Aula 07 – Limite e Continuidade

Apresentação em tema: "Aula 07 – Limite e Continuidade"— Transcrição da apresentação:

1 Aula 07 – Limite e Continuidade
Idéia intuitiva e definição de limites.

2 A Definição de Limite Para chegarmos a definição precisa de limite consideremos inicialmente a função Intuitivamente, se está próximo de 3, mas , então está próximo de 5, ou seja,

3 A Definição de Limite Quão próximo de 3 deverá estar para que esteja próximo de 5? Ou, a que distância deverá estar de 3, para que a distância entre e 5 seja cada vez menor?

4 A Definição de Limite Ou ainda, dada uma distância (qualquer) de a 5, podemos encontrar a que distância deve estar de 3? A distância de a 3 é representada matematicamente por , da mesma forma que a distância de a 5 é representada por

5 A Definição de Limite Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número exceto possivelmente no próprio . Então dizemos que o limite de quando tende para é , e escrevemos se, para todo , existir , tal que se então

6 A Definição de Limite

7 A Definição de Limite

8 Exemplo Demonstre que

9 Limites Laterais Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto à esquerda de . Então dizemos que o limite de quando tende a pela esquerda é , e escrevemos se, para todo , existir , tal que se então

10 Limites Laterais Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto à direita de . Então dizemos que o limite de quando tende a pela direita é , e escrevemos se, para todo , existir , tal que se então

11 Teorema existe e será igual a se e somente se e existirem e forem iguais a .

12 Exemplos

13 Limites Infinitos Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número exceto possivelmente no próprio . Então dizemos que o limite de quando tende para é , e escrevemos se, para todo , existir , tal que se então

14 Limites Infinitos Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número exceto possivelmente no próprio . Então dizemos que o limite de quando tende para é , e escrevemos se, para todo , existir , tal que se então

15 Exemplos Determine:

16 Função Contínua no Ponto
Diremos que a aplicação é contínua no ponto , se

17 Função Contínua no Ponto

18 Função Descontínua no Ponto

19 Função Descontínua no Ponto

20 Função Descontínua no Ponto

21 Função Contínua A aplicação é contínua, se a
mesma for contínua em todos os pontos do seu domínio.

22 Exemplos de Funções Contínuas

23 Exemplos de Funções Contínuas

24 Outros Exemplos de Limites

25 Exemplo Determine os pontos de descontinuidade da função cujo gráfico é mostrado a seguir, justificando.

26 Exemplo Determine o valor de L para que a função abaixo seja contínua no ponto p=0.

27 Limite Fundamental da Trigonometria
Seja uma aplicação definida por , cujo o esboço do gráfico é dado a seguir:

28 Limite Fundamental da Trigonometria

29 Exemplo Calcule

30 Exemplo Calcule

31 Limite fundamental

32 Exemplo Mostre que De modo análogo obtemos

33 Exemplo Mostre que

34 Propriedades Operatórias de Limite
Suponhamos que existem os limites e Se , então:

35 Propriedades Operatórias de Limite
Suponhamos que existem os limites e Se , então:

36 Teorema: Limite de Função Composta
Sejam e duas funções tais que . Se e é contínua em , então

37 Corolário: Limite de Função Composta
Se existe, então:

38 Corolário: Limite de Função Composta
Se existe, então:

39 Atividade Determine caso exista os limites abaixo: Solução:

40 Atividade Determine caso exista os limites abaixo: Solução:

41 Atividade Determine caso exista os limites abaixo: Solução:

42 Atividade Determine caso exista os limites abaixo: Solução:
Calculando

43 Atividade Calculando temos: Logo