Formulação Integral das Equações de Transporte

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1 Formulação Integral das Equações de Transporte
Parte I Formulação Integral das Equações de Transporte

2 As Leis Físicas e o Conceito de Sistema
“As leis da natureza não foram inventadas pelo homem, mas sim forçadas sobre ele pelo próprio mundo natural. São a expressão de uma ordem racional do mundo“; Max Planck As leis físicas foram desenvolvidas para sistemas: um conjunto de partículas (massa) com identidade fixa. Não há fluxo de massa na fronteira de um sistema, mas pode haver forças (pressão, tensão) e energia na forma de calor ou trabalho cruzando sua fronteira.

3 Propriedades de Sistemas
Um sistema pode ser caracterizado pela sua Massa, Quantidade de Movimento Linear, Energia, Entropia, entre outros parâmetros. Variação da Massa de um sistema é, por definição, nula: Variação da Quant. de Movimento de um sistema - 2a lei de Newton Variação da Energia de um sistema - 1a Lei da Termodinâmica Variação da Entropia de um sistema - 2a Lei da Termodinâmica Sinal Q & W: Q>0 se entra no sistema, W>0 se sai do sistema.

4 Forma Genérica Se considerarmos B uma propriedade extensiva de um sistema, sua variação pode ser expressa genericamente por: Onde S representa um termo fonte adequado para o fenômeno que B representa: massa, quantidade de movimento, energia etc.

5 Propriedade Não-Uniformes
A propriedade genérica B (massa, q. movimento, energia etc) do sistema, em geral, não é uniforme no espaço. Ela pode ser convenientemente avaliada definindo-se uma propriedade intensiva b como: De tal forma que a taxa de variação de B no sistema pode ser determinada por:

6 Propriedades de Sistemas
As equações que descrevem as variações das propriedades nos sistemas são postulados ou leis da física. Para constituirmos estas equações devemos especificar a natureza do termos fonte.

7 Equação da Massa para um Sistema
A equação da Massa é obtida fazendo-se b =1, Note que não há termo fonte de massa, pressupõe-se na ausência de efeitos nucleares.

8 Equação da Q. Movimento para um Sistema
A equação da Q. Movimento é obtida fazendo-se b = V, As forças externas são dividas em forças que agem na fronteira do sistema, Tensões T (natureza tensorial), e forças de campo que agem no volume do sistema .

9 Equação da Energia para um Sistema
A equação da Energia é obtida fazendo-se b =e, onde ‘e’ ainda não especificada neste estágio, Q e W só existem na fronteira do sistema, o calor é exclusivamente devido a condução térmica e o trabalho é aquele realizado pelas tensões que atuam na fronteira. O último termo refere-se a geração volumétrica de energia no interior do volume (reação química, dissipação efeito joule, etc)

10 2a Lei para um Sistema A 2a Lei é obtida fazendo-se b = s,
O primeiro e segundo termo referem-se a produção ou destruição de s devido a transferência de calor na fronteira e devido a geração de energia internamente ao volume. O último termo refere-se a produção de entropia devido as irreversibilidades do sistema, Ps 0.

11 Equações de Transporte ou Conservação?
Os livros textos freqüentemente denominam a taxa de variação das propriedades dos sistemas por Equações de Transporte ou Equações de Conservação. A primeira denominação sub-entende como uma propriedade específica é transportada (convecção e difusão) pelo campo. O termo conservação é igualmente aplicado porque o lado direito da equação deve ser igual ao seu lado esquerdo, isto é, o transporte deve ser igual ao termos fonte associados a produção ou destruição da propriedade!

12 Aplicação do Conceito de Sistema
Os postulados físicos para sistemas são aplicados com sucesso para partículas e corpos rígidos. No entanto encontra-se dificuldade para aplicá-los em corpos que se deformam continuamente (FLUIDOS)! Veja se você conseguiria identificar, em qualquer instante de tempo, todas as partículas de fluido que compõe o sistema ao entrar em um reator com agitação, transferência de calor e trabalho:

13 sistema Q W m 1 Instante: t0 Instante: t0+Dt

14 Sistema x Volume de Controle
Para corpos que se deformam continuamente( gases e líquidos) é difícil realizar uma análise seguindo-se o sistema! É muito mais simples se ater a uma região no espaço (Volume de Controle) onde massa pode cruzar sua fronteira. O Teorema de Transporte de Reynolds (TTR) permite que se faça uma análise de um Sistema a partir do conceito de Volume de Controle!

