C: Centro da simetria rotacional (ponto em torno do qual a figura “roda”) Ângulo da simetria rotacional: ângulo orientado que descreve o “movimento” da figura. Um quarto de volta (90º) Meia volta (180º) Três quartos de volta (270º) Uma volta inteira (360º)

27 Simetria de translação de uma figura
3/30/2017 Simetria de translação de uma figura Existe, pelo menos, uma translação que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Se podemos movimentar a figura segundo uma dada distância e uma dada direcção (identificadas pelo vector da translação) de tal modo que o seu transformado coincide com a figura original Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…

28 Simetria de reflexão deslizante de uma figura
3/30/2017 Simetria de reflexão deslizante de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão deslizante que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Se, por exemplo, depois de desenharmos a figura em papel transparente, de virarmos o papel ao contrário “em torno” de uma determinada reta e de o deslocarmos segundo a direção dessa reta, conseguirmos que o transformado da figura coincida com a figura original. Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…

29 Simetrias de polígonos
3/30/2017 Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? D C B A

30 Simetrias de polígonos
3/30/2017 Simetrias de polígonos Que simetrias existem num quadrado? Simetrias de reflexão 4 Eixos de simetria: 2 rectas que contêm as diagonais do quadrado e 2 rectas que passam pelos pontos médios de lados opostos Simetrias rotacionais 90º 4 Com centro no ponto de encontro das diagonais do quadrado e amplitudes 900, 1800, 2700 e 3600. B C D

31 Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
3/30/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Exemplos de rosáceas Rosáceas Figuras compostas por diversos módulos geometricamente iguais que se repetem por rotação. O centro de rotação é sempre o mesmo ponto, a amplitude da rotação é sempre a mesma e a divisão entre e a medida desta amplitude é exacta. Existe sempre um ponto do plano que é fixo para o grupo de simetria da figura (conjunto das transformações de simetria da figura). Têm sempre simetrias rotacionais, podendo ter também simetrias de reflexão.

32 Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
3/30/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Que simetrias existem nestas rosáceas? Identificar • • assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura

33 Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
3/30/2017 Que simetrias existem nestas rosáceas? Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Simetria de reflexão 2 eixos de simetria – lado/lado Simetria rotacional R rotação de 1800 R2 rotação de 3600 (identidade) R rotação de 600 R2 rotação de 1200 R3 rotação de 1800 R4 rotação de 2400 R5 rotação de 3000 R6 rotação de 3600 (identidade) Só simetria rotacional • Simetria de reflexão e simetria rotacional Identificar • assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura

34 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
3/30/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Exemplos de frisos Friso Figura infinita caracterizada por apresentar sempre simetrias de translação com a mesma e uma só direcção. No friso, o grupo de simetria fixa uma recta. Pode haver outras simetrias para além das de translação As barras cinzentas ou os motivos incompletos, indicam que a figura se prolonga indefinidamente para a esquerda e para a direita

35 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
3/30/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso? Identificar reta horizontal Nomenclatura adotada reta vertical

36 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
3/30/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso? Identificar reta horizontal Nomenclatura adotada reta vertical De translação. Por exemplo, translações associadas aos vectores e . De reflexão de eixo horizontal

37 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
3/30/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso? Identificar

38 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
3/30/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Que simetrias existem neste friso? Identificar De reflexão de eixo horizontal De reflexão de eixos verticais De translação da figura associadas a vectores com a direcção de e comprimento múltiplo do deste vector.

39 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
3/30/2017 Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos A partir de um motivo simples podem-se construir frisos muito diversos usando isometrias Construir [A´, B’, C’, D’] imagem do motivo simples através de uma reflexão de eixo r. A’ B’ C’ D’ [A’´, B’’, C’’, D’’] imagem de [A´, B’, C’, D’] através de uma translação de vector paralelo ao eixo de reflexão (recta r). A’ B’ C’ D’ A’’ B’’ C’’ D’’ r Motivo simples Nota: O motivo simples é, por vezes, designado por módulo