Profa. Dra. Maria Ivanilde Silva Araújo

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1 Profa. Dra. Maria Ivanilde Silva Araújo
Bioestatística Profa. Dra. Maria Ivanilde Silva Araújo Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

2 Probabilidade Experimento Aleatório Espaço Amostral Eventos
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3 Experimento Aleatório
Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos varias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

4 Espaço Amostral A cada experimento correspondem, em geral, vários resultados possíveis. Assim, ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa. Já ao lançarmos um dado há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

5 Espaço Amostral Ao conjunto desses resultados possíveis damos o nome de espaço amostral ou conjunto universo, representados por S ou . Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

6 Eventos Chamamos de eventos qualquer subconjunto do espaço amostral  de um experimento aleatório. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

7 Probabilidade Procura quantificar as incertezas existentes em determinada situação. Não é possível fazer inferências estatísticas sem utilizar alguns resultados da teoria das probabilidades. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

8 Objetiva: Clássica Def.: Se um evento pode ocorrer em N maneiras mutuamente excludentes e igualmente prováveis, e se m dessas ocorrências tem uma característica E, então a probabilidade de ocorrência de E é: P(E) = m/N Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

9 Freqüência relativa Def.: Se algum processo é repetido um grande número de vezes, n, e se algum evento com característica E ocorre m vezes, a freqüência relativa m/n é aproximadamente igual à probabilidade de E: P(E) Obs.: m/n é apenas uma estimativa de P(E). Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

10 Propriedades Gerais Seja  um experimento aleatório e  espaço amostral associado a . A cada evento A associa-se um número real representado por P(A) que é denominado probabilidade de A que satisfaça às seguintes propriedades: 0 ≤ P(A) ≤ 1 P() = 1 Se A e B são eventos mutuamente exclusivos então: P(A U B) = P(A) + P(B) Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

11 Probabilidade com Eventos
Várias conseqüências relacionadas a P(A) decorrem das condições citadas anteriormente. Se A for o evento vazio (), então: P(A) = P() = 0 Se A e B são dois eventos quaisquer, então: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Se for o evento complementar de A então: P( ) = 1 – P(A) Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

12 Probabilidade Condicional
Sejam A e B dois eventos associados ao experimento . Denotaremos por P(B|A) a probabilidade condicionada do evento B, quando A tiver ocorrido. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

13 Exemplo: Resultado do desempenho de um novo teste de diagnóstico para câncer de mama em 200 pacientes com nódulo mamário único. Biópsia Novo Teste Sensibilidade = P(Novo Teste+| Biópsia +) = 65/100 Especificidade = P(Novo Test -| Biópsia -) = 30/100 VPP (do teste) = P(Biopsia +|NovoTest +) = 65/135 VPN (do teste) = P(Biópsia -|NovoTest -) = 30/65 Positivo Negativo 65 70 135 35 30 100 200 Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

14 Independência de Eventos
Dado dois eventos A e B de um espaço amostral , diremos que A independe de B se: P(A | B) = P(A) Isto é, independe de B se a ocorrência de B não afeta a probabilidade de A. Dois eventos A e B são chamados independentes se P(A  B) = P(A) x P(B). Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

15 Variável Aleatória Quando os valores assumidos por uma variável são o produto de fatores casuais e estes não podem ser preditos com exatidão, esta variável é chamada de aleatória. Exemplo: número de alunos aprovados no primeiro período 2014 da UFAM no curso de Odontologia. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

16 Variável Aleatória Se a variável aleatória pode assumir somente um particular conjunto de valores (finito ou infinito enumerável), diz-se que é uma variável aleatória discreta. Uma variável aleatória é dita contínua se pode assumir qualquer valor em um certo intervalo. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

17 Função de Probabilidade
É a probabilidade de que uma variável aleatória “X” assuma o valor “x”. É representada por P(X = x) ou P(x) e pode ser: Discreta Contínua Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

18 Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Discreta
É a função de probabilidade no ponto, ou seja, é o conjunto de pares (xi ; P(xi)), para i = 1, 2, ..., n, ... Para cada possível resultado de x teremos: (i) ≤ P(x) ≤ 1 (ii) Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

