PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Apresentação em tema: "PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS"— Transcrição da apresentação:

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Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo se obtém multiplicando o anterior por um número fixo chamado razão, que se representa pela letra r. Assim, se (an) é uma progressão geométrica, verifica-se Aplicação: A sequência de termos: 5, 15, 45, 135, 405, ... é uma progressão geométrica? E a sucessão de termo geral un = 2n ? Para nos assegurarmos que uma sucessão é uma progressão geométrica temos que comprovar que o quociente entre cada termo e o anterior é sempre o mesmo. Esta comprovação elementar dá-nos também o valor da razão da progressão.

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Termo geral de uma progressão geométrica A expressão do termo geral de uma progressão geométrica (an) encontra-se observando que: a2 = a1 · r a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r2 a4 = a3 · r = (a1 · r2) · r = a1 · r3 a5 = a4 · r = (a1 · r3) · r = a1 · r4 Note-se que, em todos os casos, cada termo é o produto de duas quantidades: A primeira é sempre a1 A segunda é uma potência de base r e exponente um certo número, que se obtém subtraindo uma unidade ao índice. A expressão do termo geral é: Pode-se também facilmente provar que: Expressão que permite obter a expressão do termo geral a partir de qualquer termo da progressão (não apenas a partir do primeiro).

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Aplicação: Escreve a expressão do termo geral das progressões geométricas em que: 1) u1 = e un+1 = 4un 2) u1 = e u3 = 4 3) 4) n vn O 16 -2 4 -8 -32

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Comportamento de uma progressão geométrica Se a razão de uma progressão geométrica é maior que 1 e u1 > 0, a progressão é: estritamente crescente e… não limitada. E se u1 < 0? an O n n bn O

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Se a razão de uma progressão geométrica está compreendida entre 0 e 1 e u1 > 0, a progressão é: estritamente decrescente e… limitada. E se u1 < 0? n cn O n dn O

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Se a razão de uma progressão geométrica é igual a 1, a progressão é: constante limitada n fn O Se a razão de uma progressão geométrica é igual a -1, a progressão é: não monótona limitada n gn O

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Se a razão de uma progressão geométrica é maior que -1 e menor que 0, a progressão é: não monótona e… limitada. n hn O Se a razão de uma progressão geométrica é menor que -1, a progressão é: não monótona e… não limitada. n ln O

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Em resumo: comportamento de uma progressão geométrica Progressão geométrica (un) Razão: r 1º termo: u1 progressão constante u1 > 0 - Decrescente Limitada u1 > 0 - Crescente Não limitada Não monótona Não limitada Limitada u1 < 0 - Crescente Limitada u1 < 0 - Decrescente Não limitada - + -1 1 razão - r

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Aplicações: 1. Dá exemplo de uma progressão geométrica (un) que satisfaça a condição: tenha primeiro termo positivo e seja decrescente; tenha primeiro termo positivo e seja não monótona; seja estritamente crescente e tenha razão positiva menor que 1; tenha o primeiro termo negativo e seja estritamente decrescente. 2. Considera a sucessão (vn) de termo geral: vn = 5 x 21-n Mostra que é uma progressão geométrica. (vn ) é monótona? Justifica. (vn ) é limitada? Justifica.

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Soma de n termos consecutivos de uma progressão geométrica PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS A  LENDA  DO   JOGO  DE  XADREZ Diz a lenda que um antigo Xá da Pérsia ficou tão impressionado com o jogo de xadrez, que ordenou ao seu inventor que pedisse a recompensa que desejasse.   O  inventor (provavelmente um matemático experiente...) pediu um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois grãos pela segunda casa, quatro pela terceira, oito pela quarta, e assim sucessivamente, até se percorrerem todas as casas do tabuleiro. Conta-se que o imperador ficou estupefacto, tendo até considerado, que era afrontoso o pedido do inventor por se tratar de coisa tão insignificante! Contudo, o inventor manteve o pedido e insistiu que lhe bastava vê-lo concretizado... Quantos grãos de trigo pediu, afinal, o inventor do jogo de xadrez?

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Resolução: Ora, Donde: grãos de trigo!!!

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A soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão geométrica é dada por Sendo n o número de termos considerados e u1 o primeiro termo e r a razão. com Aplicação: Se uma progressão geométrica tem o termo geral , calcula a soma dos seus primeiros 21 termos .

