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aplicações financeiras
TEORIA DE GRAFOS & aplicações financeiras
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CONCEITOS BÁSICOS: Grafo C Grafo orientado B D A
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CONCEITOS BÁSICOS: H H Grafo não orientado ou digrafo Subgrafo
Vértices adjacentes A Arestas adjacentes Laço H H Pseudografo B D Grau de um vértice Ponto isolado Arestas múltiplas Multigrafo E C Grafo conexo Grafo desconexo Componente Ponte G F
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CONCEITOS BÁSICOS: A Caminho B D E C G F
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CONCEITOS BÁSICOS: A Circuito B D C E G F
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LEONHARD EULER ( )
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CONCEITOS BÁSICOS: A Caminho de Euler B D C E G F
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CONCEITOS BÁSICOS: A Circuito de Euler D C B
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AS PONTES DE KÖNIGSBERG
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SERÁ POSSIVÉL PERCORRER TODAS AS PONTES PASSANDO UMA ÚNICA VEZ POR CADA UMA DELAS?
EULER PROVOU QUE NÃO
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1º TEOREMA DE EULER Se um grafo possuir vértices
de grau impar não possui nenhum circuito de Euler Se um grafo for conexo e todos os seus vértices forem de grau par então possui pelo menos um circuito de Euler
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2º TEOREMA DE EULER Se um grafo possuir mais de dois vértices de grau impar então não possui nenhum caminho de Euler Se um grafo for conexo e possuir apenas dois vértices de grau impar então possui pelo menos um caminho de Euler.Qualquer que seja esse caminho ele terá de começar num desses vértices e terminar no outro
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O número de vértices de grau impar tem de ser par
3º TEOREMA DE EULER A soma dos graus de todos os vértices de 1 grafo é igual ao dobro do seu número de arestas O número de vértices de grau impar tem de ser par
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ALGORITMO Conjunto de regras mecânicas que, quando utilizadas correctamente, levam à resposta de um determinado problema
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ALGORITMO DE FLEURY Ver se o grafo é conexo e se todos os seus vértices são de grau par 1 2 Começar num vértice qualquer Percorrer uma aresta se : 3 Esta não for uma ponte para a parte não atravessada do grafo Não existir outra hipótese
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ALGORITMO DE FLEURY Assinalar as arestas consoante a ordem com que forem percorridas 4 Quando não for possivel continuar, parar, o percurso esta terminado. 5
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D E F P H O C I G N K L J M A B
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D E D 6 E 5 F F 25 7 24 P H 19 P 18 H 4 3 8 2 O 11 O 12 C C I G I 23 G 15 16 K N K N 17 26 1 L 14 13 L J 20 J M M 22 9 10 21 A A B B
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EULERIZAÇÃO DE GRAFOS
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Como encontrar o percurso mais económico??
6 vértices de grau ímpar A B C D E F G H I J K L Não tem nem caminho nem circuito de Euler
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VÉRTICES DE GRAU Eulerização de grafos Como vamos fazer? PAR ÍMPAR A B
H I J K L PAR Como vamos fazer? ÍMPAR
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A B C D 7 arestas duplicadas E F G H 5 arestasduplicadas I J K L
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TODOS OS VÉRTICES TÊM GRAU PAR
B C D TODOS OS VÉRTICES TÊM GRAU PAR E F G H I J K L TEM UM CIRCUITO DE EULER
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APLICANDO O ALGORITMO DE FLEURY, ENCONTRAMOS UM DOS
MUITOS CIRCUITOS DE EULER SOBREPONDO O CIRCUITO AO GRAFO ORIGINAL A B C D A B C D E F H E F H G G L L I J I J K K
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cicuito Caminho Semi-eulerização de grafos E A B C D H L K J I E F B C
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CIRCUITO MAIS ECONÓMICO CAMINHO MAIS ECONÓMICO
1º-transformar os vértices de grau ímpar em vértices de grau par excepto 2 SEMI-EULERIZAR O GRAFO EULERIZAR O GRAFO 2º- Descobrir um circuito de euler no grafo eulerizado caminho 3º- sobrepor a este circuito o grafo original caminho
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Exemplo:Recolha do lixo de um bairro
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Exemplo:Recolha do lixo de um bairro
O carro do lixo terá de repetir Algumas ruas já limpas Quantas? 9
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Circuito (caminho ) de Hamilton
Percorre todos os Vértices de um grafo Sem repetir nenhum
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circuito de Euler Tem Não tem Não tem Tem Tem G A B
circuito de Hamilton E C D F
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Como sabemos se um grafo tem ou não um circuito (caminho) de Hamilton?
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Por exemplo: etc Grafo com pontes Grafo completo bipartido n*n
Tem circuitos Hamiltonianos Não tem nenhum circuito hamiltoniano etc
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Grafos completos (n-1)! Circuitos hamiltonianos Grau de cada vértice:
B Grau de cada vértice: n-1 E Nº total de arestas: C D Reportório completo de Circuitos Hamiltonianos (n-1)! Circuitos hamiltonianos
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Fixando um vértice como referência,encontramos
Todos os circuitos de Hamilton existentes no grafo A,B,C,D,A A,B,D,C,A A,C,B,D,A A,C,D,B,A A,D,B,C,A A,D,C,B,A B,C,D,A,B B,D,C,A,B B,D,A,C,B B,AC,D,B B,C,A,D,B B,A,D,C,B A B D C
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Traveling Salesman Problems
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Em que consiste este tipo de problemas?
