Ondas Eletromagnéticas e Linhas

Ondas Eletromagnéticas e Linhas
Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics EE-49887/5 Ondas Eletromagnéticas e Linhas EE-49887/5 (2011.2) UFMA/CCET/Dept. EE (DEE) Electrical Engineering, UPRM

Propagação de Ondas Eletromagnéticas
Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Cadastro na Disciplina Enviar Assunto: OEL Semestre Corpo do Nome completo - Código EE-49887/5 Propagação de Ondas Eletromagnéticas Electrical Engineering, UPRM

Unidade II Propagação de Ondas Eletromagnéticas
Eletromagnéticas e Linhas Unidade II Propagação de Ondas Eletromagnéticas Introdução, Histórico e Motivação Ondas Planas e a Solução das Equações de Ondas Propagação de Ondas Planas Meios Dielétricos Espaço Livre Meios Condutores Potência e Vetor de Poynting Reflexão de Ondas Planas em Incidência Normal Franc Souza (DEE-UFMA)

Introdução, Histórico e Motivação
Propagação de Ondas Eletromagnéticas Introdução, Histórico e Motivação Primeira aplicação das equações de Maxwell Propagação de ondas eletromagnéticas (EM). A existência de ondas EM, previstas pelas equações de Maxwell foi inicialmente investigada por Heinrich Hertz. Depois de vários cálculos e experimentos, Hertz teve sucesso na geração e detecção de ondas de rádio. As ondas EM são chamadas de ondas hertzianas. Franc Souza (DEE-UFMA)

Propagação de Ondas Eletromagnéticas Introdução, Histórico e Motivação Aplicações Diretas da Teoria de Ondas EM Área: Telecomunicações Canal de comunicação = Espaço livre Franc Souza (DEE-UFMA)

Propagação de Ondas Eletromagnéticas Introdução, Histórico e Motivação Aplicações Diretas da Teoria de Ondas EM GPS Radiodifusão Telefonia celular Comunicações via satélite em geral Franc Souza (DEE-UFMA)