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Soma de todos os termos de uma progressão geométrica Zenão de Eleia, filósofo sofista que viveu no séc. V a.C., formulou alguns paradoxos (*) com os quais pretendia contestar as concepções da Escola Pitagórica segundo as quais, por exemplo, o tempo era uma soma de instantes e o movimento uma soma de deslocamentos. Um paradoxo célebre, devido a Zenão, é o chamado “Paradoxo de Aquiles e da tartaruga”. (*) Paradoxal é tanto aquilo que encerra uma contradição como o que vai contra a opinião comum. É o inverosímil, o absurdo, mas também o estranho. In Epsilones

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Paradoxo de Aquiles e da tartaruga Aquiles corre para apanhar uma tartaruga mas nunca chegará a alcançá-la porque, quando atingir o lugar onde estava a tartaruga, já ela lá não estará porque entretanto se deslocou; e esta situação repete-se indeterminadamente… Este raciocínio de Zenão, parecendo intocável, conduz a uma conclusão que a realidade mostra ser falsa.

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Consideremos o exemplo: Suponhamos que Aquiles se desloca 10 vezes mais depressa que a tartaruga e que esta partiu com um avanço inicial de 100 metros. - Justifica que estamos em presença de duas progressões geométricas (a de Aquiles e a da tartaruga). - O 1º termo de cada uma das progressões é: … e … - A razão de cada uma das progressões é: … e …. - Como a determinar distância percorrida por Aquiles e pela tartaruga? Teremos que ter em atenção que: A soma S, de todos os termos de uma progressão geométrica (un) em que o primeiro termo é u1 e a razão é r, é: Se , (Sn) é convergente e diz-se que é a soma de todos os termos. 

17 Por outro lado, a tartaruga percorre (em metros):
A distância (em metros) a percorrer por Aquiles é, então: * * A noção rigorosa de limite de uma sucessão será estudada no tema seguinte. Por outro lado, a tartaruga percorre (em metros):

18 Como é igual conclui-se que Aquiles alcança a tartaruga depois de ter percorrido
Só o cálculo de limites e a teoria de conjuntos permitiu esclarecer (23 séculos mais tarde!...) os paradoxos de Zenão, cuja solução exige o cálculo da soma de todos os termos de uma progressão geométrica. O argumento de Zenão assume que o espaço é contínuo e, portanto, infinitamente divisível. Contudo, não faz o mesmo com o tempo, o que conduz ao paradoxo. In Epsilones (Ver anexo)

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Aplicações 1. A partir de um quadrado com 16 cm2 de área foi gerada uma sequência de figuras em que os quatro primeiros elementos estão a seguir representados. A sequência dos valores das áreas das partes sombreadas são os termos da sucessão (an) Mostra que Verifica que (an) é uma progressão geométrica e indique a sua razão. Calcula a soma das áreas das partes sombreadas do 3º ao 10º elementos da sequência. Apresenta o resultado arredondado às centésimas.

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2. Sabe-se que a população de uma determinada cidade, com 50 mil habitantes, aumenta a uma taxa de 2% ao ano. Admitindo que se mantém esta taxa de crescimento: a) Justifica que a população desta cidade, daqui a n anos, é dada, em milhares de habitantes, por Pn = 50 x (1,02)n b) Utiliza a calculadora para determinar quantos anos são necessários para que a população desta cidade duplique. Num breve texto explique como procedeu.

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3. As reservas naturais de petróleo em determinado país no começo de eram de 12 mil milhões (12×109 ) de toneladas. A extração nesse ano foi de 120 milhões (1,2×108 ) de toneladas. a) Se o ritmo de extração se mantivesse todos os anos igual ao de 1980, em que ano as reservas ficariam esgotadas? b) Supõe que todos os anos a extração de petróleo é reduzida em 2% em relação ao ano anterior, a começar em 1980. b1) Escreve o termo geral da sucessão que dá a quantidade de petróleo, em toneladas, extraída em cada ano, desde 1980. b2) Com esta redução é possível consumir indefinidamente? Justifica.

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Curva de Von Koch (ou curva floco de neve) Proposta de trabalho: Depois de estudarem a curva de Von Koch, cometem a afirmação: “Apesar de a curva de Von Koch ter perímetro infinito, a área por ela limitada é finita.”

