Juros Compostos Série Uniforme

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1 Juros Compostos Série Uniforme
“Se emprestares dinheiro a algum pobre dentre o meu povo que está comigo, não lhe serás como credor, nem lhe exigirás juros.” (Êxodo, 22:25) Juros Compostos Série Uniforme

2 Pagamentos Simples x Múltiplos Fluxos de Caixa
Até agora tratamos o juros compostos em pagamentos simples, isto é uma entrada e uma saída de caixa. O que acontece quando temos várias entradas (ou saídas) de caixa? É o que vamos ver a seguir.

3 Múltiplos Fluxos de Caixa
Digamos que você está pensando comprar um computador e para isso pretende fazer um plano de poupança da seguinte maneira: Daqui a 1 mês – depósito de $ 1.200,00 Daqui a 2 meses – depósito de $ 1.400,00 Daqui a 3 meses – depósito de $ 1.000,00 Se a taxa de juros é 8% a.m., qual a quantia que você terá daqui a 3 meses, para efetuar a compra do computador?

4 SOLUÇÃO O Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC)correspondente será: 0 1 2 3
VF = ? Lembrem-se que VF = VP(1+i)n ou VF = VP(1+0,08)n 1.000 1.200 1.400 x (1.08) 0 1.000,00 x (1.08) 1 1.512,00 x (1.08) 2 1.399,68 Vejam que o fluxo de caixa múltiplo é uma simples exten-são do pagamento simples. “Para calcular o valor em alguma data futura de uma série de fluxos de caixa, calcule o quanto cada fluxo de caixa valerá naquela data futura, e depois some esses valores futuros”. 3.911,68

5 Valor Futuro Calculado capitalizando adiante um período por vez
i = 10% a.a. 1 2 3 4 5 Tempo (anos) $0 0 $0 $ $2.000 $ $4.200 $ $6.620 $ $9.282 $10.210, $12.210,2

6 Valor Futuro Calculado capitalizando cada fluxo de caixa separadamente
Outra maneira de enxergar a capitalização 1 2 3 4 5 Temp o (anos) $2,000.0 $2,000 $2,000 $2,000 $2,000 x 1.1 $2,200.0 x 1.12 $2,420.0 x 1.13 $2,662.0 x 1.14 $2,928.2 Valor Futuro Total ,20

7 O básico Para se calcular o valor de uma série de fluxos de caixa usa a mesma matemática usada para se calcular o valor de um total. Avaliar uma série envolve avaliar cada quantia individual (i.é., o fluxo de caixa) e daí somarmos estes valores. Se os fluxos de caixa são quantias iguais e ocorrem em intervalos regulares de tempo podemos usar um atalho para avaliar a série.

8 IV.3.1 - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL
PROBLEMA: Determinar a quantia VF acumulada partir da série uniforme PGTO GRÁFICO

9 [1+(1+i)+(1+i)2 + .........+(1+i)n-2 + (1+i)n-1]
FÓRMULA: O primeiro pagamento rende juros durante (n - 1) períodos. No instante n seu valor será: PGTO (1 + i)n-1 . O segundo pagamento rende juros durante (n - 2) períodos. PGTO (1 + i) n - 2 e assim, sucessivamente, teremos (o último pagamento não rende juros) pago: PGTO (1+i)n-1 + PGTO (1+i)n PGTO (1+i) + PGTO ou VF = PGTO O fator entre colchetes é a soma dos n primeiros termos de uma Progressão Geométrica de razão (1 + i) [1+(1+i)+(1+i) (1+i)n-2 + (1+i)n-1]

10 VF = PGTO [ 1+ (1 + i)+(1+i)2+......+(1+i)n-2+(1+i)n-1]
Esta soma é dada por: [ ] = [1 - (1 + i)n]/[1 - (1 + i)] = = [1 - (1 + i)n]/(-i) = [(1 + i)n – 1]/ i Daí temos, DECORAR! O fator [.....] é chamado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital de uma série uniforme de pagamentos. Costuma ser representado por FAC(i,n) ou sni ( lê-se n ângulo ou cantoneira i). Este fator estabelece a equivalência entre o valor futuro VF e as prestações (ou parcelas) PGTO.

11 EXEMPLO 1 Seu Costa deposita anualmente US$ 3.000,00 na conta particular que mantém na Suíça. Qual será o saldo daqui a 5 anos, sabendo-se que o banco paga juros de 8% ao ano para este tipo de conta? SOLUÇÃO PGTO = US$ 3.000,00 i = 8% a.a. n = 5 anos VF = ? Pela FÓRMULA: VF = PGTO[{(1+i)n-1}/i] = 3000[{(1+0.08)5-1}/0.08] = 3000[{ }/0.08 = 3000[{ }/0.08 = = 3000[5.866] = ou VF = US$ ,00 A diferença é em virtude do arredondamento. Cuidado!!!!!

