Modelos de decisão Sistemas de Apoio à Decisão.

Apresentação em tema: "Modelos de decisão Sistemas de Apoio à Decisão."— Transcrição da apresentação:

1 Modelos de decisão Sistemas de Apoio à Decisão

2 Modelos de decisão Um modelo é uma representação simplificada da realidade. A realidade é demasiado complexa para poder ser representada na sua totalidade. Parte dessa complexidade é irrevelante para a resolução do problema especifico. A maior característica de um SAD é a inclusão de modelos. Sistemas de Apoio à Decisão

3 Modelos de decisão Objectivo Porque é que o sistema existe? Descreve
Explica Prevê Objectivo Função Estado Forma Porque é que o sistema existe? Como é que funciona? O que está a fazer? Qual é o seu aspecto? Sistemas de Apoio à Decisão

4 Modelos de decisão Um modelo é um mecanismo para prever o resultado de saída de um sistema real, sob determinadas condições especificadas pelos dados de entrada do modelo, sem que se tenha que usar o próprio sistema real. A estrutura do modelo descreve a forma do sistema e o comportamento do modelo explica o seu funcionamento. Sistemas de Apoio à Decisão

5 Modelos de decisão De acordo com o seu grau de abstracção, os modelos podem ser classificados em 3 grupos diferentes: Icónicos Analógicos Matemáticos ou quantitativos Abstracção Sistemas de Apoio à Decisão

6 Modelos de decisão Icónicos - os menos abstractos - constituem uma réplica física do sistema, normalmente a uma escala diferente da original. Exemplos: 3D (um automóvel, uma maquete de um edifício) e 2D (fotografias). Analógicos - não se parecem com o sistema real, mas comportam-se da mesma forma. São mais abstractos e constituem representações simbólicas da realidade. Exemplos: gráficos de barras, organogramas, mapas. Matemáticos ou quantitativos - a complexidade das relações existentes entre as diversas componentes de um sistema não pode muitas vezes ser representadas através de imagens, sendo necessárias formas mais abstractas de representação matemática. A maior parte dos SADs usam modelos matemáticos. Sistemas de Apoio à Decisão

7 Vantagens do uso de modelos
Permitem a compressão do tempo - actividades que em tempo real demorariam anos podem ser simuladas em alguns minutos. Os custos de uma análise do modelo são muito reduzidos em relação aos custos de uma experiência similar conduzida no sistema real. Os custos dos erros produzidos durante as experiências são mais reduzidos quando se usam modelos, evitando as mudanças irreversiveis. Permitem uma manipulação mais fácil e segura do sistema. Permitem o cálculo do risco, devido à incerteza, envolvido em certas acções. Permitem a análise de um número quase infinito de possíveis soluções. Favorecem a aprendizagem. Sistemas de Apoio à Decisão

8 Modelos quantitativos
Componentes básicas: Variáveis de decisão, Parâmetros, Resultados ou variáveis de saída. As variáveis de decisão descrevem as possíveis alternativas. Os parâmetros representam factores que influenciam os resultados, mas que estão fora do controlo do decisor, pois são determinados por factores externos ao sistema. Exemplo: manufactura - Custo total ou lucro, Quanto produzir?, capacidade da máquinas e preço das matérias primas. Sistemas de Apoio à Decisão

9 Modelos quantitativos
Os componentes dos modelos quantitativos estão relacionados por relações matemáticas expressas por equações ou inequações. Exemplos: Modelo financeiro Lucro = Ganhos – Custos Modelos de programação linear ... Sistemas de Apoio à Decisão

10 Modelos quantitativos
Componentes básicas dos modelos de investigação operacional: Variáveis de decisão – cujos valores, que descrevem as possíveis alternativas, se pretende determinar. Função objectivo – que corresponde a uma função matemática das variáveis de decisão e que mede a performance de cada alternativa. Restrições – funções matemáticas que restringem os valores que cada variável de decisão pode tomar. Parâmetros – correspondem às contantes existentes nas expressões matemáticas das restrições ou da função objectivo e representam factores que influenciam os resultados, mas que podem estar fora do controlo do decisor, pois são determinados por factores externos ao sistema. Sistemas de Apoio à Decisão

