RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E CRIATIVIDADE Metodologia de resolução de problemas como uma atividade de investigação Antonio Carlos Brolezzi   http://www.brolezzi.com.br/cogeae/

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1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E CRIATIVIDADE Metodologia de resolução de problemas como uma atividade de investigação Antonio Carlos Brolezzi  

2 1991 1988 - 1991 Mestrado em Educação. FEUSP, São Paulo, Brasil.
Título: A Arte de Contar: uma Introdução ao Estudo do Valor Didático da História da Matemática. Ano de obtenção: 1991. Orientador: Nílson José Machado.

3 1997 1992 - 1996 Doutorado em Educação. FEUSP, São Paulo, Brasil.
Título: A tensão entre o discreto e o contínuo na história da matemática e no ensino de matemática Ano de obtenção: 1997 Orientador: Nílson José Machado.

4 Dissertações de mestrado (USP)
Alguns trabalhos de orientação concluídos Dissertações de mestrado (USP) 1.João Fabio Porto. Diálogo e interatividade em videoaulas de matemática. 2.Leda Maria Bastoni Talavera. A parábola e a catenária: história e aplicações. 3. Susane Fernandes de Abreu Teixeira. Uma reflexão sobre a ambiguidade dos jogos na educação matemática. 4. Constanza Kaliks Guendelman. O conceito de douta ignorância de Nicolau de Cusa em uma perspectiva pedagógica.

5 Dissertações de mestrado (USP)
Alguns trabalhos de orientação concluídos Dissertações de mestrado (USP) 5. Ernani Nagy de Moraes. O professor de matemática e o constante formar-se: refletindo sobre atividades dentro e fora da escola. 6. Cristina Dalva Van Berghem Motta. História da matemática na educação matemática: espelho ou pintura? 7.Walter Spinelli. Aprendizagem matemática em contextos significativos: objetos virtuais e percursos temáticos. 8. Sonia Maria Pereira Vidigal. Formação da Personalidade Ética: as contribuições de Kohlberg e van Hiele.

6 Alguns trabalhos de orientação concluídos
. Teses de doutorado (USP) Marcos Francisco Borges. Ciência e religião: reflexões sobre os livros de história da matemática e a formação do professor. Dulcyene Maria Ribeiro. A formação dos engenheiros militares: Azevedo Fortes, matemática e ensino na Engenharia Militar no século XVIII em Portugal e no Brasil. Cristina Dalva Van Berghem Motta. Um retrato da apropriação da teoria de Gerard Vergnaud sobre campos semânticos/resolução de problemas por professores da Rede de Ensino da Prefeitura de São Paulo

7 JEAN PIAGET ( ) Princípios que fundamentam sua teoria: Construtivismo – conhecimento resulta da ação do sujeito sobre objetos do conhecimento. Interacionismo – conhecimento resulta de trocas realizadas pelo sujeito com o meio ou com os objetos de conhecimento (idéias, sentimentos, valores, crenças)

8 Estruturalismo – construção vai além dos conteúdos da interação, constrói-se a capacidade de pensar, de organizar, de conhecer. Ou seja, as próprias estruturas mentais, vão, durante o processo de construção de conhecimentos, tornando-se cada vez mais complexas. Genético – associado à idéia de gênese, de evolução. Entre uma estrutura (ponto de partida) e uma estrutura mais complexa (ponto de chegada) temos um processo de construção. A construção de uma nova estrutura se dá, necessariamente, pela conservação e superação da estrutura anterior.

9 Desenvolvimento humano segue etapas sucessivas e universais.
Sensório-motor: nascimento até 18/24 meses. Presença da inteligência, mas não do pensamento. Inteligência – solução de um problema novo (coordenação de um meio para atingir um fim), Pensamento – inteligência interiorizada, apoiada sobre o simbolismo. Pré-Operatório: 2 anos até 7/8 anos. Função Simbólica – representar uma coisa por meio de outra Realiza no plano da representação o que foi construído anteriormente.

10 Operações Concretas: 7/8 anos até 12/15 anos
Lógica dirigida a objetos manipuláveis. Capacidade de conservar um objeto no decurso das transformações que são reversíveis.. Operações Formais: 12 anos Lógica do discurso. Raciocínio sobre enunciados verbais, raciocinar sob o ponto de vista do outro. Raciocínio hipotético-dedutivo. A construção do conhecimento ocorre quando acontecem ações físicas ou mentais sobre objetos que provocam o desequilíbrio.

