Mecânica Quântica: A equação de Schrödinger

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1 Mecânica Quântica: A equação de Schrödinger
A nova mecânica deveria ter uma formulação compatível com os fatos: 1) quantização da radiação emitida por um corpo negro 2) a quantização do átomo de Bohr 3) dualidade onda-partícula tanto para a luz quanto para o elétron 4) princípio da incerteza de Heizenberg

2 A primeira formulação para esta nova
teoria foi proposta pelo físico austríaco Erwin Schrödinger em 1926. De acordo com Schrödinger devido a dualidade onda-partícula da matéria, mesmo que uma partícula se mova em uma trajetória definida ela estará distribuída em todo o espaço como uma onda. Neste sentido, uma onda na mecânica quântica equivaleria ao conceito de trajetória na mecânica clássica e seria representada por uma função denominada função de onda, y (psi).

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4 Na mecânica de oscilações um movimento ondulatório é descrito por:
Onde é o número de onda:

5 Substituindo y(x) pela função de onda y(x) temos:

6 Esta é a equação de Schrödinger estacionária para partículas livres não relativísticas de massa m e energia E

7 Se a partícula está sujeita a ação de um campo de forças, associado a uma energia potencial V(x) temos: Esta é a equação de Schrödinger para estados estacionários de energia E na presença de energia potencial V(x).

8 Não basta formular uma equação de ondas. E preciso saber interpretá-la:
1) A que corresponde a amplitude e a intensidade da onda? 2) Qual a relação entre a onda e a partícula a ela associada? 3) As soluções da equação são fisicamente aceitáveis? O problema consiste em associar novos conceitos físicos relacionados a mecânica da escala atômica.

9 Sendo o potencial constante uma possível solução para a equação de Schrödinger, a qual pode ser obtida por métodos de resolução de equações diferenciais, é da forma: onde i é um número complexo imaginário. A solução da equação de Schrödinger é portanto, uma função de onda complexa. Como y é uma função complexa (imaginária) ela não deve ter significado físico e, portanto não pode ser medida em laboratório. Apenas as grandezas ou observáveis reais têm significado físico e podem ser medidas em laboratório.

10 Max Born foi o primeiro a dar uma interpretação, não a função de onda em si mas ao seu quadrado.
O módulo da função de onda ao quadrado y2 é uma grandeza não complexa, portanto ele deve ter significado físico. De acordo com Max Born, para movimentos em uma única dimensão x, ele é uma probabilidade por unidade x isto é: é a probabilidade de que se encontre a partícula em uma posição entre x e x + dx.

11 A mecânica quântica não é determinística, mas probabilística
A mecânica quântica não é determinística, mas probabilística. Ela nos força a abandonar a noção de trajetórias precisamente definidas das partículas no tempo e no espaço. Devemos falar em termos de probabilidades como alternativa a configurações do sistema. Esta interpretação de Y fornece uma conexão estatística entre a partícula e onda a ela associada; ela nos diz onde a partícula provavelmente estará e não onde de fato está.

12 Para uma dada carga nuclear, à medida que o número quântico principal aumenta, as regiões de alta densidade eletrônica se estendem cada vez mais além do núcleo. Pela mecânica quântica, encontramos que o valor médio do raio é dado por:

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14 Orbitais do tipo s O orbital com n = 1, l = 0, m = 0 representa o estado fundamental ou de mais baixa energia o qual é descrito pela função de onda: Como este orbital depende apenas da coordenada r então, ele é um orbital esfericamente simétrico.

15 São mostradas duas alternativas de representar a nuvem eletrônica de um orbital s:
Representa o volume esférico no qual o elétron passa a maior parte do tempo. Probabilidade de encontrar o elétron (representada pela densidade de pontos) diminui à medida que nos afastamos do núcleo.

16 Orbital tipo p A forma geométrica dos orbitais p é a de duas esferas achatadas até o ponto de contato (o núcleo atômico ) e orientadas segundo os eixos de coordenadas.

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18 Molécula de C2H2

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20 Partículas Fundamentais
A matéria que compõe todas as coisas no universo é na verdade um conglomerado de alguns blocos fundamentais de construção da natureza.  "fundamental" é a palavra chave Os blocos fundamentais de construção são objetos que são simples e sem estrutura - não são constituídos por nada menor. 

21 O Núcleo é Fundamental? Por parecer pequeno, sólido e denso, os pensou-se originalmente que o núcleo era fundamental. Mais tarde, descobriram que ele era feito de prótons (p), que são carregados positivamente, e nêutrons (n), que não têm carga.