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics
Ondas O que são Ondas? Definições não formais Dicionário Houaiss Acepções interessantes ■ substantivo feminino 1 Rubrica: hidrologia, oceanografia Cada uma das elevações formadas nos mares, rios, lagos etc. pelos movimentos de vento, marés etc. Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Ondas 2 Uso: formal As águas do mar; o mar, o oceano 3 Derivação: por metáfora Grande quantidade de algo (esp. de líquido) que aflui, se espalha ou derrama 4 Derivação: por metáfora Grande quantidade, afluência (de pessoas, animais ou coisas em movimento ou que se sucedem) Ex.: <Os torcedores deixavam o estádio em grandes o.> Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Ondas 5 Derivação: por metáfora Força impetuosa; agitação, movimento intenso; ímpeto, torrente, tumulto Ex.: O. progressista 7 Derivação: por extensão de sentido Movimento sinuoso, ondulatório; ondulação, sinuosidade Ex.: As o. de um campo de trigo Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Ondas 8 Derivação: por metáfora Sensação que, após atingir um ponto alto, se dissipa Ex.: uma febre acompanhada de ondas de calor e frio 9 Derivação: por metáfora. Excesso, intensidade, profusão (de sentimentos, sensações, emoções, etc.) Ex.: Uma o. de tristeza invadiu sua alma Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Ondas 10 Rubrica: física Perturbação periódica que se propaga num meio material ou no espaço 11 Regionalismo: Brasil. Uso: informal Estado de tumulto, agitação, desarmonia; confusão, embrulhada, alvoroço. Ex.: Armou uma o. tremenda na festa de ontem Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Ondas 12 Regionalismo: Brasil. Uso: informal. O que está em moda; o estilo em voga Ex.: Calça boca-de-sino não é mais a o. 13 Regionalismo: Brasil. Uso: informal Artifício que visa iludir, enganar ou impressionar; fingimento, engodo, ostentação Ex.: A vasta cultura dele é pura o. Ele apenas está tirando uma onda com você Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Ondas Eletromagnéticas
Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Ondas Eletromagnéticas Carga estacionária, ve = 0 Campo elétrico, E (r) Natureza estática Corrente estacionária, ve = cte Campo magnético, H (r) Correntes variantes no tempo, ae = cte Campos (ou ondas) eletromagnéticos, E (r, t) e H (r, t) Ondas interdependentes Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Uma Onda EM não necessita de um meio para se propagar
Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Uma Onda EM não necessita de um meio para se propagar Ondas de som necessitam de um meio como o ar ou a água para se propagarem. A onda EM não, pois podem viajar no espaço livre na completa ausência de matéria. Observe a “onda de vento” que precisam das massas de ar para se propagarem (as plantas permanecem no mesmo lugar). Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Uma Onda Seja um caso especial por simplicidade e sem perda de generalidade: O campo elétrico tem somente component x O campo viaja na direction + z Então, tem-se Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Voltando para o domíno do tempo
Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Voltando para o domíno do tempo Da forma fasorial … para o domínio do tempo Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Vários Tipos de Meios Espaço livre Dielétrico sem perdas Dielétrico com perdas Bom condutor Lembrar: Permissividade eo=8.854 x 10-12[ F/m] Permeabilidade mo= 4p x 10-7 [H/m] Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Impedância Intrínseca, h
Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Impedância Intrínseca, h Dividindo E (V/m) por H (A/m), obtém-se unidades de ohms. Assim, a definição de impedância intrínseca de um meio em uma dada freqüência é obtidada da seguinte froma: *Não em fase para um meio com perdas Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Note … E e H são perpendiculares entre si E e H são perpendiculares à direção de propagação  Onda TEM (Transv. Eletrom.) A amplitude está relacionada à imped. intrín. A fase está relacionada à imped. intrín. Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

1. Espaço livre Não há perdas, por exemplo. Define-se Fase da onda, Freqüência angular, Constante de fase, Comprimento de onda, velocidade e período . Veja espectro de freq. Freqüência da onda, Unidades? Lembrar que é dado em rad Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

2. Dielétrico sem perdas Substituindo na equação geral: Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

3. Dielétricos com Perdas (Caso Geral)
Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics 3. Dielétricos com Perdas (Caso Geral) Em geral, temos Dessas expressões, obtemos Assim, para material e freqüência conhecidos, pode-se determinar g=a+jb. Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Revisão: 1. Espaço Livre Substituindo nas expressões gerais: Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

4. Bons Condutores Substituindo nas expressões gerais: A água é um bom condutor??? Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Campo elétrico E(z, t) com componente na direção x
4/7/2017 Campo elétrico E(z, t) com componente na direção x Instantes: t = 0 e t = Dt viajando (propagando-se) na direção +z Flexas: indicam o valor instantaneo de E(z, t)

Propagação de Ondas Eletromagnéticas Franc Souza (DEE-UFMA) Electrical Engineering, UPRM

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onda PLANa 4/7/2017

Profundidade pelicular (Skin depth), d
Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Profundidade pelicular (Skin depth), d A onda sofre atenuação em um meio com perdas até desaparecer; mas quão profundo ela penetra? Define-se a profundidade na qual a amplitude do campo elétrico da onda decresce para 37% … Espaço Livre Condutor Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

ONDAS PLANAS EM BONS CONDUTORES
4/7/2017 Amplitude Prof. pelicular (Skin depth)

Propagação de Ondas Eletromagnéticas ONDAS PLANAS EM BONS CONDUTORES UMA REVISÃO Franc Souza (DEE-UFMA)

Bom condutor ou perfeito Franc Souza (DEE-UFMA)

Bom condutor ou perfeito E está adiantado de H por 45° Franc Souza (DEE-UFMA)

