Ondaletas: Uma Necessidade?!

Apresentação em tema: "Ondaletas: Uma Necessidade?!"— Transcrição da apresentação:

1 Ondaletas: Uma Necessidade?!
Por MSc. Augusto César Barros Barbosa Métodos Observacionais em Climatologia e Meteorologia de Mesoescala Professora: Dra. Leila Maria Vespoli de Carvalho São Paulo 16 outubro 2008

2 Objetivo Mostrar dentro de um contexto histórico, à necessidade de se utilizar a transformada em ondaletas como uma ferramenta (técnica) importante na investigação de fenômenos não-estacionários, onde a análise de Fourier tradicional não é recomendável (Farge, 1992).

3 Uma Breve História: Fourier, Joseph
Físico e Matemático Francês. Nasceu em 21 de Março de1768 em Auxerre (França). Faleceu em 16 de Maio de 1830 em Paris aos 62 anos.

4 Joseph Fourier afirmou que qualquer função periódica f(x) poderia ser expressa por uma somatória de senos e cossenos da seguinte forma: onde a0, ak e bk são os coeficientes de Fourier da série.

5 A Transformada de Fourier (TF) é uma ferramenta útil para saber a contribuição para a energia total da série temporal (estacionária), de cada função seno e cosseno que estão presentes nesta série. A TF é definida da seguinte forma: onde ω é a freqüência e f(x) é a série temporal. Note que ocorre o que se chama de “Convolução”. Princípio importante para o entendimento da teoria das ondaletas.

6 A Convolução Onde: 1. f(x) representa uma série temporal qualquer.
“Toda transformação linear que seja invariante por translação, pode ser escrita sob a forma de uma convolução.” Define-se a convolução contínua unidimensional entre duas funções f(x) e g(x), no ponto t como: Onde: 1. f(x) representa uma série temporal qualquer. 2. g(x) representa um filtro que tem o papel de identificar e selecionar o período de cada componente oscilatória presente em f(x).

7 A Linearidade da TF Demonstração da linearidade da transformada de Fourier em funções unidimensionais f(x) e g(x), onde c é uma constante qualquer.

8 A Linearidade da Convolução
Demonstração da linearidade da convolução para as funções unidimensionais f(x), g(x) e uma função fixa h(x), onde c é uma constante pertencente aos reais.

9 Relação entre a TF e a Convolução
A seguinte propriedade básica relaciona a operação de convolução com a transformada de Fourier. Onde f(x) e g(x) são funções quaisquer.

10 Aplicação da TF Como exemplo ilustrativo será mostrado três séries temporais de funções senos com 16s de duração e de amplitudes e freqüências diferentes (1, 5 e 10Hz).

11 O Espectro de Energia A figura mostra a presença das três freqüências promovidas pelas funções senos presentes na série temporal.

12 A Transformada de Fourier Janelada
Gabor em 1946, percebeu a deficiente aplicabilidade da TF em séries temporais não-estacionárias. Problemáticas: 1. Janela Fixa. 2. Energia Infinita (-∞ & +∞).

13 A Transformada em Ondaleta Contínua
A transformada em ondaletas contínua é uma transformada linear que pode ser utilizada na análise de sinais não-estacionários para extrair informações das variações em freqüência desses sinais. Para que uma função seja denominada de Função Ondaleta (FO), representada pela letra psi, deve satisfazer a duas propriedades distintas, descritas abaixo: 1ª) A integral dessa função deve ser zero, ou seja:

14 Continua... 2ª) A FO deve possuir energia unitária, isto é:
De um modo geral as funções denominadas de ondaletas, possuem a propriedade básica de dupla localização em tempo e em freqüência, onde: Tempo: Ocorre por ser localizada em um intervalo finito. Freqüência: Se dá ao fato da TF da FO poder ser interpretada como um filtro passa-banda.