12 O problema da Aposentadoria
Você vai se aposentar daqui a 50 anos, mas já começou a poupar. Vamos supor que você queira acumular $ ,00 (tornar-se um meio milionário) até a data de sua aposentadoria para poder sustentar seu padrão de vida. Quanto você terá de poupar a cada ano entre agora e sua aposentadoria para satisfazer essa meta futura? Digamos que a taxa de juros seja de 10% a.a..

13 O problema da Aposentadoria
Solução PGTO = ? i = 10% a.a. n = 50 anos VF = Pela FÓRMULA: VF = PGTO[{(1+i)n-1}/i]  =PGTO[{(1+0,10)50-1}/0,10]  = PGTO[{1, }/0,10 = PGTO[{116,39}/0,10 = PGTO[1.163,91] ou PGTO = /[1.163,91] PGTO = $ 429,59 Na HP-12C teríamos, rapidamente: f FIN f 2 CHS FV 50 N 10 i PMT ,59 Não festeje sem antes considerar a inflação ! Lembre-se da ilha de Manhattan comprada por $ 24 dos índios

14 Exemplo 2 O corretor prometeu a um cliente que, se ele efetuasse 12 depósitos trimestrais de R$ 1.050,00, após o último depósito ele teria R$ ,00. Que taxa de juros o corretor está oferecendo ao cliente? SOLUÇÃO VF = PGTO = n = 12 trimestres i = ? VF=PGTO[{(1+i)n-1}/i]  =1.050[{1+i)12-1}/i]  i={1 + i}12 -1 {1 + i} i - 1 = Uma equação bem complicada!!!! Vamos resolvê-la por tentativas.

15 Exemplo 2 cont... Existem nos livros tabelas que mostram para vários valores de i o FAC(n,i) ou o S ni . Isso ajuda bastante ao “cercarmos” o valor de i. Procurando-se nessas tabelas para n = 12, encontramos o seguinte intervalo: S 128 = S 1210 = Com isso percebemos que o nosso valor da taxa i encontra-se no intervalo entre 8% e 10%, pois < < Esquematizando, temos 8 % i 10% Fazendo uma Interpolação Linear, temos :  i = ( ) =  i = % a.t.

16 Exemplo 2 cont... Rolo???? Ave-Maria!!!! E na HP-12C, hein???
Maior Moleza. Viram para que serve uma HP-12C na prática......

17 {1,04}n = 2,91123. Aplicando logaritmo em ambos os lados, temos:
Exemplo 3 cont... Quantos depósitos bimestrais de R$ 1.000,00 serão necessários para que, se a remuneração for de 4% a. b., se tenha R$ ,08? SOLUÇÃO VF = ,08 PGTO = 1.000,00 i = 4% a. b n = ? VF = PGTO Sni  ,08 = Sn4  Sn4 = ou seja  {1.04}n - 1 = 1,191123 {1,04}n = 2, Aplicando logaritmo em ambos os lados, temos: n log(1,04) = log(2,191123)   n = 20 bimestres ou seja, 20 depósitos bimestrais..... 

18 Exemplo 3 cont... Difícil ????? E na HP – 12C ?? Maravilha, sô !!!!!

19 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Uma pessoa deposita mensalmente numa caderneta de poupança o valor de R$ 5.000,00. Sabendo que o banco paga juros de 5,5% a . m., quanto possuirá no momento do 5º depósito? Resp:- R$ ,46 O Sr. X deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que esta financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. Resp:- R$ 520,40 Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de R$ 800,00, a 0,5% ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano? Resp:- R$ 9.868,45 Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ ,00? Resp:- R$ ,18 Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ ,00, à taxa de 25% ao ano. Resp:- R$ ,90 A que taxa uma pessoa, realizando depósitos mensais imediatos no valor de R$ 8.093,00, forma um capital de R$ ,00 ao fazer o décimo quinto depósito? Resp:- 1,5% ao mês.

20 VALOR PRESENTE DE UM FLUXO DE CAIXA MÚLTIPLO
Vamos ilustrar este conceito por meio de um exemplo. Suponhamos que seu revendedor de automóveis lhe dê uma escolha entre pagar $ por um carro novo, ou entrar em um plano de prestações onde você paga $ de entrada hoje e faz pagamentos de $ em cada um dos próximos dois anos. Qual o melhor negócio, se a taxa de juros é de 8% a.a?

