Pesquisa Operacional.

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional? O que é isso?
Vamos supor que você tivesse uma confecção que produzisse apenas dois tipos de roupas: camiseta e calça. Você precisa definir o que será produzido diariamente. Vamos imaginar então algumas condições: Se o lucro obtido com as vendas das camisetas fosse R$10,00 e com a venda das calças fosse R$ 30,00, como voce balancearia a sua produção?Por que? A sua confecção tem apenas uma funcionária. A mesma trabalha 8h por dia e para confeccionar uma calça, ela leva 4h, enquanto para confeccionar uma camiseta, ela leva apenas 1h. Como seria a produção agora?

Pesquisa Operacional? O que é isso?
Imagine agora que para produzir uma calça, a funcionária precisa de 3m de tecido e para a camiseta, ela precisa de 2m. Sua confecção recebe por dia apenas 6m de tecido. O que você faria agora? Por que voce mudou constantemente de opinião? Agora, imagine que você inclua nesse raciocínio informações referentes à área, energia, impostos, horas extras, preferência dos clientes, etc., etc. Seria tão fácil definir o balanceamento da produção?

Cap. 1:Pesquisa operacional - Conceitos
O termo foi utilizado pela primeira vez durante a Segunda Guerra Mundial para resolver problemas de operações militares O que buscava? Determinar a melhor utilização dos recursos limitados Como? Através de técnicas e métodos científicos qualitativos Utilizava equipes interdisciplinares

A pesquisa operacional passou então a ser utilizada nas empresas pois se tornou uma ferramenta no auxílio à tomada de decisão. Ela é baseada na racionalidade, e se utiliza de fatos ao invés de opiniões ou experiências de executivos ou especialistas É parte da Ciência da Administração A PO tem duas características muito importantes Enfoque sistêmico Utilização de Modelos (Experimentação)

De acordo com Andrade E.L., em seu livro Introdução à Pesquisa Operacional (2009): ENFOQUE SISTÊMICO: Uma abordagem aberta para reconhecer os vários aspectos envolvidos num problema gerencial EXPERIMENTAÇÃO: Uma decisão pode ser testada e avaliada antes de ser efetivamente implementada.

Como a PO é uma ferramenta de auxilio à tomada de decisão, vamos entender melhor como é esse processo decisório: As principais características do mesmo são: É uma seqüência de fatos; É complexo; Utiliza capitales subjetivos; É influenciado pelo ambiente ou estrutura organizacional.

Seqüência de fatos: Mesmo quando se tem a impressão de que a tomada de decisão foi feita de impulso, a decisão é conseqüência de uma série de fatos anteriores que criaram as bases para se chegar à ela. Uma decisão significativa resulta de uma compilação de muitas decisões que abrangem um leque de aspectos do problema e que freqüentemente, requer muito tempo. Fonte:Andrade E.L. (2009)

Processo complexo: Quase sempre a informação relativa ao problema é insuficiente...dentro da empresa o próprio processo também varia, dependendo do problema e do nível de decisão necessário. Assim sendo, os processos diferem quanto ao: Tamanho do grupo de decisão; Tipos de sistemas de informações gerenciais; Tipos de decisões que devem ser tomadas; Estilo de liderança dos administradores; Nível da decisão dentro da empresa. Fonte: Andrade E.L. (2009)

Utiliza capitales subjetivos: A maior parte do processo que se deve seguir para preparar melhores decisões é identificável e clara, podendo ser repetida por outras pessoas em outras ocasiões; É enorme o número de fatores intuitivos proveniente de experiência pessoal e da personalidade do gestor, envolvido no processo de tomada de decisão Fonte: Andrade E.L. (2009)

É influenciado pelo ambiente ou estrutura organizacional: Estrutura organizacional influencia o processo Fatores importantes: Inter-relacionamento entre pessoas e grupos; Fluxo de informações; Sistema hierárquico; Características do negócio e da organização. Fonte: Andrade E.L. (2009)

Agora que já exploramos o conceito sobre processo decisório, vamos discutir um pouco sobre a utilização da Pesquisa Operacional nas empresas. Através da PO, podemos utilizar métodos matemáticos e estatísticos para buscar uma decisão ótima para um problema. Com o uso de técnicas de modelagem, transformamos problemas em seqüências de equações ou inequações. Mas será que isso é totalmente aceito pela alta administração?