11 Modelos quantitativos
Ao utilizar um modelo matemático de investigação operacional na resolução de um problema, este resume-se a escolher um conjunto de valores para as variáveis de decisão que maximize (minimize) o valor da função objectivo, respeitando as restrições impostas. Sistemas de Apoio à Decisão

12 Programação linear A programação linear é uma técnica matemática que permite resolver problemas de alocação de recursos escassos entre actividades em competição por esses mesmos recursos. O problema consiste em encontrar o valor das variáveis de decisão que garantem a maximização (ou minimização) do resultado, estando sujeitas a algumas restrições (expressões lineares) que dependem de determinados parâmetros. As relações matemáticas entre estas variáveis são todas funções lineares. A palavra programação, neste contexto, significa planeamento. Processo de resolução: Método simplex (George Dantzig, 1947). Sistemas de Apoio à Decisão

13 Programação linear Exemplo:
Uma fábrica pretende produzir dois produtos, o produto 1 e o produto 2. Ambos os produtos passam por três fases de desenvolvimento durante o processo de manufactura, cada uma das quais se realiza num departamento diferente. No próximo mês, cada um dos departamentos tem um determinado números disponível de horas por máquina, para ser utilizado na concepção destes dois produtos. Por sua vez, cada um dos produtos requer, por unidade, um dado tempo de utilização de cada máquina. Tempo disponível (h) Tempo requerido por unidade (h) Produto 1 Produto 2 1 2 3 4 12 18 Departamentos Para manter o problema simples, vamos assumir que os custos de produção de cada produto são constantes, independentemente da quantidade produzida. Supondo que o lucros, por unidade, de cada produto são de € 3 para o produto 1 e € 5 para o produto 2, queremos determinar qual o número de unidades de cada um dos produtos que a fábrica deve produzir, no próximo mês, de modo a obter o maior lucro possível. Sistemas de Apoio à Decisão

14 Programação linear Formulação matemática do problema:
Variáveis de decisão: x1 e x2 representam o número de unidades dos produtos 1 e 2 respectivamente, a serem produzidas. Função objectivo: Maximizar Z = 3x1 + 5x2 Restrições: x1 <= 4 2x2<= 12 3x1 + 2x2 <= 18 x1, x2 >= 0 Sistemas de Apoio à Decisão

15 Programação linear Representação gráfica do problema
x1 x2 2 4 6 8 x1 = 4 2x2 = 12 3x1 + 2x2 = 18 Sistemas de Apoio à Decisão

16 Programação linear Representação gráfica do problema
x1 x2 2 4 6 8 Z = 10 = 3x1 + 5x2 Z = 20 = 3x1 + 5x2 Z = 36 = 3x1 + 5x2 (2, 6) Sistemas de Apoio à Decisão

17 Restrições funcionais
Programação linear Formulação standard Max Z = c1x1+c2x2+...+cnxn sujeito às restrições: a11x1+a12x2+...+a1nxn  b1 a21x1+a22x2+...+a2nxn  b2 . am1x1+am2x2+...+amnxn  bm e x1 0, x2  0,... xn  0 Restrições funcionais Restrições de não negatividade Sistemas de Apoio à Decisão

18 Programação linear Outras formas Minimização da função objectivo:
Min Z = c1x1+c2x2+...+cnxn Restrições funcionais da forma  ai1x1+ai2x2+...+ainxn  bi Restrições funcionais de igualdade ai1x1+ai2x2+...+ainxn = bi Inexistência de restrições de não-negatividade para algumas variáveis de decisão. Sistemas de Apoio à Decisão

19 Programação linear Qualquer conjunto de valores assumidos pelas variáveis de decisão (x1, x2,...,xn) é considerado uma solução. Tipos de soluções Solução admissível – que satisfaz todas as restrições. Um problema pode não ter nenhuma solução admissível. Solução óptima – é a solução admissível que corresponde ao valor mais favorável da função objectivo. É possível existir mais do que uma solução óptima para o mesmo problema. (se no exemplo a função objectivo fosse alterada para Z = 3x1 + 2x2). Também pode acontecer que não exista nenhuma solução óptima (se não haver nenhuma solução admissível ou se as restrições não evitarem o crescimento infinito da função objectivo). Sistemas de Apoio à Decisão