22 Os prótons e os nêutrons são fundamentais?
Não!! Prótons e nêutrons são compostos de partículas ainda menores, chamadas quarks. Até onde sabe-se, os quarks são como os pontos na geometria. Eles não são compostos de nada mais.  Atualmente, suspeita-se que os quarks e o elétron são fundamentais.

23 Modelo atômico moderno.
Os elétrons estão em constante movimento em torno do núcleo; os prótons e os nêutrons vibram dentro do núcleo e os quarks vibram dentro dos prótons e nêutrons.

24 A Escala do Átomo A figura anterior está bastante distorcida. Para desenhar o átomo em escala com prótons e nêutrons com um centímetro de diâmetro, então os elétrons e quarks deveriam ter um diâmetro menor do que o de um fio de cabelo e o diâmetro do átomo inteiro deveria ser maior que o comprimento de trinta campos de futebol! 99, % do volume de um átomo é apenas espaço vazio! O núcleo é dez mil vezes menor que o átomo, e os quarks e elétrons são pelo menos dez vezes menores que eles. Não sabe-se exatamente quão menores os quarks e elétrons são; eles são definitivamente menores que metros.

25 O Modelo Padrão A teoria chamada Modelo Padrão, explica o que é o mundo e o que o mantém unido. É uma teoria simples e compreensível que explica todas as centenas de partículas e interações complexas com apenas: 6 quarks.  6 léptons. O lépton mais conhecido é o elétron.   Partículas transportadoras de força, como o fóton. Todas as partículas de matéria conhecidas são compostas de quarks e léptons, e elas interagem trocando partículas transportadoras de força.

26 Quarks e Léptons Tudo ao nosso redor, desde galáxias até montanhas e moléculas, são feitas de quarks e léptons. Quarks comportam-se diferentemente dos léptons, e para cada tipo de partícula de matéria há uma partícula de antimatéria correspondente.

27 Matéria e Antimatéria Para cada tipo de partícula de matéria que nós encontramos, existe uma partícula correspondente de antimatéria ou uma antipartícula.  As antipartículas são iguais as suas correspondentes partículas de matéria, exceto pelo fato de terem cargas opostas. Por exemplo, um próton é eletricamente positivo, ao passo que um antipróton é eletricamente negativo. A gravidade afeta a matéria e a antimatéria do mesmo modo. Uma partícula de matéria tem também a mesma massa de uma antipartícula.  Quando uma partícula de matéria e uma partícula de antimatéria se encontram, elas se aniquilam em energia! 

28 Se a antimatéria e a matéria são exatamente iguais, mas opostas, então por que há muito mais matéria do que antimatéria no universo? Mas podemos comprovar a existência de antimatéria nesta foto de uma câmara de bolhas. O campo magnético nessa câmara faz com que as partículas negativas se curvem para a esquerda e as partículas positivas se curvem para a direita. Muitos pares elétron-pósitron aparecem nessa foto

29 Quarks Quarks são um tipo de partícula de matéria. A maior parte da matéria que vemos em nossa volta é feita de prótons e nêutrons, os quais são compostos de quarks. Existem seis quarks, mas os físicos usualmente falam em termos de três pares: up/down  charmoso/estranho top/bottom. (para cada um desses quarks, existe um antiquark correspondente.)

30 Os quarks têm a característica não usual de possuírem uma carga elétrica fracionária, diferente da do próton e do elétron, que têm cargas inteiras de +1 e -1, respectivamente. O quark mais difícil de ser encontrado, o quark top, foi descoberto em 1995 depois de ter sido previsto teoricamente por 20 anos. 

31 Hádrons, Bárions, Mésons
Os quarks existem somente em grupos. Partículas compostas por quarks são denominadas: HÁDRONS Embora os quarks individuais tenham cargas elétricas fracionárias, eles se combinam de tal maneira que os hádrons possuem cargas elétricas inteiras.

32 HÁDRONS BÁRIONS MÉSONS Existem duas classes de hádrons:
São hádrons compostos por três quarks (qqq) Como os prótons são constituídos por dois quarks up e um quark down (uud), E assim também são os nêutrons (udd).  São hádrons compostos por um quark (q) e um antiquark ( ) Um exemplo de méson é o píon, que é composto por um quark up e um antiquark down.