15 O Volume de Controle O Volume de Controle V.C. é uma região do espaço onde se deseja realizar a análise. A sua fronteira com o meio externa é delimitada pela Superfície de Controle, S.C.: massa, força e energia podem cruzar a S.C. O Volume de Controle pode ser estacionário ou móvel no espaço; fronteiras fixas ou deformáveis ou qualquer outra combinação;

16 Teorema de Transporte de Reynolds
Ele descreve a variação da propriedade do sistema em termos de propriedades medidas no Volume de Controle. onde Vr é a velocidade relativa do fluido em relação a fronteira, Vr = Vf - Vb A variação da propriedade B do sistema é igual a variação de B no V.C. mais o fluxo líquido de B que cruza a S.C.

17 Demonstração do Teorema de Transporte de Reynolds

18 Teorema de Transporte de Reynolds
No instante t0 a superfície de controle é coincidente com a fronteira do sistema. ( t0 ) (t0 + dt) system control volume I II III No instante t0+dt o sistema ‘deixa’ parcialmente o V.C. A região III está fora do V.C.; a região II ainda está dentro do V.C.; e a região I é preenchida por outro sistema.

19 Teorema de Transporte de Reynolds
A taxa de variação do sistema é escrita em função de propriedades do V.C. Identificação do sistema e do VC no instante (t0 + dt) . ( t0 ) (t0 + dt) sistema volume controle I II III Sistema = (II)+(III) V. C. = (I)+ (II)

20 Sistema com Propriedades Não-Uniformes
Com freqüência ocorre que as propriedades de uma variável não são uniformes em toda extensão espacial do sistema. Neste caso, para representar adequadamente a massa ou qualquer outra propriedade do sistema devemos somar sua contribuição em toda extensão: Onde

21 Teorema de Transporte de Reynolds
O primeiro termo representa a taxa de variação de B no V.C. ( t0 ) (t0 + dt) system control volume I II III

22 Teorema de Transporte de Reynolds
Os 2o e 3o termos representam os fluxos de B para for a e para dentro do V.C. Vr Leaving C.V. n.Vr >0 ( t0 ) (t0 + dt) system control volume I II III n Vr Entering C.V. n.Vr <0 n

23 Teorema de Transporte de Reynolds
Taxa de variação do sistema escrita em termos de propriedades do Volume de Controle, A variação de B no sistema é igual a variação de B no V.C. mais o fluxo líquido de B que cruza a S.C. A derivada ‘lagrangeana’ do sistema é determinida para uma região no espaço por meio do TTR.

24 Forma Integral das Equações de Transporte
O TTR permite escrever as Equações de Transporte a partir do conceito de Volume de Controle: b (B/M) Source Massa 1 Movimento V 1a Lei e 2a Lei s J e f são fontes genéricos associados a SC e ao VC

25 A Eq. da conservação da massa é obtida fazendo-se
B = M, b = 1. Não há fontes de superfície ou de volume; DM/Dt = 0 por definição de sistema!

26 O balanço de massa fica sendo os fluxos que entram e saem do VC:
Ex. – Escoamento de água (incompressível) com velocidade uniforme nas seções. Determine a vazão mássica em (3). São conhecidas as áreas em (1), (2) e (3) e as velocidades nas seções (1) e (2) são, respectivamente: U1 e U2+cos(wt). Fluido incompressível, r = constante e fronteira não deformável, então o termo de acumulação é nulo; O balanço de massa fica sendo os fluxos que entram e saem do VC: Comentário: não importa se as velocidades são transientes, não há termo de acumulação, a vazão instantânea que entra é igual àquela que sai!

27 Ex. – Água escoa em regime permanente através de uma placa porosa, avalie a vazão da massa na seção bc se o perfil de velocidades na seção cd é: m=? Trace uma superfície de controle Aplique o balanço de massa para R.P. Calcule os fluxos em cada face da S.C.: Note que mbc>0, portanto o fluxo de massa cruza a S.C. para fora!