11 LEV S. VYGOTSKY ( ) Desenvolvimento do indivíduo resultado de um processo sócio-histórico; linguagem central neste processo aprendizagem enfatizada Cerne da teoria - aquisição de conhecimentos pela interação do sujeito com o meio. Análise genética na compreensão do desenvolvimento dos processos mentais.

12 Capacidades Mentais: desenvolvem-se a partir da comunicação e interação com o meio, através da aquisição de experiências dos outros. Ser Social: o ser humano é essencialmente um ser social. Desenvolvimento - pressupõe a inserção do homem em um ambiente histórico-cultural Linguagem: instrumento central no desenvolvimento humano. Através dela transmite-se o legado cultural das gerações anteriores.

13 Vygotsky Desenvolvimento e aprendizagem estão relacionados desde o nascimento da criança a aprendizagem resulta do desenvolvimento e este não ocorre sem aprendizagem há uma potencialidade no homem que, a partir da relação com o meio, é colocada em ação ZPD - Zona de Desenvolvimento Proximal

14 Vygotsky “ZDP é a distância entre o nível de desenvolvimento real que se costuma determinar através da solução independente de problemas e o nível de desenvolvimento potencial, determinado através da solução de problemas sob a orientação de um adulto ou em colaboração com companheiros mais capazes” Fazer pedagógico com vistas à área de desenvolvimento potencial

15 Autores: João Pedro da Ponte, Joana Brocardo, Hélia Oliveira
INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS NA SALA DE AULA Autores: João Pedro da Ponte, Joana Brocardo, Hélia Oliveira Este livro analisa como práticas de investigação matemática podem ter lugar na sala de aula. Indicaresultados de pesquisas ilustrando as vantagens e dificuldades de se trabalhar com tal perspectiva em Educação Matemática. Discute aspectos como a geração de conjecturas, reflexão e formalização do conhecimento, ao analisar os papéis de alunos e professores em sala de aula, quando lidam com problemas em áreas como geometria, estatística e aritmética. João Pedro da Ponte

16 A resolução de problemas, desafios e enigmas da matemática pode ser um meio de desenvolver a criatividade dos alunos e trabalhar com a matemática de forma mais divertida e estimulante.

17 Diversões matemáticas são problemas matemáticos, desafios, enigmas, adivinhas, charadas, quebra-cabeças etc, que tradicionalmente tem sido utilizadas para distração.

18 Criatividade é um processo que torna alguém sensível aos problemas ou lacunas nos conhecimentos e o leva a identificar dificuldades, procurar soluções, formular hipóteses, testá-las e retestá-las, modificando-as se necessário e a comunicar os resultados.

19 Diversões matemáticas podem ajudar a tornar as pessoas sensiveis e observadoras – podem desenvolver a criatividade. Diversões matemáticas sempre existiram – desde que o homem começou a se interessar pela matemática.

20 Júlio César de Melo e Sousa (1895 —1974), mais conhecido pelo heterônimo de Malba Tahan, foi um divulgador das diversões matemáticas no Brasil e no mundo.

21 Júlio César de Melo e Sousa (1895 —1974), mais conhecido pelo heterônimo de Malba Tahan, foi um divulgador das diversões matemáticas no Brasil e no mundo.

22 Júlio César de Melo e Sousa (1895 —1974), mais conhecido pelo heterônimo de Malba Tahan, foi um divulgador das diversões matemáticas no Brasil e no mundo.

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24 No ensino, elas estavam bastante presentes no século passado, até os anos 70.
Vejamos um problema proposto por Malba Tahan.

25 1. Um coronel encontrou dez soldados vadiando e deu-lhes uma ordem, aparentemente absurda, que deveria ser cumprida imediatamente ou iriam todos presos: "Formar cinco fileiras com quatro soldados em cada!" Para surpresa do coronel, os dez soldados conseguiram cumprir a ordem. Como eles fizeram?

26 1. Um coronel encontrou dez soldados vadiando e deu-lhes uma ordem, aparentemente absurda, que deveria ser cumprida imediatamente ou iriam todos presos: "Formar cinco fileiras com quatro soldados em cada!" Para surpresa do coronel, os dez soldados conseguiram cumprir a ordem. Como eles fizeram?

27     

28 Isso parece algo trivial, mas não é.
Eis aí 20 soldados felizes, em cinco fileiras com quatro soldados cada uma. Trata-se de outro problema, mas é um problema parecido com o anterior, embora bem mais fácil. Isso parece algo trivial, mas não é. É uma importante estratégia de resolução de problemas: encontrar um problema parecido com o problema dado, mas mais fácil de fazer. Modificar o problema. A gente precisa perder o medo de modificar o problema, para desenvolver outras estratégias de resolução de problemas.