20 Programação linear Método simplex Estrutura algorítmica Inicialização
Iteração Teste de optimização Fim Processo algébrico em que cada iteração envolve a resolução de um sistema de equações de modo a obter uma nova solução que será testada através do teste de optimização. Sistemas de Apoio à Decisão

21 Programação linear Representação gráfica do problema
x1 x2 2 4 6 8 (4, 6) (4, 3) (0, 9) (6, 0) (4, 0) (2, 6) (0, 6) (0, 0) Soluções admissíveis correspondentes a um vértice da região de soluções admissíveis: (0, 0), (0, 6), (2, 6), (4, 3) e (4, 0) Soluções não admissíveis correspondentes a um vértice fora da região de soluções admissíveis : (0, 9), (4, 6) e (6, 0) As soluções admissíveis correspondentes a um vértice da região de soluções admissíveis dizem-se adjacentes quando se podem ligar através de um único segmento de recta. Sistemas de Apoio à Decisão

22 Programação linear Propriedades das soluções admissíveis correspondentes a vértices da região de soluções admissíveis: Se houver uma solução óptima ela corresponde a um vértice da região de soluções admissíveis. Se houver múltiplas soluções óptimas, então pelo menos duas correspondem a vértices adjacentes da região de soluções admissíveis. Há apenas um número finito de vértices da região de soluções admissíveis (e, portanto das correspondentes soluções admissíveis). Considerando um vértice da região de soluções admissíveis e a correspondente solução admissível, se a nenhum dos vértices a ele adjacentes corresponder uma solução melhor (medida através de Z), então não existe nenhuma solução melhor e, portanto esta é uma solução óptima. Sistemas de Apoio à Decisão

23 Programação linear Propriedade 1 e 2
A busca da solução óptima resume-se à análise de apenas as soluções admissíveis correspondentes a vértices da região de soluções admissíveis. Propriedade 3 Portanto apenas existe um número finito de soluções a considerar. Propriedade 4 Fornece um conveniente teste de optimização. Sistemas de Apoio à Decisão

24 Programação linear Método simplex
Examina apenas um número relativamente pequeno de soluções admissíveis e pára assim que alguma satisfizer o teste de optimização expresso pela propriedade 4. Inicialização: Começa por uma solução admissível correspondente a um vértice da região de soluções admissíveis. Iteração: Passa para outra solução admissível correspondente a um vértice adjacente da região de soluções admissíveis. (Passo repetido até a solução corrente satisfazer o teste de optimização). Teste de optimização: A solução corrente é uma solução óptima se nenhuma das soluções adjacentes for melhor. Sistemas de Apoio à Decisão

25 Programação linear Percurso do método simplex para o exemplo:
1. Inicialização: Começa em (0, 0) 2a. Iteração 1: Passa para (0, 6) 2b. Iteração 2: Passa para (2, 6) 3. Teste: Nem (0, 6) nem (4, 3) são melhores que (2, 6). Pára. (2, 6) é solução óptima. Sistemas de Apoio à Decisão

26 Método simplex Procedimento algébrico
Conversão de restrições de desigualdade em restrições de igualdade. - Introdução de variáveis de desvio X1  4  X1 + X3 = 4 X3 ≥ 0 Sistemas de Apoio à Decisão

27 Método simplex Forma aumentada Maximizar Z = 3x1 + 5x2
Restrições: x1 + x3 = 4 2x2+ x4 = 12 3x1 + 2x x5 = 18 x1, x2, x3, x4, x5 >= 0 Sistemas de Apoio à Decisão

28 Método simplex Uma solução aumentada é uma solução original à qual foram acrescentados os valores correspondentes às variáveis de desvio. Exemplo: Solução (3, 2) Solução aumentada (3, 2, 1, 8, 5) Uma solução aumentada correspondentes a um vértice dentro ou fora da região de soluções admissíveis designa-se solução básica. Solução (4, 3) Solução aumentada (4, 3, 0, 6, 0) Uma solução aumentada correspondente a um vértice dentro da região de soluções admissíveis designa-se solução básica admissível. Sistemas de Apoio à Decisão