28 Ex. – Um tanque de volume fixo contém salmoura, com densidade inicial ri. Água pura (dens. rA) entra no tanque e mistura-se perfeitamente com a salmoura. Determine uma expressão para a taxa de variação da densidade da salmoura rm com o tempo. Trace uma S.C. Crie um referencial Balanço de massa: como há uma mistura ‘perfeita’, a densidade média no volume é igual àquela da saída, rm então: x y Como vol. const., então a vazão volumétrica na entrada e saída são iguais a Q

29 Ex. – continuação Separando os termos vamos ter: Integrando,
y Separando os termos vamos ter: Integrando, Onde ri é a concentração inicial. Reconhecendo que V/Q é a constante de tempo, t, a razão das densidades pode ser então representada por:

30 Ex. – continuação x y Qual é a relação entre a densidade da salmoura e a concentração volumétrica do sal? Reconhecendo que as densidades do sal e da água pura são: rs e rA, então a densidade da mistura é: Onde C é a concentração volumétrica do sal, isto é, a razão entre o volume que ele ocupa e o volume da mistura,

31 Fronteira Deformável x Fronteira Fixa

32 Ex. – Um acumulador hidráulico reduz os pulsos de pressão acumulando ou descarregando óleo no seu interior. Considerando que a vazão instantânea de óleo que entra é Q e que a velocidade instantânea de saída é V numa área A, determine a taxa a qual o acumulador ganha ou perde óleo. Fronteira deformável ar Q V, A Trace uma superfície de controle Crie um referencial Aplique o balanço de massa x y Fronteira fixa Ou, A taxa de acumulação é:

33 Exemplo– Um pistão de área Ap desliza num cilindro com velocidade Vb
Exemplo– Um pistão de área Ap desliza num cilindro com velocidade Vb. Na extremidade oposta do cilindro há uma abertura de área A. Determine a velocidade de saída do jato. Considere o fluido incompressível. Trace uma superfície de controle Fronteira deformável Crie um referencial Vb Vs Aplique o balanço de massa: x y h(t) Fronteira fixa Calcule as integrais: Reconhecendo que ´-dh/dt = Vb, então:

34 Problema Desafio – Inicialmente o raio interno de um balão elástico é Ri e ar no seu interior está a pressão e temperatura Pi e T0. Ele começa a ser enchido por um fluxo de ar com velocidade V1 e densidade r1 pela seção (1) de área A1. A pressão externa ao balão é atmosférica, Patm. Considere o ar como um gás perfeito e o processo de enchimento se dá a temperatura constante T0. Determine a taxa de variação da densidade do ar no balão rb e R com o fluxo de ar na entrada. Utilize a equação de Laplace-Young para determinar a diferença de pressão em função do raio durante o processo de enchimento. Ri Pi Patm T0 R P Patm rb T0 V1 A1 r1

35 Teorema de Leibniz

36 Pode ocorrer uma função f(t) definida pela integral:
Qual seria a derivada da função f(t) em relação a t? A derivada de f(t) é definida pelo teorema de Leibniz: Note que se os limites de integração forem fixos no tempo então

37 Representação Gráfica
f(x,t+dt) A(t+dt) B(t+dt) 2 8 3 10 1 6 4 f(x,t) f(A) f(B) A(t) B(t) 7 9 5 x Agrupando os termos e fazendo dt->0, tem-se:

38 Extensão para Volumes do Teorema de Leibniz
Onde A(t) e B(t) são volumes deformáveis cuja forma depende do tempo t. df/dt depende da taxa de variação do volume (ou vazão volumétrica) nas fronteiras!

39 Como eu aplico o T. Leibnitz em Mec Flu?
onde Vb é a velocidade da fronteira. A derivada da integral do volume deformável é igual: A integral da derivada da propriedade no V.C. Mais um termo de fluxo associado com a deformação da fronteira.