29 Dez voluntários, vamos tentar para ver o que acontece.
Mas, seja como for, ai temos uma solução para o problema dos 20 soldados. O que ela nos ensina? Parece fundamental ter percebido que, no caso do problema considerado, com apenas 10 soldados, é necessário que cada soldado esteja presente em duas fileiras simultaneamente. Acho que uma boa estratégia é tentar resolver o problema concretamente, em forma de teatro. Vamos fazer? Dez voluntários, vamos tentar para ver o que acontece.

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34 A tradição de diversões matemáticas vem do início do século XX
A tradição de diversões matemáticas vem do início do século XX. Vamos ver um exemplo.

35 Trata-se de um desafio que apareceu no jornal britânico The Weekly Dispatch em 1903, e que foi publicada pelo seu autor no livro Amusements in Mathematics. Seguem-se trechos do texto do autor Dudeney.

36 A figura abaixo mostra seis homens e seis mulheres
A figura abaixo mostra seis homens e seis mulheres. Números ímpares são mulheres, números pares são homens. Essas doze pessoas formam seis casais que se misturaram em um passeio. Estamos interessados particularmente no homem de número 10 ao fundo. Quem será a mulher dele? Esta ilustração está reduzida em relação ao que apareceu originalmente em The Weekly Dispatch em 24 de maio de 1903, mas espera-se que tenha detalhes suficientes para permitir ao leitor divertir-se ao examiná-la.

37 Mostrei a figura a alguns amigos, e eles expressaram diversas opiniões a respeito. Um dele disse, “Eu não casaria com uma garota como a Número 7." Outro disse, “Tenho certeza que uma garota simpática como a Número 3 não iria se casar com um cara desse tipo!” Outro disse: “Deve ser a Número 1, pois ela foi o mais distante possível do bruto!” Foi sugerido, também, que era mulher Número 11, porque “ele parece estar olhando para ela;" mas um cínico respondeu, “Por esta mesma razão, se ele está mesmo olhando para ela, eu diria que ela não é a mulher dele!" Agora deixo a questão nas mãos dos meus leitores. Quem é realmente a mulher do número 10?

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39 Não há adivinhação neste enigma. É apenas uma questão de eliminação
Não há adivinhação neste enigma. É apenas uma questão de eliminação. Se podemos encontrar os outros pares, então a senhora restante é a esposa do 10. Vou mostrar como isso pode ser feito. 8 está carregando um guarda-sol de mulher, na mesma mão em que segura sua bengala. Mas todas as senhoras estão com guarda-sois, exceto a 3. Portanto, a 3 é seguramente a mulher do 8. Agora o 12 está segurando uma bicicleta, e se trata de uma bicicleta feminina. A única senhora com roupa de ciclismo é a 5; portanto, a 5 é a esposa do 12.

40 Em seguida, o homem 6 tem um cachorro, e a mulher 11 parece estar segurando uma corrente de cachorro. Então podemos casar 6 com 11. Agora vemos que o 2 está pagando o jornal ao menino. Mas não pagamos o jornal antes de recebê-lo, e o homem não está recebendo jornal. Mas a senhora 9 está lendo um jornal. Logo, a inferrência é óbvia – que ela mandou o menino cobrar do marido. Portanto casamos o 2 com o 9. Assim, já definimos todas as mulheres exceto 1 e 7, e todos os homens exceto 4 e 10. Olhando para 4, vemos que ele está carregando um casaco sobre seu braço, e os botões estão do lado esquerdo, não do lado direito, como um casaco masculino. O casaco com certeza não pertence a 1, pois ela parece já estar usando um casaco, enquanto 7 está vestida muito levemente. Portanto casamos 7 com o homem 4. Agora resta apenas a 1, que deve ser necessariamente a mulher de 10. Esta é a resposta correta.

41 Henry Ernest Dudeney ( ), matemático e escritor inglês e que se especializou em diversões matemáticas. Você pode fazer o download da obra de domínio público de Dudeney Amusements in Mathematics disponível no Projeto Guteberg:

42 Uma das criações mais famosas de Dudeney foi sua solução em 1902 para o Enigma de Haberdasher (cortar um triângulo equilátero e rearranjar as partes em forma de um quadrado) (haberdasher – loja de armarinhos)

43 Uma das criações mais famosas de Dudeney foi sua solução em 1902 para o Enigma de Haberdasher (cortar um triângulo equilátero e rearranjar as partes em forma de um quadrado) (haberdasher – loja de armarinhos)

44 Uma das criações mais famosas de Dudeney foi sua solunção para o Enigma de Haberdasher (cortar um triângulo equilátero e rearranjar as partes em forma de um quadrado)