Otimização Prof. Benedito C. Silva IRN UNIFEI

Apresentação em tema: "Otimização Prof. Benedito C. Silva IRN UNIFEI"— Transcrição da apresentação:

1 Otimização Prof. Benedito C. Silva IRN UNIFEI
Adaptado de: Walter Collischonn / IPH UFRGS

2 Simulação e Otimização
Simulação é o processo de representar matematicamente um sistema, e realizar experimentações para prever seu comportamento quando sujeito a determinadas condições. Ex: Modelos chuva-vazão, modelo de reservatórios, modelos de redes hidráulicas, modelos de redes de fluxo... Otimização é a determinação das condições que resultam no melhor desempenho do sistema. Normalmente envolve a execução de diversas simulações. Exemplos de algoritmos: programação linear, não-linear, dinâmica, técnicas de inteligência artificial... Em ambos os caso podem ser necessários mais de um modelo para representar o sistema. Muitas vezes o modelo de otimização está inserido no modelo de simulação.

3 Construção de Modelos Matemáticos
Sistema Real Simplificação Definição e Descrição do Problema Modelo Matemático Revisão Solução do Modelo Decisão Teórica x Política Implementação da Solução

4 Elementos de um modelo matemático de otimização
DECISÕES Identificar quais decisões efetivamente resolvem o problema. O que não conhecemos no problema? RESTRIÇÕES Identificar quais as restrições que limitam as decisões a tomar OBJETIVOS Definir objetivos capazes de indicar que uma decisão é preferível a outras

5 Ex.: Ajuste de modelo hidrologico
Encontrar o valor dos parâmetros de um modelo matemático que resultem em uma boa concordância entre dados observados e calculados. Gupta et al.

6 Otimização Encontrar o mínimo ou o máximo de uma função

7 Cálculo analítico Encontrar pontos da função em que a derivada é zero.
Vantagens: pode ser rápido, é mais elegante) Desvantagens: problemas de recursos hídricos apresentam funções de picos múltiplos, funções descontínuas, ausência da forma analítica da função, por exemplo

8 Otimização de Sistemas de Recursos Hídricos
Superfícies de resposta complexas Pontos extremos mal definidos Regiões planas Muitos ótimos locais Ótimo global apenas pouco melhor do que os ótimos locais

9 Técnicas de otimização
Cálculo analítico Técnicas numéricas Busca aleatória Busca direta Mistos

10 Técnicas numéricas - Busca Aleatória
Vantagens: funções descontínuas; picos múltiplos Desvantagens: demorado; não existe garantia de atingir o ponto ótimo global “Ótimo”

11 Técnicas numéricas - Busca direta
Estratégia de caminhar “morro acima”

12 Função objetivo: F(x1,x2)
Máximo local Máximo global x1

13 Início: ponto coordenadas (parâmetros) aleatórias
X2=valor aleatório entre c e d X1=valor aleatório entre a e b

14 Determina direção de busca: exemplo x2=x2+0,3; x1=x1
Função objetivo melhorou? Não, então tenta no outro sentido.

15 F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

16 F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

17 F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

18 F.O melhorou? Não, então volta para o ponto anterior...

19 ...e muda a direção de busca.
F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

20 E assim segue até encontrar um ponto em que não existe
direção de busca que melhore o valor da FO

21 Rosenbrock: Método um pouco mais eficiente
Direção de busca é a que potencialmente dará maior incremento da FO

22 Limitação da busca direta: Ótimos locais
Região que atrai solução para o ótimo local

23 Tentativa de contornar problema: Busca direta com inicialização múltipla
Várias tentativas; espera se que o ótimo global seja a melhor solução testada. Problema: Ineficiente e ineficaz quando a FO tem muitos ótimos locais

24 Modelos de Otimização Programação linear (Simplex)
Programação não-linear Programação dinâmica Algoritmos genéticos Caminhos de formiga …

25 Algoritmos Genéticos Definição da faixa de validade dos parâmetros
geração aleatória de pontos (conjuntos de parâmetros) avaliação das funções objetivo para cada ponto reprodução, evolução conjuntos com melhores F.O. têm maior chance de contribuir na reprodução Inspiração na natureza

26 Algumas regras gerais dos algoritmos genéticos
Conceitos de população, reprodução e gerações Filhos são semelhantes aos pais Os pais mais “adaptados” tem maior probabilidade de gerar filhos Os filhos não são completamente iguais aos pais

27 Pais mais adaptados têm maior probabilidade de gerar filhos (sobrevivência do mais apto = seleção natural) Na natureza: indivíduos mais adaptados têm maior probabilidade de sobreviver até chegar à fase reprodutiva e de participar do processo de reprodução. No algoritmo: pontos com maior FO têm maior probabilidade de serem escolhidos para participar dos complexos.

28 Passo 1

29 Passo 2

30 Passo 3

31 Passo 4

32 Passo 5

33 Passo 6

34 Passo 7

35 Passo 8

36 Passo 9

37 Passo 10

38 Passo 20

39 Otimização multi-objetivo
Considerar mais de uma FO. Calibração de modelos hidrológicos distribuídos Otimização de sistemas de reservatórios de usos múltiplos (controle de cheias x regularização de vazão) Vazão e evapotranspiração

40 Novos métodos evolutivos
Colônia de formigas Enxame de abelhas ...