33 Como os mésons são constituídos por uma partícula e uma antipartícula, eles são bastante instáveis.
Outra curiosidade sobre os hádrons é que somente uma pequeníssima parte da massa de um hádron é devida à existência de quarks nele.  A maior parte da massa que nós observamos num hádron vem de sua energia cinética e potencial. Essas energias são convertidas na massa do hádron como é descrito por E = mc2  

34 Léptons Existem seis tipos de léptons, três dos quais possuem carga elétrica e três que não. Eles parecem ser partículas puntiformes sem estrutura interna. O lépton mais conhecido é o elétron. Os outros dois léptons são o múon e o tau, que são carregados como os elétrons, mas têm muito mais massa. (tau 3000x) Os outros léptons são os três tipos de neutrinos. Eles não possuem carga, têm massa muito pequena e são difíceis de serem detectados. Os quarks são sociáveis e existem apenas em partículas compostas com outros quarks, ao passo que os léptons são partículas solitárias.

35 Neutrinos Neutrinos são léptons que não possuem carga forte ou elétrica quase nunca interagem com quaisquer outras partículas. A maioria dos neutrinos passa direto através da Terra sem interagir com um único átomo dela. Uma vez que os neutrinos foram produzidos em grande abundância no início do universo e raramente interagem com a matéria; então, existem muitos deles no Universo. A pequeníssima massa, mas o grande número, deve contribuir para a massa total do Universo e afetar sua expansão. 

36 A Geração de Matéria Toda matéria visível no universo é feita
da primeira geração de partículas de matéria quarks up, quarks down e elétrons. Isso porque todas as partículas da segunda e terceira gerações de partículas são instáveis e decaem, tornando-se partículas de primeira geração, a única geração estável.  Se as gerações acima da primeira decaem rapidamente, são raramente observadas e não compõem nenhuma matéria estável ao nosso redor, então por que elas existem?

37 As Quatro Interações ou O que mantém o universo unido?
O universo que conhecemos existe porque as partículas fundamentais interagem. Existem quatro interações fundamentais entre as partículas, e todas as forças podem ser atribuídas a essas quatro interações!

38 Como a Matéria Interage?
Como dois ímãs "sentem" a presença um do outro e se atraem ou se repelem de acordo com a situação? Como o Sol atrai a Terra? O que são as forças de "magnetismo" e "gravidade"????   

39 Em um nível fundamental, a força não é apenas algo que acontece para as partículas. "É uma coisa que é trocada entre duas partículas".

40 Descobriu-se que todas as interações que afetam as partículas da matéria são devidas a uma troca de partículas transportadoras de força, um tipo completamente diferente de partícula. Essas partículas são como bolas de basquete atiradas entre as partículas da matéria (que são como jogadores de basquete). O que nós pensamos normalmente como "forças" são, na verdade, os efeitos das partículas transportadoras de força sobre as partículas da matéria. 

41 Diferentes interações, suas partículas transportadoras de força e em que partículas elas atuam:

42 Além do Modelo Padrão O Modelo Padrão responde a muitas das perguntas sobre a estrutura e a estabilidade da matéria com seus seis tipos de quarks, seis tipos de léptons, e quatro forças. Mas ainda existem muitas perguntas sem resposta. Por que vemos mais matéria do que antimatéria se deveríamos ter simetria (igualdade) entre as duas no Universo?  Os quarks e léptons são realmente fundamentais, ou são constituídos de partículas mais fundamentais? Como a gravidade se encaixa em tudo isso? Em nosso cotidiano, observamos apenas a primeira geração de partículas (elétrons, neutrinos e- e quarks up/down). Por que a natureza  "precisa" das outras duas gerações?  O que é toda esta matéria extra no universo que não podemos explicar usando métodos normais? Por que o Modelo Padrão não pode prever a massa de uma partícula? (O Modelo Padrão não consegue explicar por quê algumas partículas são do jeito que são )

43 Referências:

44 Como ensinar? Textos Dissertação
Sobre Discreto Charme das Partículas Elementares Um pôster para ensinar física de partículas na escola Cidade do Átomo: Debate escolar sobre energia nuclear Dissertação A Realidade escondida a dualidade onda-partícula para estudantes do Ensino Médio

45 Sobre Discreto Charme das Partículas Elementares

46 Um pôster para ensinar física de partículas na escola

47 Cidade do Átomo: Debate escolar sobre energia nuclear

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49 Dissertação A Realidade escondida a dualidade onda-partícula para estudantes do Ensino Médio No site