Bom condutor ou perfeito E está adiantado de H por 45° Suas amplitudes são atenuadas pelo fator Franc Souza (DEE-UFMA)

4/7/2017 : Medida da profundidade na qual a onda pode penetrar em meio. Franc Souza (DEE-UFMA)

4/7/2017 Profundidade Pelicular (skin depth) Franc Souza (DEE-UFMA)

4/7/2017 Profundidade Pelicular (skin depth) Diferentes aspectos do efeito pelicular Atenuação em guias de ondas Resistência efetiva ou AC de linhas de transmissão Blindagem eletromagnética (shielding)

4/7/2017 Efeito pelicular (skin effect) Exploração (vantagens) em muitas aplicações: Antenas externas de TV - Condutor tubular oco (vazado) são usados no lugar de condutores sólidos Blindagem eletromagnética efetiva de dispositivos elétricos - Encapsulamento metálico ou condutivo

Condutores ou Dielétricos?
Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Condutores ou Dielétricos? Lei de Ampère Para uma onda viajando na direção x com componente apenas na direção y, temos Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Condutores ou Dielétricos? Análise dimensional da equação de Maxwell Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Condutores ou Dielétricos? Análise dimensional da equação de Maxwell Densidades Corrente de deslocamento Corrente total Corrente de condução Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Condutores ou Dielétricos? Corrente de deslocamento Corrente total Corrente de condução Taxa de variação espacial de Hz é igual à soma das densidades de corrente de condução e de deslocamento Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Condutores ou Dielétricos? Dependendo dos valores de  e , o meio pode se comportar de diferentes maneiras, tais como Dielétrico perfeito (sem perdas) Meio com perdas (dielétrico imperfeito) Condutor Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Condutores ou Dielétricos?  O meio se comporta como um dielétrico. Se  = 0, o meio é um dielétrico perfeito ou sem perdas. Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Condutores ou Dielétricos? (3)  O meio ser classificado como um condutor. Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Condutores ou Dielétricos? Pode-se ser mais específico e classificar o meio de acordo com a razão Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Condutores ou Dielétricos? Critério (Kraus, 4a Edição) Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Condutores ou Dielétricos? Exemplo: Solo de rural de Ohio (Kraus, 4a Edição) OBS.: A freqüência tem papel fundamental ... Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Elements of Electromagnetics Fourth Edition Sadiku

