Médias Aritmética Geométrica Harmônica Quadrática.

Apresentação em tema: "Médias Aritmética Geométrica Harmônica Quadrática."— Transcrição da apresentação:

1 Médias Aritmética Geométrica Harmônica Quadrática

2 Média aritmética simples
Definição Dado um conjunto de n observações x1, x2,..., xn, a média aritmética simples é definida como

3 Qual é o total da folha de pagamento? 7200
Exemplo: Considere os seguintes dados fictícios referentes aos salários de 8 funcionários de uma empresa: 700, 700, 820, 820, 820, 820, 1500 e 3200. Qual é o total da folha de pagamento? 7200 Qual é o número de empregados? 6

4 Salário médio 8 =8560 8 = 1070

5 interpretação física:
1070 + 1070 8560 cada um dos 8 empregados ganha 1200

6 8 Existe outra forma, mais simples (curta) de escrever esta expressão? 8

7 Calculada desta forma, a média é conhecida como média aritmética ponderada ou Simplesmente média ponderada. Os números 2, 4, 1 e 1 são conhecidos como Pesos.

8 Σ Definição: A média aritmética ponderada de um conjunto
de dados é dada pela razão entre o somatório dos produtos entre cada número e seu peso e o produto dos pesos. Em outras palavras, dada uma distribuição x1, x2, ..., xn, com pesos p1, p2, ..., pn, a média aritmética ponderada é dada por: Σ i =1 n pi.xi pi = p1x1 + p2x pnxn = p1 + p pn

9

10 Consideremos, agora, as idades de um grupo de pessoas:
Calcule a idade média deste grupo.

11 Os salários dos funcionários do departamento de Recursos Humanos, cujos valores (em R$) são os seguintes: Calcule o salário médio.

12 Calcule a nota média para os dados da tabela

13 Média Geométrica Utilizada em situações que envolvem taxas de crescimento ou taxas de retorno, como taxas de juros, a utilização

14 Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses.

15 Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1
Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1.000,00, aplicando-se os sucessivos aumentos teremos: % = 200 = 1200 % = 144 = 1344 1344.7% = 94,08 ,08 = 1438,08

16 Qual é o percentual médio mensal de aumento desta categoria?
Isto é qual é o percentual que, aplicado 3 vezes sucessivas transforma o primeiro valor no último?

17 Se você pensar em termos de média, teremos:
= 39 = 13% Então, teríamos: % = 130 = 1130 % = 146,9 ,9 = 1276,9 1276,9.13% = 166 1276, = 1442,9 Note que a média aritmética não leva à transformação esperada.

18 formam uma progressão geométrica. Assim:
O que acontece neste exemplo é que os salários, após a aplicação de cada porcentagem formam uma progressão geométrica. Assim: a = 1000 1 a = a . q n 1 n – 1 a = 1200 2 a = a . q 4 1 4 – 1 a = 1344 3 1438,08 = q 3 a = 1438,08 4 q 3 1438,08 = 1,438,08 1000 =

19 q 3 1438,08 = 1,438,08 1000 = q 3 1,2 . 1,12 . 1,07 = 1,2 . 1,12 . 1,07 q = 3 q é o valor que estamos procurando, e é conhecido como média geométrica.

20 Assim, para o problema inicial, bastaríamos fazer:
aumento salarial de 20% salário . 1,20% aumento salarial de 12% salário . 1,12% aumento salarial de 7% salário . 1,07% Média dos = aumentos Média geométrica 1,2 . 1,12 . 1,07 3 =

21 Exercício: Você deseja que a taxa média de crescimento dos salários de um trabalhador por um período de três anos. Suponha que os salários do trabalhador aumentou da seguinte forma: 5 por cento no 1º ano, 3 por cento no 2º ano, 4 por cento no 3º ano.

22 Exercício: Encontre a média geométrica de cada uma das sequências abaixo: a) 2 e 8 b) 2; 2 e 4 b) 1; 6; 8 e 9

23 Média Harmônica

24 120 80 240 2,5 = 240 _ 1,5 + 1 Tempo de ida: = 1,5 120 Tempo de volta:
= _ 1,5 + 1 Tempo de ida: = 1,5 96 = 120 Tempo de volta: = 1 = _ Velocidade média na trajetória: 240 2,5 = 96 = _

25 = _ = _ _ _ Dois números = _ _ Média Harmônica: inverso da média aritmética do inverso dos números. Inverso dos números

26 Média quadrática A média quadrática dos números x1, x2, ..., xn é definida por q = isto é, a média quadrática é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos números.

27 Por exemplo, a média quadrática dos números 1 e 7 é
= 5 q =

28 Exercícios Determine a média geométrica dos números: 1; 2 e 4 b) 1; 2; 4; 8

29 Determine a média quadrática dos números:
2; 3; 6 b) 4; 9; 10

30 Determine a média harmônica dos números:
2; 4 3; 6; 9