29 Método simplex No exemplo, após a introdução das variáveis de desvio (forma aumentada): sistema de restrições funcionais - 5 variáveis e 3 equações 2 graus de liberdade na resolução do sistema de equações Simplex atribui o valor arbitrário 0 a essas variáveis (variáveis não-básicas). As restantes são chamadas variáveis básicas. A solução resultante da resolução do sistema de equações designa-se solução básica. Se todas as variáveis básicas forem não-negativas, a solução obtida chama-se solução básica admissível. Sistemas de Apoio à Decisão

30 Método simplex Duas soluções básicas admissíveis são adjacentes se têm as mesmas variáveis não-básicas excepto uma (o mesmo se aplica às suas variáveis básicas). Assim, para passar de uma solução básica admissível para outra adjacente basta apenas trocar uma variável básica para não-básica e vice-versa em relação a outra variável. Sistemas de Apoio à Decisão

31 Método simplex Exemplo:
Soluções adjacentes (0, 0) (0, 6) Soluções básicas admissíveis correspondentes (0, 0, 4, 12, 18) (0, 6, 4, 0, 6) Variáveis não-básicas (x1, x2) (x1, x4) Para passar de uma para outra basta trocar x2 por x4 como variavél não-básica e vice-versa. O número de variáveis não básicas numa solução básica é igual ao número de graus de liberdade de um sistema de equações. O número de variáveis básicas é igual ao número de restrições funcionais. Sistemas de Apoio à Decisão

32 Método simplex Inicialização
Teoricamente, podemos começar por qualquer solução básica admíssível. Se o problema não se encontrar na forma standard, procede-se a alguns ajustamentos. Introduzem-se as variáveis de desvio. Seleccionam-se as variáveis originais como as variáveis não-básicas (=0) e as variáveis de desvio como as variáveis básicas para a solução inicial. Aplica-se o teste de optimização. Sistemas de Apoio à Decisão

33 Método simplex Iteração
Passar para uma solução básica admissível adjacente que seja melhor em termos do valor da F.O. (Z). Conversão de uma variável não-básica em básica (variável de entrada) Conversão de uma variável básica em não-básica (variável de saída) Qual o critério para seleccionar a variável de entrada? Candidatas: Todas as váriáveis não-básicas da solução corrente. Sistemas de Apoio à Decisão

34 Método simplex Importa escolher a que mais contribui para melhorar (maximizar) o valor de Z. Aquela que possui o maior coeficiente positivo na expressão da F.O. Exemplo: Z = 3x1 + 5x2 Variáveis não-básicas: x1 e x2. x2 tem o maior coeficiente positivo  variável de entrada. Sistemas de Apoio à Decisão

35 Método simplex Como identificar a variável de saída?
Ignorando as variáveis de desvio, incrementando x2 e deixando x1=0, significa que nos estamos a deslocar ao longo do eixo x2. A solução admissível correspondente ao vértice da região de soluções admissíveis encontrado será (0, 6) que se alcança ao atingir a recta da restrição 2x2=12. Solução básica admissível adjacente é alcançada quando a 1ª variável básica (variável de saída) atinge o valor 0. Parar para evitar sair da região de soluções admissíveis (por incumprimento das restrições de não-negatividade). A variável de saída não se escolhe . Sistemas de Apoio à Decisão

36 Exemplo: Candidatas: x3, x4 e x5. mínimo
Método simplex Exemplo: Candidatas: x3, x4 e x5. mínimo X3 x3 = 4 – x1 Não limita X4 x4 = x2 x2 = 12/2 = 6 X5 x5 = 18 – 3x1 -2x2 x2 = 18/2 = 9 Quando x4= 0, x2 =6 Quando x5= 0, x2 =9 Limite superior para x2 = 6 x4 – variável de saída Sistemas de Apoio à Decisão

37 Método simplex Como identificar a nova solução básica admissível?
Sabendo o valor da nova variável não-básica (x4 = 0) e da nova variável básica (x2 = 6), basta resolver o sistema de equações e obtemos os valores das restantes variáveis. No entanto, para que o sistema fique preparado para a próxima iteração, devemos mante-lo na forma inicial: 1 variável básica com coeficiente = 1 em cada equação e que não aparece em nenhuma outra equação. Sistemas de Apoio à Decisão

38 Método simplex Operações algébricas para resolver o sistema de equações lineares: Multiplicar (ou dividir) uma equação por uma constante não-negativa. Adicionar (ou subtrair) um múltiplo de uma equação a outra equação. Sistemas de Apoio à Decisão