40 Como fica o T.T. Reynolds?

41 Ex. revisitado ar Q V, A x y Fronteira fixa deformável Vb A velocidade da fronteira pode ser determinada a partir do balanço de massa:

42 Exemplo revisitado Vb Vs h(t) Fronteira fixa deformável A velocidade da fronteira pode ser determinada a partir do balanço de massa:

43 Conservação da Quantidade de Movimento
2ª Lei de Newton

44 O que é um Ref. Não-Inercial?
Um referencial é inercial se ele não tiver aceleração em relação a um referencial ‘estacionário’. Um referencial NI é aquele que pode apresentar aceleração linear, angular, centrífuga ou de coriolis em relação a um referencial ‘estacionário’ Exemplos de referencial NI e I: 1. ref. seguindo VC que acelera em relação ref. estacionário 2. ref. seguindo VC que descreve um arco de curva 3. ref. Seguindo VC que se desloca com velocidade constante em relação a um ref. Estacionário , este é Inercial!

45 A 2a Lei de Newton A variação de quantidade de movimento de um sistema é igual a somatória das forças externas desde que o referencial seja Inercial. Para referenciais NI é necessário relacionar a aceleração do referencial NI (xyz) a um referencial estacionário (XYZ).

46 Posição Relativa O problema fundamental é estabelecer a aceleração relativa do referencial NI a um estacionário. sistema Y r z P y w R x X Z O ref (xyz) gira com w e é localizado pelo vetor posição R. A posição do sistema PXYZ = R + r

47 Movimento Relativo A velocidade observada no ref (XYZ) é dada pela velocidade de translação de (xyz) (dR/dt = Vrf) mais a velocidade de translação e rotação do sistema em relação ao ref (xyz) (Vxyz e wxr) X Y Z y x z R P r w sistema

48 Aceleração Inercial x Não-Inercial
A aceleração do ref. (XYZ) é obtida derivando-se as velocidades relativas . Aceleração de rotação ref (xyz) Aceleração Inercial Aceleração linear medida no ref (xyz) Acel. retilínea do ref (xyz) Aceleração angular (xyz) Aceleração centrífuga Aceleração retilínea no (xyz) Aceleração Coriolis

49 Aceleração Inercial x Não-Inercial
A aceleração Inercial é composta por duas parcelas: (1) axyz : acel. do sistema medida do referencial N.I., (2) arel: termo de aceleração relativa, O termo (1) é simplesmente a aceleração medida do referencial N.I. Se o referencial estiver com velocidade linear constante então aXYZ = axyz e arel = 0 O termo (2) compõe com a axyz a aceleração inercial! Ele tem 4 parcelas : (i) aceleração linear e (ii) aceleração devido a rotação do referencial:

50 Como fica a Eq. da Massa? Nada muda!
Lembre-se porém que pode ser mais simples de realizar a análise a partir do referencial inercial móvel (xyz).

51 Como fica a Eq. da Q. Movimento?
As velocidades são medidas do referencial (xyz), onde a aceleração relativa, arel é,

52 Casos Especiais de arel
1. Sistemas Não-Inerciais caso Geral: 2. Sistemas Não-Inerciais com deslocamento linear apenas ( = 0): 3. Sistemas Não-Inerciais com rotação constante apenas:

53 Alguns devaneios sobre os efeitos do termo de aceleração de Coriolis…

54 A aceleração de Coriolis
Enquanto que os termos de aceleração retilínea, rotação e centrífugo são relativamente familiares, o mesmo não é verdade para o termo de Coriolis! O termo de Coriolis faz surgir uma força perpendicular ao plano definido pelos vetores velocidade e rotação . Filme 1 Filme 2

55 A aceleração de Coriolis
Um jato de líquido num vaso cilíndrico sem e com rotação descreverá trajetórias diferentes devido ao termo de Coriolis Vista lateral tanque Sem rotação: trajetória retilínea Com rotação: trajetória curva Ñão deixe de assistir Rotating Flows

56 Porque os furacões no hemisfério N giram no sentido anti-horário e no S no sentido horário?
Ciclone em Sta. Catarina, 2004 Sentido: horário Ciclone Fran, golfo do México, 1996 Sentido: anti- horário

57 Estrutura do Furacão (Hurricane)
Próximo ao solo, devido a rotação das massas, é criado uma região de baixa pressão que faz com que o ar seja succionado em direção ao ‘olho’

58 Hemisfério Norte w, N w Vxyz
Vista lateral Vxyz w w, N É a ação da aceleração de Coriolis e a rotação do planeta que produzem o sentido da rotação.