15 Localização Tempo - Freqüência
Arbitrado pelo Princípio da Incerteza de Heisenberg

16 A Função Ondaleta A análise por ondaletas baseia-se na CONVOLUÇÃO do sinal em estudo f(t) com sucessivas funções representativas de escalas diferentes, as funções ondaletas ψj,k(t). A função ondaleta pode ser definida da seguinte forma: A Transformada em ondaleta de uma função f(t) é definida como se segue:

17 Continua... As funções são funções ondaletas derivadas da ondaleta base por translações e por mudanças de escala. Assim a transformada em ondaletas contínua de uma série temporal f(t) é definida como a convolução da função (série) com o complexo conjugado da ondaleta mãe escalonada e normalizada.

18 A Função Ondaleta Base de Morlet
A função ondaleta base de Morlet é definida da seguinte forma: Logo a transformada em ondaletas utilizando a FO de Morlet será: Como em geral a operação de convolução é mais complexa de calcular do que a TF, usa-se o teorema da convolução para determinar as integrais das funções convoluídas, calculando-se o produto das TF das funções envolvidas.

19 Sinal da Função Ondaleta de Morlet
Parte Real (Linha Sólida) e Parte Imaginária (Linha Pontilhada), parte da Ondeleta de Morlet com ω0=6. Figura tirada de D. Maraun & J. Kurts (2004). (a) Sinal da ondeleta de Morlet com largura e amplitude arbitrária, (b) Construção da ondeleta de Morlet (azul tracejado) a partir de uma onda seno (verde), modulada por um pacote gaussiano (vermelho), Torrence & Compo (1998).

20 Significância Estatística Pk
Para a significância estatística da ondeleta, pode-se utilizar a ‘hipótese nula’ em que o sinal é ruído vermelho com dado ‘Background Power Spectrum (Pk)’ Allen & Smith (1996), em que se encontra: Onde: α é a autocorrelação da série com o ruído vermelho. k são os índices da freqüência de Fourier.

21 Sinal Escalonado e Deslocado
Exemplo de uma Função Ondaleta escalada e transladada, utilizando-se a ondaleta-base de Morlet (Parte superior). Sinal não normalizado. Figuras tiradas da dissertação de Regis Rossi Alves Faria, EPUSP

22 Janelas de Análise no Plano Tempo – Freqüência para TEF e Ondaletas
Figuras tiradas da dissertação de Regis Rossi Alves Faria, EPUSP

23 A Translação e a Dilatação no Espaço
O termo ondaletas refere-se a um conjunto de funções com forma de pequenas ondas geradas por dilatações Ψ(t)→Ψ(2t) e, translações, Ψ(t)→Ψ(t+1),de uma função geradora base. Suponhamos uma série temporal com comprimento s de 1024 pontos de tal forma que tenhamos: Logo a 1ª escala será: 2n n-1 2n

24 Continua... Em seguida teremos: 2n-2 2n-2 2n-2 2n-2
A representação de “Multiresolução” fornece uma moldura hierárquica simples para interpretação de informação da série temporal. A diferentes resoluções, os detalhes de um sinal geralmente caracterizam diferentes estruturas do mesmo.

25 Continua... O processo mostrado anteriormente proporcionará um diagrama conhecido como “Periodograma de Ondaletas”, como mostrado logo abaixo:

26 Resultados... Note que, através do periodograma, podemos identificar exatamente quais as freqüências predominantes em uma série temporal qualquer. Tal fato, é extremamente importante na análise de séries temporais não-estacionárias.

27 A Transformada em Ondaletas Cruzada
Assim como na TF é possível definir a ondaleta cruzada de duas séries temporais, como WnXY=WXWY*, onde (*) denota o complexo conjugado e (n=1,...N); além disso, define-se o espectro de energia da ondaleta cruzada como sendo: onde Zν(p) é o nível de confiança associado com a probabilidade p para o Probability Density Function (PDF) definido pela raiz quadrada do produto de duas distribuições Q2. Por exemplo, os 5% do nível de significância nos gráficos das OC deve ser utilizado Z2(95%).