39 Para colocar o coeficiente de x2 = 1:
Método simplex Exemplo: Z -3x1 -5x2 = 0 x1 +x3 = 4 2x2 +x4 = 12 3x1 +2x x5 = 18 x /2x4 = 6 Para colocar o coeficiente de x2 = 1: Div 2 Sistemas de Apoio à Decisão

40 Método simplex Exemplo:
x2 precisa ainda ser eliminado das outras equações em que aparece: Z -3x1 -5x2 , 0 +5 ( x2 +1/2x4 , 6) Z -3x /2 x4 , 30) 3x1 +2x2 , 18 - 2 ( x2 +1/2x4 , 6) 3x1 -x4 +x5 , 6) Sistemas de Apoio à Decisão

41 Método simplex Exemplo: Resultado da iteração: Z -3x1 +5/2x4 = 30
3x x4 + x5 = 6 Nova solução = (0, 6, 4, 0, 6) Variáveis não-básicas = 0 Variáveis básicas = lado direito da respectiva restrição. Sistemas de Apoio à Decisão

42 Método simplex Teste de optimização Z = 30 + 3x1 -5/2x4
Como x1 tem coeficiente positivo, se aumentarmoso seu valor é possível aumentar o valor de Z e atingir outra solução básica admissível adjacente melhor. Portanto, esta não é uma solução óptima. Uma solução básica admissível é óptima se e só se todas as variáveis não-básicas tiverem coeficientes não-positivos ( ≤ 0) na forma corrente da F.O. (resolvida em função de Z). Sistemas de Apoio à Decisão

43 Método simplex Forma tabular Coeficientes das variáveis
Constantes lado direito das restrições Variáveis básicas de cada equação Var. básicas Eq. Nº Coeficientes Lado direito Z x1 x2 x3 x4 X5 1 -3 -5 X3 4 X4 2 12 3 18 Sistemas de Apoio à Decisão

44 Método simplex A solução básica admissível corrente é óptima se e só se todos os coeficientes da F.O. forem não–negativos ( ≥0). Variáveis não-básicas (x1 e x2 ) têm coeficientes negativos na F.O., logo a solução inicial não se trata de uma solução óptima. Sistemas de Apoio à Decisão

45 Método simplex Iteração 1
Variável de entrada: variável não-básica com coeficiente negativo de maior valor absoluto – x2. Var. básicas Eq. Nº Coeficientes Lado direito Z x1 x2 x3 x4 X5 1 -3 -5 X3 4 X4 2 12 3 18 Coluna pivot Sistemas de Apoio à Decisão

46 Método simplex Iteração 1 Variável de saída: Z x1 x2 x3 x4 X5 1 -3 -5
Seleccionar os coeficientes positivos ( >0 )da coluna pivot; Dividir cada um deles pelo lado direito da respectiva linha da tabela; Identificar a equação com o menor valor obtido; Seleccionar a variável básica correspondente a essa equação: x4. Var. básicas Eq. Nº Coeficientes Lado direito Z x1 x2 x3 x4 X5 1 -3 -5 X3 4 X4 2 12 3 18 Linha pivot 12/2 = 6 18/2 = 9 Número pivot Coluna pivot Sistemas de Apoio à Decisão

47 Método simplex Iteração 1 Nova solução básica admissível (1):
Para modificar o coeficiente da nova variável básica na linha pivot para 1, divide-se toda a linha pelo nº pivot. nova linha pivot = linha pivot antiga número pivot Var. básicas Eq. Nº Coeficientes Lado direito Z x1 x2 x3 x4 X5 1 X3 4 X2 2 6 3 Sistemas de Apoio à Decisão

48 Método simplex Iteração 1 Nova solução básica admissível (2):
Falta ainda colocar os coeficientes da nova variável básica (x2) a 0 nas outras equações. linha 0 : coeficiente da coluna pivot = -5 linha 3: coeficiente da linha pivot = 2 nova linha = linha antiga – (coeficiente linha pivot * nova linha pivot) linha 0: , 0 +5 ( /2 0, 6) /2 0, 30) Sistemas de Apoio à Decisão