21 SOLUÇÃO É aquele mais barato!
O segundo plano envolve um fluxo de caixa que acontece em instantes diferentes na linha do tempo. Lembrem-se que VP = VF(1+i)-n VP = VF(1+0,08)-n Só podemos comparar valores no mesmo instante. Para tanto, precisamos “descontar” o fluxo de caixa para uma DATA FOCAL, geralmente o presente (data zero). 8.000,00 4.000 4.000 x (1.08) -1 3.703,70 x (1.08) -2 3.429,36 Como o plano 2 conduz a um valor presente menor, será o mais barato e o preferido! 15.133,06

22 Fluxo de Caixa Mútiplos- Valor Presente
“O valor presente de um plano de prestações é igual à quantia que você precisaria investir agora para cobrir (ou gerar) os pagamentos futuros”

23 Valor Presente Calculado descontando de volta um período por vez
1 2 3 4 5 Tempo (anos) 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 i = 6% a.a. 1 2 3 4 5 Tempo (anos) $4.212,37 0,00 $4.212,37 $3.465, ,00 $4.465,11 $2.673, ,00 $3.673,01 $1.833, ,00 $2.833,40 $943, ,00 $1.943,40 1.000,00 $1.000,00 4.212,37 = Valor Presente Total

24 Valor Presente Calculado descontando cada fluxo de caixa separadamente i = 6% a.a.
1 2 3 4 5 Tempo (anos) $1.000 $1.000 $1.000 $1.000 $1.000 $943,40 x 1/1.06 x 1/1.062 $890,00 x 1/1.063 $839,62 x 1/1.064 $792,09 x 1/1.065 $747,26 $4.212,37 Valor Presente Total Muito trabalho Tchê

25 IV . 3.2 - FATOR DE VALOR ATUAL
PROBLEMA: Determinar o principal VP que deve ser aplicado para que se possa retirar PGTO em cada um dos n períodos subsequentes, ou seja, determinar o valor atual da série uniforme PGTO. Os vencimentos dos termos de uma série de pagamentos podem ocorrer no final de cada período (termos postecipados) ou no início (termos antecipados) ou com períodos de carência( termos diferidos). Trataremos aqui apenas das séries postecipadas e diferidas.

26 IV . 3.2 - FATOR DE VALOR ATUAL
FÓRMULA: primeiro pagamento : valor atual = PGTO/(1 + i) segundo pagamento: valor atual = PGTO/(1 + i)2 e assim, sucessivamente, temos para o último pagamento: valor atual = PGTO/(1 + i)n. VP = PGTO/(1 + i) + PGTO/(1 + i) PGTO/(1 + i)n VP = PGTO [ 1/(1 + i) + 1/(1 + i) /(1 + i)n ] Esta é a soma dos n primeiros termos de uma P.G. de razão 1/(1 + i) sendo o primeiro termo igual a 1/(1 + i). Assim,

27 IV . 3.2 - FATOR DE VALOR ATUAL
Êta...... O fator entre colchetes é chamado Fator de Valor Atual de uma Série Uniforme FVA(i,n). Às vezes representa-se este fator por a n i  e lê-se “a ângulo n a i” ou “a n cantoneira i” .

28 EXEMPLO 1 Um empresário pretende fazer um investimento no exterior que lhe renderá US$ ,00, por ano, nos próximos 10 anos. Qual o valor do investimento, sabendo-se que o empresário trabalha com taxas de 6% ao ano? Solução PGTO = US$ ,00 i = 6% a . a . n = 10 anos VP = ? Pela FÓRMULA: VP = PGTO[{1 - (1+i)-n}/i] = [{1 - ( )-10}/0.06]= [{1-(1.06)-10}/0.06] = [{ }/0.06] = [0.4416/0.06] = [7.36] = ou seja, VP = R$ ,00

29 EXEMPLO 1 cont... E na HP – 12C ???? Muito maneira esta calculadora.....

30 Treinando.... Para poder evitar impostos de espólio, sua rica tia Frederica lhe dará $ por ano por 4 anos, começando daqui a 1 ano. A taxa de juros é 7%. Quanto é o valor presente da doação planejada da benfeitora? Quanto você terá daqui a 4 anos se investir cada parcela? Isto é com vocês

31 EXEMPLO 2 Uma loja vende uma geladeira em 12 prestações mensais de R$ 120,55 ou em 24 prestações mensais de R$ 76,76. Qual é a forma de financiamento mais vantajosa para o comprador, se a taxa de juros for de 3 % a.m.? SOLUÇÃO Vamos calcular, nos dois casos, o preço à vista da geladeira. 1º Caso PGTO = 120,55 n = 12 i = 3% a.m. VP = PGTO ani VP = 120,55 a123 VP = 120,55 . 9, = 1.199, VP = R$ 1.199,96 2º Caso PGTO = 76,76 n = 24 i = 3% a.m. VP=PGTO ani VP=76,76 a243 VP=76,76 x 16, = 1.299,97 VP = R$ 1.299,97 O primeiro financiamento tem preço à vista menor e é, assim, a melhor forma para o comprador. Se o kra tiver os 120,55 paus para pagar a prestação.