Quando, em alguns momentos a administração discorda do excesso matemático da PO (pouca flexibilidade), ainda assim, a mesma passa a ter uma relevância qualitativa no processo. A tentativa da modelagem do problema gera grande conhecimento sobre o problema em sí. Começa-se então a conhecer quais são as informações relevantes do mesmo, quais os resultados possíveis de se conseguir, etc.

Qual é a estrutura de um trabalho de Pesquisa Operacional? De acordo com Andrade E.L. (2009), a implementação completa de um trabalhos de PO é dividido em 6 fases, que veremos a seguir: Fase 1 – Definição do problema: Onde são entendidos os objetivos do estudo, são identificadas as alternativas de decisão e são relatadas as limitações. Fase 2 – Construção do modelo (que pode ou não ser matemático): Quanto mais adequadamente esse modelo representar a realidade do problema, melhor será a solução proveniente do processo como um todo.

Fase 3 – Solução do modelo: No caso dos modelos matemáticos, a solução (chamada de solução “ótima”)é obtida através do algoritmo mais adequado; Fase 4 – Validação do modelo: Apesar de nem sempre o modelo representar com perfeição a realidade, ele deverá ser capaz de reproduzir o comportamento do sistema. Para isso, costuma-se usar dados existentes para simular o modelo criado.

Fase 5 – Implementação da solução: Um acompanhamento especial deve ser feito quando convertemos a solução obtida pelo modelo em um nova regra operacional. Algumas adaptações poderão ser necessárias; Fase 6 – Avaliação final: Consiste em verificar os resultados obtidos em todas as possíveis fases do processo

Cap 2:Modelagem de Problemas
Como já discutimos, a Pesquisa Operacional busca construir um modelo que represente adequadamente uma situação física, que obviamente será o objeto de estudo. Os tipos de modelo podem ser: Conceitual; Heurístico; Matemático.

Modelo Conceitual: Um sistema real possui normalmente grande complexidade, devido ao elevado numero de elementos envolvidos. Mas quando analisados adequadamente, perceberemos que em geral o mesmo possui um comportamento gerenciado por um número reduzido de elementos principais. O modelo conceitual é então representado por um sistema reduzido que reproduz as principais características do sistema real.

Modelo Heurístico: Do dicionário, heurística significa o conjunto de regras e métodos que visam a resolução de problemas. Na PO, esses modelos são utilizados quando a complexidade de um problema é tamanha que impossibilita (ou inviabiliza) a utilização de métodos matemáticos para a sua solução. Eles se baseiam no processo de se encontrar inicialmente uma solução e a seguir, outras mais aprimoradas.

Modelo Matemático: De uma forma bastante resumida, o modelo matemático é a representação das operações de um sistema real através de funções matemáticas. É o modelo mais utilizado em PO e, obviamente, o que iremos estudar. Para a sua construção, deve-se admitir que todas as variáveis importantes do sistema serão quantificáveis (quantitativas). A solução do modelo matemático se faz então pela resolução das equações definidas.

O Modelo Matemático pode ser dividido em: Modelos de Simulação; Modelos de Otimização. Modelos de Simulação: A grande característica desse modelo é que o mesmo permite analisar as alternativas antes da implementação das mesmas. O analista pode então “brincar” com as várias hipóteses e analisar as soluções encontradas para cada uma delas

Modelos de Otimização: Esses modelos são menos flexíveis, uma vez que busca encontrar uma única solução, chamada de “solução ótima”. Essa solução é tomada como referencia para a decisão real sobre o sistema.

A construção de um modelo matemático se resumirá basicamente na obtenção dos três seguintes elementos: Variáveis de Decisão: Como nas equações matemáticas que estamos acostumados a trabalhar, a obtenção da solução do problema se faz através da obtenção das variáveis do mesmo. Função Objetivo: É a função matemática que, através das variáveis de decisão, melhor define o sistema real Restrições: Representam as limitações físicas do sistema; elas limitam os capitales possíveis das variáveis de decisão.

Exemplo 2.1: D. Maria possui uma confecção que produz apenas dois tipos de roupas, calças e camiseta. A calça é vendida a R$ 40,00 e na sua fabricação, são gastos R$ 15,00 em tecido (matéria prima). Já a camiseta é vendida por R$22,00 e o gasto com tecido é de R$ 8,00. D. Maria também já calculou o custo relativo à Mão de Obra. Para a calça, o gasto é de R$ 12,00 e para a camiseta, de R$ 10,00.