Potência e Vetor de Poynting
Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Cadastro na Disciplina Enviar Assunto: OEL Semestre Corpo do Nome completo - Código EE-49887/5 Potência e Vetor de Poynting Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Potência e Vetor de Poynting Energia pode ser transportada de um ponto (transmissor) a outro ponto ( receptor) através de ondas EM. A taxa de tal transporte de energia pode ser obtido a partir das Equações de Maxwell. Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Potência e Vetor de Poynting Vetor de Poynting É o vetor fluxo de potência cuja direção é a mesma da propagação da onda. A sua magnitude é a quantidade de potência fluindo através de uma área unitária normal à direção de propagação da onda. Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Investigating Radiation Hazard and Safety Aspects of Handheld Mobile
Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Investigating Radiation Hazard and Safety Aspects of Handheld Mobile Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics SAR: Taxa de Absorção Específica : Conductividade do tecido, S/m ou mho/m : densidade do tecido, kg/m3 Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Investigating Radiation Hazard and Safety Aspects of Handheld Mobile Análise dimensional : Conductividade do tecido, S/m ou mho/m : densidade do tecido, kg/m3 Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Potência em uma onda Uma onda transporta potência (e/ou informação) à medida que se propaga em um meio. Potência transportada por uma onda por unidade de área: densidade de potência (Vetor de Poynting) Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Derivação do Vetor de Poynting
Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Derivação do Vetor de Poynting A partir das Equações de Maxwell Lei de faraday Lei de Ampère Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Derivação do Vetor de Poynting Começar com: E produto escalar Lei de Ampère Aplicar a identidade vetorial Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Derivação do Vetor de Poynting Começar com: E produto escalar Lei de Ampère Aplicar a identidade vetorial Terminar com: Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Derivação do Vetor de Poynting Substituir a Lei de Faraday no 1o termo Lei de faraday Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Derivação do Vetor de Poynting Rearranjando, Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Tomando a integral de volume, temos Aplicando o Teorema da Divergência Teorema de Poynting: A potência total saindo de um volume é devido à variação da energia armazenada nos campos elétrico e/ou magnético menos as perdas ôhmicas. _ Potência total através da superfície do volume Taxa de mudança da energia armazenada em E or H Perdas ôhmicas devido à corrente de condução = Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Potência total através da superfície do volume Derivação do Vetor de Poynting Teorema de Poynting Balanço de Potência Perdas ôhmicas Energia Armazenada em E Energia Armazenada em H Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Onda transporta energia e informação Poynting afirma que a potência líquida fluindo para fora de um dado volume é = ao decréscimo no tempo da energia armazenada menos as perdas de condução. Representa o vetor densidade de potência instantânea associado à onda eletromagnética. Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Potência Média no Tempo
Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Potência Média no Tempo O vetor de Poynting médio no tempo é Para uma onda no caso geral: Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Potência Total em W A potência total através de uma superfície S é Note que a unidade agora está em Watts. Note que P, nomenclatura de potência, é não cursivo. Note que o produto escalar indica que a área da superfície precisa ser perpendicular ao vetor de Poynting tal que toda a potência atravesse-a. Ondas Eletromagnéticas e Linhas Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

AE: III.1 – Power 1 At microwave frequencies, the power density considered safe for human exposure is 1 mW/cm2. A radar radiates a wave with an electric field amplitude E that decays with distance as |E(R)|=3000/R [V/m], where R is the distance in meters. What is the radius of the unsafe region? Answer: m (1 ponto) Ondas Eletromagnéticas e Linhas Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

AE: III.2 – Power 2 A 5GHz wave traveling In a nonmagnetic medium with er=9 is characterized by Determine the direction of wave travel and the average power density carried by the wave Answer: (1 ponto) Ondas Eletromagnéticas e Linhas Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Polarização de uma Onda TEM
Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Cadastro na Disciplina Enviar Assunto: OEL Semestre Corpo do Nome completo - Código EE-49887/5 Polarização de uma Onda TEM Electrical Engineering, UPRM

Onda TEM z x y Transverse ElectroMagnetic = Onda plana Ondas Eletromagnéticas e Linhas Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

4/7/2017 onda PLANa

Onda TEM z x y Transverse ElectroMagnetic = Onda plana Não há campos paralelos à direção de propagação Somente perpendicular (=transversal) Ondas Eletromagnéticas e Linhas Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Onda TEM z x y Se há um campo elétrico Ex (z) … então deve haver um correspondente campo magnético HY (z) A direção de propagação aE x aH = ak = az Ondas Eletromagnéticas e Linhas Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Polarização: “Why do we care” … ? Aplicações: Antenas “Remote Sensing” e Radar Absorção Ondas Eletromagnéticas e Linhas Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Antenas Transmissão (TX) e Recepção (RX) eficientes Electrical Engineering, UPRM