32 EXEMPLO 3 Qual é a taxa mensal de um financiamento de R$ ,00 a ser pago em 12 prestações de R$ 1.800,00? Solução VP = ,00 PGTO = 1.800,00 n =12 VP = PGTOani =1.800 a12i a12i = = 7,5 Consultando as Tabelas de ani para n = 12, encontraremos a128 = 7, e a129 = 7, O valor que procuramos está entre estes dois valores. Vamos, então, montar a interpolação linear 8% ,536078 i ,  i -8= 9% ,160725 ou i = 8,096%

33 EXEMPLO 4 – Série Diferida
A propaganda de uma grande loja de eletrodomésticos anuncia: “Compre tudo e pague em 10 vezes. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 4 meses”. Se a taxa de financiamento é de 3% a.m., qual é o valor da prestação de uma geladeira cujo preço à vista é de R$ 2.800,00? Solução VP = 2.800,00 i = 3% a.m. carência = 4 meses n = 10. Visto que nos primeiros 3 meses não haverá parcelas, podemos aceitar que: P = P13 - P3 isto é P13 = Valor presente de 13 parcelas. P3 = Valor presente de 3 parcelas. Logo, VP = PGTO (a133 – a 33) ou = PGTO (10, , ) PGTO= = 358,68 Se não houvesse a carência, teríamos: VP = P10 = PGTO a 103 ou = PGTO ( )  PGTO = = 328,24 A diferença se deve à carência, isto é, fica embutido nas prestações o juro de “espera”. Caso não conhecêssemos o número de períodos n, uma outra maneira de atacar o problema de carência seria calcular o valor futuro ao término do período de carência( no exercício seria no instante 3), e adotá-lo como valor presente. Assim, P3 = 2800 ( )3 = 3.059,63 P3 = PGTO . a103  3.059,63 = PGTO . ( ) PGTO = 358,68 Assim que se trata o problema da carência

34 Mais Aposentadoria Suponhamos que você se aposente aos 70 anos. Você espera viver mais 20 anos, e gastar $ por ano durante sua aposentadoria. Quanto dinheiro você precisa economizar até os 70 anos de idade para sustentar esse plano de consumo? Suponha uma taxa de juros de 7% Fazer direto na HP - 12C

35 Mais outra Aposentadoria
A empresa Anuidade do Professor S/A oferece uma anuidade vitalícia para professores que estão se aposentando. Por um pagamento de $ aos 65 anos de idade, a empresa pagará ao professor aposentado $ 600 por mês até a sua morte. Se a expectativa de vida do professor for de mais de 20 anos, qual é a taxa mensal sobre essa anuidade? Qual é a taxa anual efetiva? Se a taxa de juros mensal for de 0,5%, qual o pagamento mensal de anuidade a empresa poderia oferecer ao professor aposentado?

36 Achando taxa efetiva na HP-12C
A fórmula básica é: (1 + iaa) = (1 + iam)n Na HP-12C isso pode ser feito como f FIN f 4 1 CHS PV Taxa mensal i 12 N FV Esta expressão pode ser pensada como VF = 1 . (1+iam)n Posso imaginá-lo como PV

37 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Qual é o valor da prestação mensal de um financiamento de R$ 3.500,00, feito à base de 2% a.m. em 10 prestações? Resp:- R$ 389,64 Pagando 20 prestações de R$ 300,00 num financiamento feito à base de 6% a.m., que dívida estarei amortizando? Resp: R$ 3.440,97 Em quantas prestações mensais de R$ 796,80 quitarei uma dívida de R$ ,00, se o financiamento foi feito à base de 4% a.m.? 18 prestações Um financiamento de R$ ,00 tem duas opções parra ser feito: em 12 prestações de R$ 1.384,92 ou em 18 prestações de R$ 1.015,92. Qual é a opção mais vantajosa para a financiadora? Resp:- Para a financiadora é a primeira opção, pois a taxa é maior Calcular o valor atual de uma dívida de 8 termos iguais a R$ 800,00, sendo a taxa no período de 2%. Resp: R$ 5.860,38 Um comprador oferece ao vendedor de uma loja 6 prestações de R$ 429,00 por uma televisão, cujo preço à vista é de R$ 2.000,00. Só que ele deseja começar a pagar daqui a 3 meses. Se os juros mensais normais da loja forem de 3%, será ou não interessante para o vendedor aceitar a proposta? Resp: É vantajoso pois o comprador está pagando um juro de R$ 126,70 a mais do que se financiasse pela loja.