Outra informação importante é que as roupas precisam de Mão de Obra especializada. Ambas passam inicialmente por costureiras que cortam os tecidos (que vamos chamar de “corte”) e posteriormente por outras que fazem a costura e dão o acabamento (que chamaremos de “acabamento”). Para confeccionar a calça, é preciso 2 h de corte e 1h de acabamento, enquanto que para a camiseta, é preciso 1h de corte e 1h de acabamento. A disponibilidade do corte é de 80h por semana. O acabamento dispões apenas de 60h.

A confecção da D. Maria é muito próxima de uma grande loja de tecidos, por isso, a Matéria Prima não é problema para ela. Finalmente, por ser um pouco mais cara, a calça tem uma demanda limitada a 50 peças por semana. Já a camiseta não tem limite de demanda. Como a D. Maria deveria balancear sua confecção?

Resolução: 1) Variáveis de decisão: Quais são as incógnitas do meu problema? O que a D. Maria precisa saber ao final desse exercício? X1: Quantidade de calças produzidas X2: Quantidade de camisetas produzidas

2) Função Objetivo: É a equação matemática que vai “modelar” nossa busca. Numa Programação Linear, nós sempre buscaremos minimizar uma função ou maximizá-la. Nesse caso, o que queremos? O maior lucro? O menor custo de MO? O que? O maior lucro. Assim, inicialmente: L= 40X1 + 22X2 Mas e os gastos?

Os gastos são: Matéria Prima: 15X1+8X2 Mão de Obra: 12X1+10X2 Assim o lucro é: L= 40X1 + 22X2 – (15X1+8X2) – (12X1+10X2) L= 13X1 + 4X2 Nos queremos o máximo ou o mínimo lucro? Então a função objetivo é: Max L = 13X1 + 4X2

3) Restrições: Em geral, qualquer processo possui limitações, que podem ser a quantidade matérias prima, as horas de produção, a quantidade absorvida pelo mercado, etc., etc. No nosso exemplo, também temos limitações que também precisamos definir matematicamente. Elas são: 1- Dispomos apenas de 80 h de corte por semana 2- Dispomos apenas de 60 h de acabamento por semana 3- Por mais que produzamos calças, conseguiremos vender apenas 50 delas a cada semana

Vejamos como ficaria a restrição 1, que é o tempo de corte: A quantidade de calças produzidas (X1) vezes o tempo de corte utilizado para produzir cada calça (2h), somado à quantidade de camisetas produzidas (X2) vezes o tempo utilizado para produzir cada camiseta (1h) deve ser menor que o tempo total disponível pelo corte (80h), ou seja: 2X1 + 1X2 ≤ 80

Usando o mesmo raciocínio para a restrição 2, que é o tempo de acabamento, teremos: A quantidade de calças produzidas (X1) vezes o tempo de acabamento utilizado para produzir cada calça (1h), somado à quantidade de camisetas produzidas (X2) vezes o tempo utilizado para produzir cada camiseta (1h) deve ser menor que o tempo total disponível pelo acabamento (60h), ou seja: X1 + X2 ≤ 60

E para a restrição 3, que é a demanda de calças, não podemos permitir que a quantidade de calças produzidas (X1) seja maior que o que será vendido (50 peças), assim: X1≤ 50 Finalmente, para que esse processo seja real, não podemos permitir uma “produção negativa”, ou seja: X1≥0 X2≥0 Nota: Essa restrição adicional sempre deve ser colocada nos modelos

As restrições então seriam: Corte: 2X1 + X2 ≤ 80 Acabamento: X1 + X2 ≤ 60 Demanda: X1≤ 50 X1≥0 X2≥0

Resumo: Max L = 13X1 + 4X2 Sujeito a 2X1 + 1X2 ≤ 80 X1 + X2 ≤ 60 X1≤ 50 X1≥0 X2≥0

Exercício Proposto 1: Uma empresa de eletrônicos acredita que conseguirá aumentar suas vendas através de propagandas na televisão. Alguns produtos se destinam às mulheres e outros às crianças. A empresa entende que os comerciais que mais atingirão os seus dois público alvos são os dos intervalos de novela e dos programas matinais infantis. Cada comercial transmitido durante as novelas é visto por 9 milhões de mulheres e por 1 milhão de crianças, enquanto durante os programas infantis, 8 milhões de crianças assistem, e 3 milhões de mulheres.

O preço do minuto de propaganda varia da seguinte forma: 80 milhões durante a transmissão de novelas e 10 milhões pela manhã. O que a empresa busca é o custo mínimo de propaganda sendo que ela tem o objetivo de atingir um público de pelo menos 30 milhões de mulheres e 20 milhões de crianças.