23 Anexo Traduzido de “Paradoja de la dicotomía” de Epsilones – autor: Alberto Rodríguez Santos, uma página que recomendo vivamente, em

24 Este argumento de Zenão assume que o espaço é contínuo e, portanto, infinitamente divisível. Contudo, não faz o mesmo com o tempo, o que conduz ao paradoxo. Vamos primeiro ver o que faz com o espaço Suposição: o espaço é infinitamente divisível Embora à primeira vista possa parecer surpreendente, podemos adicionar quantidades infinitas e o resultado ser finito. Um exemplo simples é o das progressões geométricas, que são aquelas sequências em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma quantidade constante chamada razão. Se esta razão é menor do que 1 pode ser facilmente mostrado que a soma infinita de termos da sequência é obtida pela expressão S = a1/(1 - r), em que a1 é o primeiro dos termos.

25 De facto: aplicando a expressão anterior para a soma, temos:
Uma progressão particularmente intuitiva é 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/ Parece claro que se tomarmos a primeira metade da unidade e, em seguida, metade do que resta, e então metade do que resta, e assim até "ao infinito", acabamos tendo toda a unidade: A B 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 De facto: aplicando a expressão anterior para a soma, temos: A situação levantada por Zenão é essencialmente a mesma: suponhamos que a distância a percorrer é L. Então, os intervalos a percorrer pelo atleta serão L/2, L/4, L/8 ..., que são os termos de uma progressão geométrica de razão 1/2, cuja soma é a seguinte: Isto é, não há qualquer problema em subdividir o espaço infinitamente.

26 E o tempo? Se a velocidade do atleta é v (que, por comodidade, iremos considerar constante), o tempo que leva a percorrer o primeiro intervalo será L/2v, o segundo L/4v, e assim por diante. Zenão neste ponto considera que o corredor nunca poderá atingir a meta porque percorrer um número infinito intervalos levaria um tempo infinito. Mas está equivocado: se somarmos todos os tempos, tem-se: que é uma quantidade tempo finita. Conclusão A não ser que alguma razão nos impeça, se aceitarmos a continuidade do espaço, devemos aceitar a do tempo, o que nos autoriza a percorrer um número infinito de intervalos espaciais num espaço de tempo finito. Deve notar-se que os cálculos anteriores não demostram que o movimento seja possível, mas que o argumento de Zenão não é correto.

27 O mundo físico Até agora temos falado em termos puramente matemáticos. Mas o que diz a Física? Diz que ainda que não conheçamos a microestrutura detalhada do espaço-tempo sabemos que não pode ser cortado ilimitadamente. Para observar um detalhe é necessário um comprimento de onda menor do que o próprio detalhe. Para que o comprimento de onda seja menor deve aumentar-se a energia, mas isso só pode ser feito até um certo limite, pois alcançado este limite, a concentração de energia produziria um buraco negro. O comprimento em que isto acontece, o mais baixo possível, é conhecido como constante de Plank. O tempo de Plank é o tempo que a luz leva para atravessar essa distância. Uma vez que nada viaja mais rápido do que a luz, este é o tempo mínimo possível. Abaixo desta distância e deste tempo nada pode ser observado e a realidade deixa de fazer sentido.

28 Se isto é verdade (não nos esqueçamos que estamos a falar de física e, portanto, de teorias), estaríamos num espaço-tempo discreto e o paradoxo de Zenão desvanecer-se -ia automaticamente uma vez que, como vimos, o argumento de Zenão parte da suposição de um espaço infinitamente divisível. Uma variante Antes de chegar ao ponto médio de A e B, isto é, I1, o corredor deve chegar ao ponto médio de A e I1, isto é, I2. E antes de chegar a I2 deveria atingir o ponto médio de A e I2, isto é, I3. Repetindo o processo indefinidamente mergulharíamos o corredor numa estranha imobilidade, pois antes de alcançar qualquer ponto do percurso deveria ter passado por um número infinito de outros pontos. In Epsilones

29 Bibliografia: Auguries of Innocence Novo Espaço Matemática A -11º ano
Autores: Belmiro Costa Ermelinda Rodrigues Infinito 11 Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso Alves Cristina Cruchinho | Gabriela Fonseca | Judite Barbedo Manuela Simões Epsilones: autor: Alberto Rodríguez Santos| Auguries of Innocence To see a world in a grain of sand, And a heaven in a wild flower, Hold infinity in the palm of your hand, And eternity in an hour. [...] William Blake, Auguries of Innocence. Maria José Vaz da Costa