Séries de Taylor e resolução numérica da equação de advecção - difusão

Apresentação em tema: "Séries de Taylor e resolução numérica da equação de advecção - difusão"— Transcrição da apresentação:

1 Séries de Taylor e resolução numérica da equação de advecção - difusão
Aula Teórica Séries de Taylor e resolução numérica da equação de advecção - difusão

2 Equações que vamos resolver
Conservação da massa: Num modelo Hidrodinâmico também a equação de Transporte de Quantidade de Movimento:

3 Como se resolvem as equações
Métodos Numéricos: Diferenças finitas/Volumes finitos Elementos Finitos/Elementos de fronteira. Como se constrói o método das diferenças finitas? Série de Taylor:

4 O que representa a série de Taylor?
c Δc 1ª Derivada: Δc/ Δt t1 t1+Δt Outras derivadas Δt Δc

5 Como usar para calcular as derivadas?
Método Explícito: A derivada é calculada à esquerda “em t” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por Isto significa que o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta.

6 Mas poderia ter feito calculado a derivada à direita
Método Implícito: A derivada é calculada à direita “em t+dt” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, todas as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por Isto significa que o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta. Os métodos implícitos e explícitos têm a mesma precisão.

7 Para calcular a derivada no centro do intervalo teria que calcular os valores nos extremos a partir daquele Subtraindo uma da outra: Neste método a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo e tem precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução parabólica. As derivadas ignoradas estão multiplicadas por

8 O que representa a série de Taylor?
c Método Explícito Método Implícito Método Diferenças Centrais t1 t1+Δt Outras derivadas Δt Δc 1ª Derivada: Δc/ Δt

9 Derivadas espaciais Derivada à direita, Método downwind, se velocidade positiva Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à direita. Veremos mais adiante que este cálculo cria problemas se esta derivada for usada para calcular o termo advectivo quando a velocidade é positiva.

10 Derivadas espaciais Derivada à esquerda, Método upwind se velocidade positiva. Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à esquerda. Veremos mais adiante que este cálculo cria problemas se esta derivada for usada para calcular o termo advectivo quando a velocidade é positiva.

11 Subtraindo uma equação da outra
Diferenças Centrais

12 2ª Derivada Adicionando:

13 Equações Algébricas Obtêm-se substituindo as derivadas pelas aproximações: Explícito, diferenças centrais. Precisão de 2ª ordem no espaço e 1ª no tempo. Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferenças centrais espaço. Precisão de 2ª ordem no tempo e no espaço. O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?

14 Como se obtém o valor em (t+Δt/2) ? Fazendo a média…..
Adicionando as equações! Substituindo estes termos nas equações obtém-se a equação a resolver

15 Explícito Upwind Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaço para advecção. Segunda ordem para difusão. Esta equação pode ser organizada na forma:

16 Forma geral da Equação K=1=> implícito. K=0 => Explicito, k=0.5=> Crank-Nicholson: Explicito, upwind: Números de Courant e de Difusão

17 Sobre a precisão do cálculo
No cálculo implícito e no cálculo explícito as derivadas são calculadas nos extremos do intervalo de tempo. Estes métodos ignoram todas as derivadas a partir da primeira: têm precisão de primeira ordem ou “até à primeira ordem”. Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por Quando a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo as derivadas só são ignoradas a partir da segunda. São métodos com precisão de 2ª ordem, ou “até à 2ª ordem”. Se a função for uma recta ou uma parábola o cálculo da derivada é exacto. Mas >1 então quanto maior é a ordem de precisão do cálculo, maior é o coeficiente dos termos ignorados. Porque é que a precisão do cálculo aumenta?

18 Porque aumenta a precisão com o expoente de ?
Porque os termos ignorados são da forma: O cálculo da derivada faz aparecer em denominador o intervalo de tempo elevado n e o coeficiente está elevado a (n-1) e por isso o produto é proporcional a ou seja à primeira derivada multiplicada pelo inverso do factorial de n e por isso quanto maior é o valor do expoente do intervalo de tempo, menor é o valor dos temos desprezados. Esta conclusão é consistente como facto de as derivadas perderem importância à medida que a ordem aumenta.