Exercício Proposto 1 - Solução: 1) Variáveis de decisão: X1: Quantidade de comerciais em novelas X2: Quantidade de comerciais em infantis 2) Função objetivo: Min L= 80X1 + 10X2 3) Restrições 9X1 + 3X2 ≥ 30 X1 + 8X2 ≥ 20 X1 e X2 ≥ 0

Resumo: Min L= 80X1 + 10X2 Sujeito a 9X1 + 3X2 ≥ 30 X1 + 8X2 ≥ 20 X1 e X2 ≥ 0

Exercício Proposto 2: Uma fábrica de móveis produz apenas armários e camas. Os armários são vendidos por R$ 200,00 cada, enquanto as camas por R$ 100,00. Durante o processo de produção, ambos precisam passar por três tipos de processos: o primeiro é a montagem, o segundo é o acabamento e o terceiro, a pintura. Se a montagem trabalhar apenas com armários, ela conseguirá montar 20 peças em um dia. Se estiver trabalhando apenas com as camas, montará 25 peças.

O acabamento é capaz de finalizar 30 armários, se esse for o único produto do dia e 40 camas, se trabalhar apenas com esse produto. E finalmente, se estiver fazendo apenas armários no dia, a demanda da pintura é de 20 peças. Esse é o mesmo capital que será pintado se somente camas forem produzidas. Cada armário produzido, gasta R$10,00 de Mão de Obra e 6m de madeira. Já a cama, gasta R$8,00 de mão de obra e 4m com a madeira.O preço da madeira é R$10,00 o metro e a fabrica recebe apenas 120m de madeira por dia.Como programar a produção?

Exercício Proposto 2 - Solução: 1) Variáveis de decisão: X1= Quantidade de armários produzidos X2= Quantidade de camas produzidas 2) Função objetivo: Vamos primeiro simplificar o enunciado: capital de venda Custo MO Custo Madeira Armário 200 10 6X10=60 Cama 100 8 4X10=40

Assim, temos inicialmente: capital de venda=200X1+100X2 Porem, os custos são: Custos de MO=10X1+8X2 Custos de Matéria Prima=(6x10)X1+(4x10)X2 Assim, Lucro=200X1+100X2-(10X1+8X2)-(60X1+40X2) Max L= 130X1+52X2

3) Restrições: Montagem: Armário 20 peças – 1 dia 1 peça – y dia y=0,05 Cama 25 peças – 1 dia 1 peça – y dia y=0,04 Restrição 1) 0,05X1+0,04X2≤1

Acabamento: Armário 30 peças – 1 dia 1 peça – y dia y=0,033 Cama 40 peças – 1 dia 1 peça – y dia y=0,025 Restrição 2) 0,033X1+0,025X2≤1 Pintura Armário 20 peças – 1 dia E cama peça – y dia y=0,05 Restrição 3) 0,05X1+0,05X2≤1

Restrição 4) Madeira: 6X1+4X2≤120

Resumo Max L= 130X1+52X2 Sujeito a 0,05X1+0,04X2≤1 0,033X1+0,025X2≤1 0,05X1+0,05X2≤1 6X1+4X2≤120 X1 e X2≥0

Cap 3:Método Gráfico para a solução de um problema de PL
Até agora, o que fizemos foi achar o modelo matemático referente ao processo (ou problema) que temos. Mas como achar os valores das variáveis de decisão? (que é a solução do nosso problema) Estudaremos o método gráfico para isso. Exemplo 3.1 Uma artesã produz colares e pulseiras. Os colares são vendidos a R$18,00 e as pulseiras à R$15,00. Ela gasta R$ 15,00 em matéria prima para fabricar o colar e R$13,00 para a pulseira.Cada colar utiliza 2 pedras de cristal e 1 detalhe de metal. Já a pulseira utiliza 1 pedra de cristal e 1 detalhe de metal.A artesã consegue

comprar apenas 100 pedras de cristal por dia e 80 detalhes de metal. Ambos os adornos utilizam outros materiais como couro, linha, etc. mas que não tem problemas para serem obtidos.A artesã também percebeu que ela não consegue vender mais que 35 colares por dia. Qual a quantidade de colares e pulseiras que ela deve fazer?