Polarização: Why do we care? Aplicações: Antenas, Remote Sensing e Radar Absorção Antenas Transmissão (TX) e Recepção (RX) eficientes A antena somente TX ou RX a polarização para a qual foi projetada. Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Polarização: Why do we care? Aplicações: Antenas, Remote Sensing e Radar Absorção Clima, Tempo, Topografia, ... Dinâmica de populações Qualidade e quantidade de terras aráveis Energia Aspectos ambientais Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Remote Sensing e Radar Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Remote Sensing Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Polarização: Why do we care? Aplicações: Antenas, Remote Sensing e Radar Absorção Muitos alvos (targets) refletem ou absorvem ondas EM diferentemente de acordo com o tipo de polarização. Usando múltipla polarização pode-se obter mais informação e melhorar os resultados. Ondas Eletromagnéticas e Linhas Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Polarização: Why do we care? Aplicações: Antenas, Remote Sensing e Radar Absorção O corpo humano, por exemplo, absorve mais a irradiação de uma onda com o campo E orientado da cabeça aos pés (polarização linear vertical) do que com polarização horizontal. Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Polarização: Why do we care? Aplicações: Antenas, Remote Sensing e Radar Absorção Também, a freqüência na qual a máxima absorção ocorre é diferente para diferentes tipos de polarização. Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Polarização: Why do we care? Aplicações: Antenas, Remote Sensing e Radar Absorção Todos esses aspectos concernentes à absorção são determinantes no estudo dos efeitos da absorção e na determinação de recomendações de segurança (safety guidelines). Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Polarização de uma wave
Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Polarização de uma wave x y z x Definição - IEEE “The trace of the tip of the E-field vector as a function of time seen from behind”. Casos simples Vertical, Ex Horizontal, Ey y x y Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

IEEE Standard Definitions for Antennas,
POLARIZAÇÃO De acordo com o IEEE Standard Definitions for Antennas, a polarização de uma onda irradiada é definida como: the time-varying direction of the electric field vector 4/7/2017

POLARIZAÇÃO DE UMA ONDA PLANA
A: amplitude : comprimento de onda : freqüência angular x: direção de propagação y: direção vertical Onda polarizada verticalmente (eixo y)

Vertical Horizontal

Ondas Eletromagnéticas e Linhas Franc Souza, DEE-UFMA Polarização Em geral, ondas planas têm 2 componentes: x & y A componente y pode estar fora de fase wrt componente x d: diferença de fase entre x e y x y Ey Ex Front View Electrical Engineering, UPRM

Vários Casos de Polarização
Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Vários Casos de Polarização Linear : d = dy – dx = 0o ou ± 180o Circular: dy – dx = ± 90o & Eox = Eoy Elíptica: dy – dx = ± 90o & Eox ≠ Eoy, ou d ≠ 0o ou ≠ 180o mesmo se Eox = Eoy Não polarizada: radiação natural Ondas Eletromagnéticas e Linhas Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Ondas Eletromagnéticas e Linhas Franc Souza, DEE-UFMA Polarização Linear Front View d = 0 @ z = 0 no domínio do tempo x y Ey Ex Electrical Engineering, UPRM

Franc Souza, DEE-UFMA Polarização Circular Ambas as componentes têm a mesma amplitude Eox = Eoy d = d y – d x = – 90o = Right circular polarized (RCP) d = + 90o = LCP Electrical Engineering, UPRM

4/7/2017 onda PLANa

Polarização Circular Circular à direta Circular à esquerda

4/7/2017 "Em outras palavras, polarização é a curva traçada pela ponta da seta que representa o campo elétrico instantâneo.

Polarização Elíptica As componentes X e Y têm diferentes amplitudes Eox ≠ Eoy, e d = ± 90o, ou d ≠ ± 90o e Eox = Eoy Ou d ≠ 0, 180o Ou qualquer outra diferença de fase, por exemplo d =56o Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Exemplo Determine a polarização da onda plana com campo elétrico dado por: a. b. c. d.  = 105, Elíptica  = 0, linear a 30o +180, LP a 45o -90, RCP Franc Souza, DEE-UFMA Electrical Engineering, UPRM

Dr. S. Cruz-Pol, INEL 4152-Electromagnetics Cadastro na Disciplina Enviar Assunto: OEL Semestre Corpo do Nome completo - Código EE-49887/5 Propagação de Ondas Eletromagnéticas FIM OBRIGADO Electrical Engineering, UPRM

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