59 EXEMPLOS

60 C.S. (1) (2) Patm P1 Fx<0 Veja no link: força de reação de jato de água, causada por um bocal, é capaz de levantar um carro.

61 Exemplo Determine a força de arrasto em uma placa plana devido ao atrito viscoso. Considere regime permanente. A velocidade em (a-b) é uniforme e vale Uo, a velocidade em (c-d) é variável e descrita por u(y). A pressão é atmosférica. Encontre uma expressão da força de arrasto em função do perfil de velocidades. L é a largura da placa Uo u(y)  (a) (b) (d) (c) x y S.C.

62 Efeitos de Mudança de Direção na Quantidade de Movimento

63 4. 58 – Água escoa em regime permanente através de um cotovelo de 180o
4.58 – Água escoa em regime permanente através de um cotovelo de 180o. Na entrada do cotovelo a pressão manométrica é 96 kPa. Água é descarregada para a atmosfera. Admita que as propriedades são uniformes nas seções de entrada e saída, A1= 2600mm2, A2=650mm2 e V1=3,05 m/s. Determine a componente horizontal da força necessária para manter o cotovelo no lugar. F

64 HOW IS LIFT GENERATED? Lift occurs when a moving flow of fluid is turned by a solid object. When the flow is turned in one direction it causes a change in the momentum flux which, in turn, requires an equal force in the opposite direction (THE LIFT), according to Newton's Third Law of action and reaction.

65 Momentum flux face N weight Control Surface Momentum flux face S Momentum flux face E Momentum flux face W HOW IS LIFT GENERATED? If one draws a control surface C.S. encompassing a solid body which by some means deflects the flow downward, there must be a vertical net force acting on the C.S. accordingly to the Newton’s Law: In equilibrium, the lift force is equal to the body weight: L = W!

66 Animais com propulsão baseada na sucção-injeção
Efeitos de Sucção e Injeção na Quantidade de Movimento Animais com propulsão baseada na sucção-injeção Água viva (jellyfish) filme Polvo (octopus) filme

67 SUCÇÃO X INJEÇÃO (filme) Diferenças
Área de baixa pressão Área de pressão atmosf Área Baixa Pressão: linhas de corrente radiais em sentido ao centro. Descarga de um Jato: linhas de corrente paralelas a pressão atmosférica.

68 Superfície de Controle Deformável

69 Uma S.C. se movendo com a interface livre do líquido: vr=vf-vb=0
Ex – Determine a freqüência natural de oscilação de um tubo e U. Despreze o atrito. FILME h+ h- H g z L Considere: Uma S.C. se movendo com a interface livre do líquido: vr=vf-vb=0 Tubo com seção transversal constante e igual a A Velocidade no tubo igual a taxa de variação do nível, V = dh/dt

70 Referencial Não Inercial

71 A) U/Vj = Ln[1/(1-t*)] onde t* =t/t e t = (M0/m)
O carro com massa inicial M0 parte do repouso propelido pelo jato horizontal (Vj, Aj e r) que sai de seu reservatório a velocidade constante. A pista é horizontal e não há atrito nas rodas nem resistência do ar ao movimento. A) Determine a velocidade em função do tempo e a aceleração. U M0 Vj Aj r Obs.: Vj é a velocidade do jato para um observador que se move com o carro Resposta: A) U/Vj = Ln[1/(1-t*)] onde t* =t/t e t = (M0/m)

72 S.C. se movo junto com o carro
Exemplo I – Um carro com massa inicial M0 é feito por um tubo de área A com um comprimento horizontal L e um vertical h0. Na sua extremidade tem uma válvula de abertura rápida e a água está armazenada numa altura h0. A) determine a equação para movimento do carro ao abrir a válvula. B) faça uma análise do movimento considerando que após os instantes iniciais de abertura da válvula o nível de água varia linearmente com o tempo (observação experimental) V L h(t) h0 S.C. se movo junto com o carro Ref N.I. Move com Vcarro Resposta: A) -rALd2h/dt2 + rA(dh/dt)^2 = -MdU/dt