49 Método simplex Iteração 1 Nova solução básica admissível (3): linha 3:
, 19 -2 ( /2 0, 6) , 6) Var. básicas Eq. Nº Coeficientes Lado direito Z x1 x2 x3 x4 X5 1 -3 5/2 30 X3 4 X2 2 6 3 -1 Nova solução básica admissível = (0, 6, 4, 0, 6) Sistemas de Apoio à Decisão

50 Método simplex Iteração 2 Variável de entrada = x1
Variável de saída = x5 Número pivot = 3 Solução = (2, 6, 2, 0, 0)  Z = 36 Solução óptima - nenhum dos coeficientes da F.O. é negativo. Var. básicas Eq. Nº Coeficientes Lado direito Z x1 x2 x3 x4 X5 1 3/2 36 X3 1/3 -1/3 2 X2 6 X1 3 Sistemas de Apoio à Decisão

51 Método simplex Múltiplas soluções (1)
Se a função objectivo do nosso exemplo fosse Z = 3 x1 + 2 x2 todos os pontos do segmento de recta entre (2, 6) e (4, 3) correspondiam a soluções óptimas. F. O. e a restrição 3 correspondiam a rectas paralelas. O método pára assim que encontra a 1ª solução óptima. Em certos casos pode ser importante conhecer e poder optar entre soluções óptimas alternativas. Sistemas de Apoio à Decisão

52 Método simplex Múltiplas soluções (2)
Quando um problema tem mais do que 1 solução óptima, pelo menos 1 das variáveis não-básicas tem coeficiente = 0 na equação da F.O. final. Assim, incrementando essa variável, o valor de Z não é alterado. Outras soluções óptimas podem ser alcançadas executando iterações adicionais do método simplex e escolhendo de cada vez uma variável não-básica com coeficiente = 0 como variável de entrada. Em geral, podemos identificar 2 soluções óptimas. As restantes podem ser identificadas usando a média ponderada destas duas:  (sol1) + (1-) (sol2) 0 ≤  ≤ 1 Se ignorarmos as variáveis de desvio, esta é a fórmula do segmento de recta definido entre (2, 6) e (4, 3). Sistemas de Apoio à Decisão

53 Método simplex Outras formas
Quando o problema não se encontra na forma standard (restrições =, ≥ ou bi ≤ 0) temos que proceder a alguns ajustamentos, na fase de inicialização, de forma a que o resto do método simplex possa prosseguir como usualmente. ai1x1+ai2x2+...+ainxn = bi ai1x1+ai2x2+...+ainxn  bi ai1x1+ai2x2+...+ainxn ≥ bi Para evitar aumentar o número de restrições utilizam-se variáveis artificiais. Sistemas de Apoio à Decisão

54 Método simplex Outras formas (restrições de igualdade)
Supondo que a 3ª restrição do nosso exemplo era 3x1 + 2 x2 = 18: A região de soluções admissíveis passa a ser apenas o segmento de recta entre (2, 6) e (4, 3). Como não precisamos adicionar nenhuma variável de desvio para a equação 3, a solução inicial deixa de ser óbvia (na solução inicial as variáveis de decisão tomam valor 0 e as variáveis de desvio ficam iguais ao lado direito das restrições). Introduz-se uma variável artificial ( ), tal como se fosse uma variável de desvio, e a respectiva restrição de não-negatividade. (x1, x2, x3, x4, ) = (0, 0, 4, 12, 18) A variável artificial alarga a região de soluções admissíveis. Sistemas de Apoio à Decisão

55 Método simplex Outras formas (restrições de igualdade)
As soluções admissíveis para o problema revisto também são soluções admissíveis para o problema original desde que as variáveis artificiais tomem o valor 0. Para garantir que a variável artificial ( ) é 0 na solução óptima, temos que introduzi-la na F.O. com um coeficiente negativo extremamente elevado, de modo a que um aumento em provoque uma diminuição enorme no valor de Z. Assim, Z = 3x1 + 5x2 – M Sistemas de Apoio à Decisão

56 Método simplex Outras formas (restrições de igualdade)
Agora há que eliminar o coeficiente M de na equação da F.O.: M ,0 -M ( ,18) (-3M-3) (-2M-5) ,-18M Para determinar a variável de entrada compara-se o factor multiplicativo de M (uma vez que o factor aditivo pode ser desprezado, por M ser tão grande). Neste caso, a variável de entrada seria x1. Sistemas de Apoio à Decisão