São essencialmente, problemas da vida real em que se pretende encontrar um percurso de menor valor
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Exemplo1: “O problema das 5 cidades”
185€ 133€ B 152€ 200€ E 120€ 150€ 119€ 121€ 199€ C D 174€ Qual será a sequência menos expendiosa para o Sr.Francisco?
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Exemplo 2: “Exploração do nosso sistema solar"
Mimas Io 4.7 0.6 5.2 5.7 5.1 8.2 0.8 3.6 Titan 5.6 8.1 5.9 3.1 Callisto 1.1 1.5 3.2 Terra Ganymede Qual será o percurso mais curto?
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Método1: Fazer uma lista de todos os circuitos possíveis;
Calcular o custo total de cada circuito; Escolher o circuito com menor custo.
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Tabela1: Circuito Custo total Imagem Hamiltoniano em espelho
1 A,B,C,D,E,A = A,E,D,C,B,A 2 A,B,C,E,D,A = A,D,E,C,B,A 3 A,B,D,C,E,A = A,E,C,D,B,A 4 A,B,D,E,C,A = A,C,E,D,B,A 5 A,B,E,C,D,A = A,D,C,E,B.A 6 A,B,D,E,C,A = A,C,E,D,B,A 7 A,C,B,D,E,A = A,E,D,B,C,A 8 A,C,B,E,D,A = A,D,E,B,C,A 9 A,C,E,B,D,A = A,D,B,E,C,A 10 A,C,E,B,D,A = A,D,B,E,C,A 11 A,D,B,C,E,A = A,E,C,B,D,A 12 A,D,C,B,E,A = A,E,B,C.D.A
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Circuito Hamiltoniano obtido:
185€ 133€ B 152€ 200€ E 120€ 150€ 119€ 121€ 199€ C D 174€ Circuito de menor custo : A, D, B, C, E, A Custo total: 152€+150€+121€+120€+133€ = 676€
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Método 2: Começar em A; Partir para a cidade cujo custo é menor;
Repetir o processo até retornar a A.
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Circuito Hamiltoniano Obtido :
185€ 133€ B 152€ 200€ E 120€ 150€ 119€ 121€ 199€ C D 174€ Circuito : A, C, E, D, B, A Custo total do circuito : 119€+120€+199€+150€+185€=773€
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O sr.Francisco expande o seu negócio.
Usando o método 2 levará apenas alguns minutos a construir o circuito; Mas: Para usar o método 1 teremos de verificar : 9! = circuitos.
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Como resolver esta situação?
É-nos cedido um super computador capaz de construir: 10 bilões de circuitos por segundo 3.0 x 10^17 circuitos por ano
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Tabela 2: Número Número de Tempo de vértices circuitos Hamiltonianos de pesquisa ,307,674,368, minutos * “ * horas * /2 dias * dias * /2 anos * anos * anos * anos * ,000,000 anos O número de circuitos Hamiltonianos cresce desproporcionadamente à medida que acrescentamos um vértice.
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Algoritmo ineficiente: O seu uso na prática é limitado, uma vez que só pode ser usado quando o número de vértices é pequeno. Exemplo: Método 1 – Algoritmo “ Força bruta”. Algoritmo eficiente: O número de passos necessários cresce em proporção ao tamanho do problema. Método 2 – Algoritmo “Vizinho mais próximo”.
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Algoritmos Aproximados
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Em que consiste um algoritmo aproximado?
Usaremos o termo “algoritmo aproximado”para descrever qualquer algoritmo que produza soluções que estão, na maior parte das vezes, razoavelmente perto da solução perfeita.
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Algoritmo3: O “vizinho mais próximo” repetido
Partir de um determinado vértice e aplicar o algoritmo “vizinho mais próximo”; Calcular o custo total obtido; Repetir o processo para os vértices restantes; Escolher o circuito de menor custo; Rescreever , se necessário, esse circuito começando no vértice de referência.
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Circuito Hamiltoniano de menor custo
185€ 133€ B 152€ 200€ E 120€ 150€ 119€ 121€ 199€ C D 174€ Circuito: A, E, D, B, C, A Custo total: 133€+199€+150€+121€+119€ = 722€
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Algoritmo 4: “Aresta de menor valor”
Começa-se na aresta de menor valor, qualquer que seja. Segue-se para a aresta de menor valor seguinte e assim sucessivamente, tendo em conta as seguintes restrições: a) Não permitir que os circuitos se formem(a não ser no final); b) Não permitir que três arestas se juntem num ponto; Quando não houver mais vértices para ligar, fechar o circuito.
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Construção do circuito Hamiltoniano
185€ 133€ X B 152€ 200€ E X 120€ 150€ 119€ 121€ 199€ C D 174€ Circuito: A, C, E, B, D, A Custo total: 119€+120€+200€+150€ 152€ = 741€
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Fim Trabalho realizado por: Ana Sofia Claro Luisa Maria da Cruz Félix
Sara da Silva Nogueira Fim
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