38 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Uma loja de móveis cobra normalmente 15% do valor da compra no ato do contrato, e o saldo pode ser pago em 6 prestações mensais a contar da entrega do pedido, cujo prazo é estipulado em 2 meses. Qual é o preço à vista de uma compra de móveis, cujas prestações são de R$ 1.846,30, sendo a taxa de juros mensais da operação estipulada em 5%? Resp: R$ ,00 Um financiamento de R$ ,00 deve ser pago em 8 prestações mensais iguais. Se a taxa de juros cobrada pela financeira for de 8% a.m., calcular o valor de uma “comissão de abertura de crédito”, cobrada ao cliente, que permita à empresa financeira auferir uma rentabilidade de 10% a.m. na operação. Resp: R$ 1.433,38. Uma instituição financeira financia veículos de transporte em 18 prestações mensais de R$ ,00 cada uma. Se o valor do financiamento for de R$ ,00 , qual será a taxa de juros mensal cobrada? Resp: i = 9% a.m. Uma pessoa deseja comprar um microcomputador. Dispõe de 4 alternativas para pagamento: 1. pagamento à vista de R$ 2.300,00; pagamento de 8 prestações mensais de R$ 431,11; Pagamento de 4 prestações mensais de R$ 965,75 sendo a primeira paga daqui a 4 meses; Um único pagamento de R$ 4.930,26 daqui a 8 meses. Do ponto de vista financeiro, qual plano é o melhor considerando que a taxa de juros praticada é de 10% a.m.? Resp: Todas alternativas são equivalentes.

39 EXERCÍCIO EXTRA Sua empresa de terraplanagem pode alugar um caminhão por $ ao ano (pagos no final do ano) por 6 anos. Ou pode comprar o caminhão por $ O caminhão não terá nenhum valor depois de 6 anos. Se a taxa de juros que sua empresa pode ganhar sobre seus fundos for de 7% a.a., é mais barato comprar ou alugar?

40 UM ESTUDO DE CASO A “Bert´s Corporation” é uma sociedade anônima de capital aberto (empresa que negocia as suas ações na BOVESPA) e se preocupa com o futuro de seus funcionários. O diretor financeiro, Mr. Bertolo, foi contratado recentemente para gerir as finanças da empresa por um período de oito anos. Contratualmente, após esse período, a empresa irá conceder uma aposentadoria durante 12 anos ao diretor. Pela aposentadoria, ele receberá um pagamento ao final de cada ano no valor de $ , durante 12 anos. Caso venha a falecer antes desse período, reza o contrato que o pagamento anual passará a sua mulher e filhos. Durante o período de acumulação (oito anos), a “Bert´s Corporation”, pretende depositar a anuidade em depósitos de valores iguais, ao final de cada ano, cujo rendimento será calculado mediante aplicação da taxa de juros de 12% a.a.. Dessa forma, o primeiro depósito ocorrerá ao final do ano um. Imediatamente após o início do período de distribuição (pagamento da aposentadoria), a empresa pretende aplicar os recursos acumulados em uma conta cuja remuneração será calculada com a taxa de juros de 15% a.a.. Como o objetivo da aplicação financeira nos períodos de acumulação será somente atender às exigências contratuais (pagamento da aposentadoria), ao final do período de distribuição, o saldo da conta será igual a zero. O pagamento da primeira parcela da aposentadoria ocorrerá ao final do ano nove.

41 UM ESTUDO DE CASO - cont. Graficamente, represente os fluxos de caixa referentes às anuidades de aposentadoria, mediante o ponto de vista da Bert´s Corporation. Qual o montante que a Bert´s Corporation deve acumular ao final do oitavo ano para efetuar os pagamentos, durante 12 anos, de uma anuidade de $ ,00? Qual o valor dos depósitos a serem realizados ao final de cada ano durante o período de acumulação que a Bert´s Corporation deve realizar para pagar a aposentadoria de seu diretor financeiro? Alterando-se a taxa de juros i para 14% a.a., qual deve ser o valor dos depósitos anuais que a indústria deverá realizar ao final de cada ano durante o período de acumulação para o pagamento da aposentadoria de seu diretor financeiro?