57 Método simplex Exemplo 2:
Função objectivo: Minimizar Z = o.4x x2 Restrições: 0.3x x2 ≤ 2.7 0.5x x2 = 6 0.6x x2 ≥ 6 x1, x2 >= 0 Minimizar Z = o.4x x2 + M x4 0.3x x2 + x3 ≤ 2.7 0.5x x2 + x4 = 6 x1, x2, x3, x4 >= 0 Sistemas de Apoio à Decisão

58 Método simplex Exemplo 2: Sistemas de Apoio à Decisão x1 x2 2 4 6 8
(6, 6) (7.5, 4.5) 0.5x x2 = 6 10 12 14 0.6x x2 ≥ 6 0.3x x2 ≤ 2.7 (8, 3) Exemplo 2: Sistemas de Apoio à Decisão

59 Método simplex Caso das restrições ≥
Multiplicam-se ambos os lados da inequação por -1: 0.6x x2 ≥ 6 - 0.6x x2 ≤ - 6 - 0.6x x2 + x5 = - 6 Sistemas de Apoio à Decisão

60 Método simplex Lados direitos da restrições < 0
- 0.6x x2 + x5 = - 6 No caso de x1, x2 = 0 (solução básica admissível inicial) x5 = -6, o que não estaria de acordo com as restrições de não-negatividade. Se voltarmos a multiplicar ambos os lados da equação por -1: 0.6x x2 – x5 = 6 Torna o lado direito positivo, mas continuamos a ter x5 negativo para o caso de x1, x2 = 0. A equação agora pode ser vista como uma restrição de igualdade e aplicar-se as técnicas das variáveis artificiais: 0.6x x2 – x5 + x6 = 6 Onde x6 seria usada como variável básica inicial. Sistemas de Apoio à Decisão

61 Método simplex Exemplo 2:
Função objectivo: Minimizar Z = o.4x x2 Restrições: 0.3x x2 ≤ 2.7 0.5x x2 = 6 0.6x x2 ≥ 6 x1, x2 >= 0 Minimizar Z = o.4x x2 + M x4 + M x6 0.3x x2 + x3 ≤ 2.7 0.5x x2 + x4 = 6 0.6x x2 - x5 + x6 ≥ 6 x1, x2, x3, x4, x5, x6 >= 0 Sistemas de Apoio à Decisão

62 Método simplex Minimização Minimizar Z = Maximizar - Z = Exemplo:
Max - Z = - 0.4x x2 – M M Sistemas de Apoio à Decisão

63 Método simplex Minimização
As variáveis básicas (x3, , ) necessitam ainda de ser eliminadas da F.O. e têm coeficientes M M 0 M ,0 -M ( ,6) -M ( ,6) (-1.1M+0.4) (-0.9M+0.5) M ,-12M Sistemas de Apoio à Decisão

64 Método simplex Inexistência de soluções admissíveis
A escolha de solução básica admissível inicial pode não ser óbvia pelo facto do problema não possuir nenhuma solução admissível. Pela técnica das variáveis artificiais: Se o problema original não tiver nenhuma solução admissível, então na solução final existe pelo menos uma variável artificial > 0. De outro modo todas serão 0 na solução final. Sistemas de Apoio à Decisão

65 Método simplex Variáveis que podem tomar valores negativos
xi >= Li Li < 0 xi’ = xi – Li xi’ ≥ 0 (xi’ + Li) será substituido por xi em todo o modelo, de modo a que xi’ não possa ser negativo. Sistemas de Apoio à Decisão

66 Método simplex Variáveis que podem tomar valores negativos Exemplo:
x1 = x1’ - 10 Z = 3x1 + 5x2 x1 ≤ 4 2x2 ≤ 12 3x1 + 2x2 ≤ 18 x1 ≥ -10, x2 ≥ 0 Z = 3(x1’ - 10) + 5x2 (x1’ – 10) ≤ 4 2x2 ≤ 12 3(x1’ - 10) + 2x2 ≤ 18 (x1’ - 10) ≥ -10, x2 ≥ 0 Z = x1’ + 5x2 x1’ ≤ 14 2x2 ≤ 12 3x1’ + 2x2 ≤ 48 x1’ ≥ 0, x2 ≥ 0 Sistemas de Apoio à Decisão