1) Variáveis de decisão: X1=Quantidade de colares X2=Quantidade de pulseiras 2) Função objetivo: Max L=18X1+15X2-(15X1+13X2) Max L=3X1+2X2 3) Restrições Pedras de Cristal:2X1+X2≤100 Detalhes de Metal:X1+X2≤80 Demanda de colares:X1≤35 X1 e X2≥0

Resumo: Max L=3X1+2X2 Sujeito a: 2X1+X2≤100 X1+X2≤80 X1≤35 X1≥0 X2≥0

Solução gráfica: Inicialmente vamos encontrar a região de solução do problema que é o conjunto dos pontos que satisfazem todas as restrições Por exemplo, podemos dizer que X1=20 e X2=30? Sim, pois: 2X1+X2≤100→2x20+30=70 ≤ 100 (satisfaz) X1+X2≤80→20+30=50 ≤ 80 (satisfaz) X1≤35→20≤35 (satisfaz) X1≥0 → 20≥0 (satisfaz) X2≥0 → 30≥0 (satisfaz) Mas, seria esse o ponto ótimo?

Podemos dizer agora que X1=35 e X2=40? Não, pois: 2X1+X2≤100→2x35+40=110 ≤ 100 (Não satisfaz) X1+X2≤80→35+40=75 ≤ 80 (satisfaz) X1≤35→35≤35 (satisfaz) X1≥0 → 35≥0 (satisfaz) X2≥0 → 40≥0 (satisfaz). Esse ponto não faz parte da região de solução. Vamos achar a região de solução:

1) Para 2X1+X2≤100, temos X1=0;X2=100 e X2=0;X1=50 2) Para X1+X2≤80, temos X1=0;X2=80 e X2=0;X1=80 3) Para X1≤35, temos X1=35 Dessa maneira, definimos a região de solução, que se encontra entre as retas traçadas

Agora, para acharmos o ponto ótimo, precisamos definir no gráfico a reta que será maximizada. Para isso, escolhe-se qualquer ponto (dentro da região de solução), ex.(10,0) 3X1+2X2=3x10+2x0=30 assim Para 3X1+2X2=30, X2=(30-3X1)/2=15-3/2X1 Assim, para X1=0=>X2=15 Então temos a reta que passa por (10,0) e (0,15). Finalmente, o ponto ótimo é (20,60) Max L=3X1+2X2=3x20+2x60=180

Nota 1: Note que a solução gráfica só é possível quando se tem apenas duas variáveis Nota 2: Muitos problemas de PL tem uma única solução (ótima) Mas alguns tem várias soluções Outros ainda, não tem solução

Exercícios 3.1-Resolver graficamente o exemplo 2.1 3.2-Resolver graficamente: Andrade E.L.(2009) Max Z=3X1+6X2 Sujeito a: 9X1+8X2≤72 X2≤6 -5X1+4X2≤20 2X1-4X2≤0 X1≥ e X2≥ 0

Resolução gráfica do exemplo 2.1: Max L = 13X1 + 4X2 Sujeito a 2X1 + 1X2 ≤ 80 X1 + X2 ≤ 60 X1≤ 50 X1 e X2 ≥0 1)Para 2X1+X2≤80=>(0,80) (40,0) 2)Para X1+X2≤60=>(0,60) (60,0) 3)Para X1≤50=>(50,0) 4)Função objetivo: (10,0)=>13X1+4X2=130=> X2=(130-13X1)/4 Para X1=0, X2=32,5 Ponto Ótimo (40,0) L=13x40+4x0=520

Resposta Exercício 3.2 Max Z=3X1+6X2 Sujeito a: 9X1+8X2≤72 X2≤6 -5X1+4X2≤20 2X1-4X2≤0 1)Para 9X1+8X2≤72 =>(0,9) (8,0) 2)Para X2≤6 =>(0,6) 3)Para -5X1+4X2≤20 =>(0,5) (-4,0) 4)Para 2X1-4X2≤0 =>X1=2X2=>(2,1) 5)Função objetivo: (2,0)=>3X1+6X2=6=>X2=1-½X1=>(0,1) Das intersecções das curvas, temos 1)X2=6 2)9X1+8X2=72 P/X2=6 =>X1=2,67 Ponto Ótimo (2,67; 6) L=3x2,67+6x6=44

Exercícios 3.3-Resolver graficamente: Andrade E.L.(2009) Max Z=4X1+8X2 Sujeito a: 2X1+0,5X2≤10 4X1-2X2 ≥ 0 -X1+5X2 ≥0 X1+2X2≤10 X1≥ e X2≥ 0