28 O Ângulo de Fase da Ondaleta Cruzada
A média circular de um conjunto de ângulos (ai, i =1...n) é definido de acordo com (Zar et al., 1999). O Transforma em Ondaletas Coerência De acordo com Torrence & Webster (1999), pode-se definir a Ondaleta Coerência entre duas séries temporais como:

29 Continua... É útil pensar em ondaletas coerência como um coeficiente de correlação localizado em tempo-freqüência-espaço. A definição de S se dá da seguinte forma: onde Sescala denota a suavização ao longo da escala dos eixos das ondaletas e Stempo no tempo. Para a ondaleta base de Morlet, um operador de suavização é dado de acordo com Torrence & Webster (1999).

30 Áreas de Aplicação Turbulência Atmosférica (C. Rodrigues Neto et al.,2001)Processamento de Sinais (M. Vertteli & C. Herley, 1992) Sistemas Hidrológicos (D. J. R. Nordemann, 1998) Geofísica Espacial (M. J. A. Bolzan, 2005 ) 4. Interação Oceano-Atmosfera (Barbosa & Camargo, 2006) 5. Convecção Tropical (Weng & Lau, 1994) 6. O ENSO (Gu & Philander, 1995) 7. Frentes Frias Atmosféricas (Gamage & Blumen, 1993) 8. Estruturas coerentes em fluxos turbulentos (Farge, 1992)

31 Aplicação A figura mostra uma língua fria (Ondas de Instabilidade Tropical - OIT)

32 Diagrama de Hovmöller da TSM no Equador, 1ºN, 2ºN, 3ºN e 4ºN; para o ano de 2001. Temperatura em ºC.
TSM filtrada em dias. Anomalias em ºC.

33 A Interpretação Física
TSM e o vento completamente em fase. Vento avançado 45º da TSM. A TSM responde em 1/8 do período. Vento avançado 90º da TSM. A TSM responde em 1/4 do período. Vento avançado 135º da TSM. A TSM responde em 3/8 do período. Vento e TSM em fase completamente opostas. Vento defasado 225º da TSM, ou a TSM avançada 135º do vento. O vento responde com 3/8 do período. Vento defasado 90º da TSM. O vento responde em 1/4 do período. Vento defasado 45º da TSM. O vento responde em 1/8 do período.

34 Dias Juliano: 50: 19/02 100:10/04 150:30/05 200:19/07 250:07/09 300:27/10 350:16/12

35 Dias Juliano: 50: 19/02 100:10/04 150:30/05 200:19/07 250:07/09 300:27/10 350:16/12

36 Dias Juliano: 50: 19/02 100:10/04 150:30/05 200:19/07 250:07/09
300:27/10 350:16/12 XWT TSMxUU 1ºN19ºW 2001. WTC TSMxUU 1ºN19ºW 2001.

37 Dias Juliano: 50: 19/02 100:10/04 150:30/05 200:19/07 250:07/09
300:27/10 350:16/12 XWT TSMxVV 1ºN19ºW 2001. WTC TSMxVV 1ºN19ºW 2001.

38 Continua...

39 Existe a Necessidade de um Filtro?
É útil pensar em ondaletas como consecutivos filtros passa-banda, mas até quando isso é viável?

40 Continua...

41 Considerações Finais... A TRANSFORMADA WAVELETS (ONDALETAS), REVELA NO TEMPO QUAL PARTE DO SINAL ANALISADO TRANSPORTA ENERGIA SIGNIFICATIVA E, EM QUAIS FREQÜÊNCIAS (ESCALAS). TODAVIA, A UTILIZAÇÃO DE UM FILTRO EM ALGUNS CASOS TORNA-SE BASTANTE VIÁVEL. Augusto Barbosa.

42 Obrigado!!!