Floco de Neve (Koch snowflake)

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1 Floco de Neve (Koch snowflake)
Jorge Carpinteiro, nº6 Leila Calado, nº 7

2 Floco de Neve de Koch REGRA DE SUBTITUIÇÃO RECURSIVA
Triângulo Inicial Estrela de David REGRA DE SUBTITUIÇÃO RECURSIVA Comece com um triângulo equilátero sólido Quando vir um segmento fronteiro substitua-o por

3 Floco de Neve de Koch

4 Floco de Neve de Koch Como varia o número de lados com as transformações? Passos Número de lados Figura de partida 3 = 3 x 40 1 3x4 12 3 x 41 2 12x4 48 3 x 42 48x4 192 3 x 43 4 192x4 768 3 x 44 5 768x4 3072 3 x 45 O número de lados do Floco de Neve de Koch tende para o infinito.

5 Floco de Neve de Koch Como varia o comprimento de cada lado com as transformações? Passos Medida de cada lado Figura de partida 1 = 3-1 2 3-2 3 3-3 4 3-4 5 3-5 O comprimento de cada lado do Floco de Neve de Koch tende para zero.

6 Floco de Neve de Koch Como varia o perímetro da curva com as transformações? Podemos definir a sucessão dos perímetros Pn à custa das duas sucessões anteriores. Assim: Quando n tende para infinito, a sucessão Pn tende para infinito, logo podemos concluir que o perímetro da curva de Koch tende para infinito.

7 Floco de Neve de Koch Será que a área do floco de neve de Koch também cresce para infinito? Consideremos que a área do triângulo inicial tem uma unidade. A área da Floco de Neve de Koch está compreendida entre 1 e 2.

8 Floco de Neve de Koch A área do polígono, em cada passo, obtém-se adicionando à área do polígono do passo anterior a área de um triângulo equilátero, cujo lado é do anterior, multiplicada tantas vezes quantas o número de lados do polígono anterior. Pela semelhança de figuras planas, sabe-se que, se o lado de um polígono sofre uma redução de razão , a área sofre uma redução de

9 Floco de Neve de Koch ....

10 Floco de Neve de Koch A área do Floco de Neve de Koch é:
Então An+1 = 1 + Sn com Calculando o limite de Sn quando n tende para infinito tem-se: A área do Floco de Neve de Koch é:

11 Floco de Neve de Koch O Floco de Neve de Koch tem perímetro infinito e área finita. O facto de termos um perímetro infinito a “fechar” uma área finita pode parecer contrário à nossa intuição geométrica, mas é característico de muitas formas importantes na Natureza. O sistema vascular das veias e artérias no corpo humano, por exemplo, ocupa uma pequena fracção do corpo e tem um volume relativamente pequeno, mas tem um enorme comprimento: de ponta a ponta, as veias, artérias e capilares de um único corpo humano atingem cerca de 65 mil quilómetros. Modelo do Sistema Circulatório Humano

12 Exemplos de outros fractais

13 Mais Exemplos de Fractais

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18 Fractais A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objectos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham. Um fractal (anteriormente conhecido como curva monstro) é um objecto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objecto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente auto-similares e independente de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou interactivo. O termo foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polónia, que descobriu a geometria fractal na década de 1970 do século XX, a partir do adjectivo latino fractus, do verbo frangere, que significa quebrar. Vários tipos de fractais foram originalmente estudados como objectos matemáticos.