Cap 4:Problemas Especiais de PL 4.1 – Transporte
Exercício proposto 4.2.1 Uma empresa de eletrônicos possui duas plantas na região sudeste, sendo uma em Itajubá e outra em Ribeirão Preto. As plantas abastecem três depósitos de distribuição,um em São Paulo, um no Rio de Janeiro e o terceiro em Belo Horizonte. A planta de Itajubá tem capacidade de produzir o equivalente a 20 caminhões de eletrônicos por semana, enquanto a planta de Ribeirão Preto produz o equivalente a 30 caminhões. Já os depósitos de distribuição, possuem a capacidade de armazenamento semanal da seguinte maneira: São Paulo pode receber 19 caminhões, Rio de Janeiro 16 e Belo Horizonte 15. Qual o menor custo de transporte podemos ter, sendo que o capital das viagens varia de acordo com a tabela abaixo (R$)? Destino: S. Paulo R. Janeiro B. Horizonte Procedência: Itajubá 250,00 400,00 350,00 Rib. Preto 200,00 450,00 380,00

Cap 4:Problemas Especiais de PL 4.2 – Carteira de Investimentos
Exercício proposto 4.2.1 Sua empresa decidiu investir em Fundos de Investimentos todo o capital excedente que acumulou durante o ano. Você será responsável por esse investimento. A sua empresa definiu que o investimento só seria feito em empresas cujos ramos de negócios fossem seguros, que ela definiu como Alimentos, Petróleo, Cosméticos e Lojas de Departamentos. Também foi definido que, por segurança, os investimentos por categoria não poderiam ultrapassar 40% do montante e o investimento em uma única empresa não poderia ser maior que 20%. Segue abaixo as lucratividades das principais empresas dos ramos definidos. Empresa Ramo Neg. Lucrat. Esperada Petrobras Petróleo 12% Sadia Alimento 9% Pif Paf 13% Esso 11% Avon Cosmético Nestle 10% Boticário Americanas L. Depto Magazine Luiza Casas Bahia

Cap 4:Problemas Especiais de PL 4.3 – Mistura ou Dosagem
Exercício proposto 4.3.1 Uma fábrica de bolachas precisa produzir 100 kg de bolachas ao menor custo possível. Os teores máximos e mínimos da composição, seguem abaixo: Elemento Mínimo (%) Máximo (%) Carboidratos 2 6 Proteínas 4 9 Gorduras 12 16 Fibra Alimentar 1 3 Emulsificante 0,2 As matérias primas relevantes são (desconsiderar as outras MP): Nome Carboid.(%) Proteínas(%) Gorduras(%) Fibras(%) Custo(R$) Farinha Especial 4 8 9 2 25 Pirofosfato 7 14 28 Extratos 12 3 16 Fermentos Químicos 1 35 Emulsificante 46

Cap 4:Problemas Especiais de PL 4.4 – Planejamento Financeiro
Exercício proposto 4.4.1 Uma empresa de moveis produz armários, camas e mesas. Os armários são vendidos a R$ 800,00, as camas a R$ 400 e as mesas a R$ 500,00 Os armários utilizam 10m de madeira, as camas 5m e as mesas 3m, sendo que o preço da madeira é de R$ 10,00/m. A empresa possui em estoque no mês de janeiro R$ 8.000,00 A empresa gasta com Mão de Obra, R$100,00 para produzir cada armário, R$50,00 para a cama e R$50,00 para a mesa. No mês de janeiro, o dinheiro em caixa era de R$50.000, e ainda tinha mais R$ ,00 como “contas a receber”. Por outro lado, o item “duplicatas a pagar” era de R$ ,00. Ela irá receber a seguir R$ 5.000,00, e deverá pagar R$ 3.000,00 de duplicatas. Todas as vendas que a empresas faz, são recebidas no mês seguinte (tudo que é produzido em um mês, é vendido no mesmo mês) e todo o material comprado, é pago dois meses depois. Em fevereiro a empresa comprou R$ 4.000,00 em matéria prima. A empresa sabe que não consegue vender mais que 120 armários, 150 camas e 200 mesas.

Cap 4:Problemas Especiais de PL 4.4 – Planejamento Financeiro
Financeiramente, existem duas exigências para o mês de fevereiro: o dinheiro em caixa deve ser no mínimo R$ ,00 e o ativo circulante deve ser no mínimo quatro vezes e meia o passivo circulante. Para efeito didático, desconsidere todos os outro itens do balanço patrimonial. Também não tem nenhum tipo de limitação de Mão de Obra Qual deve ser a produção de Janeiro?

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