19 Esperança e Variância de uma variável aleatória discreta
Esperança de X, Variância de X, ou Var(X) = E(X²) – [E(X)]² Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

20 Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Contínua
É uma função de probabilidade quando X é definida sobre um espaço amostral contínuo. Se quisermos calcular a probabilidade de X assumir um valor x entre “a” e “b” devemos calcular: Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

21 Distribuição de Probabilidade de uma Variável Aleatória Contínua
f(x) x a b Onde a curva limitada pela área em relação aos valores de x é igual a 1 Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

22 Função de Densidade de Probabilidade
A função f(x) é uma função de densidade de probabilidade (f. d. p.) para uma v. a. contínua X, definida nos reais quando Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

23 Distribuições de Probabilidade
Binomial Poisson Normal Normal Padrão Qui-quadrado t-student F de Snedecor Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

24 Distribuição Binomial
Um experimento aleatório é chamado binomial se em n repetições: Os ensaios são independentes; Cada resultado do ensaio pode assumir somente uma de duas possibilidades: sucesso ou fracasso; A probabilidade de sucesso em cada ensaio, denotado por p, permanece constante. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

25 Distribuição Binomial
A probabilidade de obtermos exatamente x sucessos em n tentativas é: E(X) = np e Var(X) = np(1 – p) Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

26 Exemplo: Uma mulher engravida 20 vezes. Qual a probabilidade de nascerem 8 meninas? Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

27 Solução: Seja X: número de sucessos (meninas); m = nascer menina.
X = 0, 1, 2, ..., 20  p = P(m) =  X~ B P(X = 8) = Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

28 Exemplo: Suponha que 30% dos indivíduos de uma população sejam contrárias a um projeto de saneamento municipal. Se sortearmos 10 indivíduos desta população (amostra) qual é a probabilidade estimada de que exatamente 4 indivíduos sejam favoráveis? Seja X o nº de indivíduos favoráveis; P(X = 4) = Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

29 Distribuição Normal A distribuição normal é uma distribuição em forma de sino que é usada muito extensivamente em aplicações estatísticas em campos bem variados. Sua densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por: Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

30 Distribuição Normal Sua média é  e sua variância é 2. Quando X tem uma distribuição normal com média  e variância 2, escrevemos, de forma compacta, X  N (,2). Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

31 Distribuição Normal Características: Simétrica em relação à média  ;
A média, moda e mediana são iguais; A área total sob a curva é igual a 1, 50% à esquerda e 50% à direita da média. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

32 Distribuição Normal A área entre  - 1 e  + 1 é aproximadamente 68%
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33 Distribuição Normal A área entre  - 2 e  + 2 é aproximadamente 95%
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34 Distribuição Normal A área entre   - 3 e  + 3 é aproximadamente 99,7% Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

35 Distribuição Normal A distribuição normal é completamente determinada pelos parâmetros  e  Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

36 Distribuição Normal Padrão
Caracterizada pela média igual a zero e desvio padrão igual a 1. Se X tem distribuição normal com média  e variância 2 então: Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

37 Distribuição Normal Exemplo: (Predição de uma valor) Suponha uma população normal com colesterol médio de 200mg% e desvio padrão de 20mg%. Qual é a probabilidade de um indivíduo sorteado ao acaso desta população apresentar um colesterol entre 200 e 225 mg%? A estatística Z mede quanto um determinado valor afasta-se da média em unidades de desvio padrão (quando coincide c/ a média, o escore é Z = 0) Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

38 Distribuição Normal Consultando a Tabela de Distribuição normal, ou um programa estatístico vemos que a probabilidade de Z assumir valor entre 0 e Z = 1,25 é 0,3944 ou 39,44 Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

39 Exemplo: Seja X: N(100, 25). Calcular:  = 100 e  = 5 →
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40 Solução: P(100  X  106 ) P(100  X  106 ) = = P(0  Z  1,2 )
= 0,384930 Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

41 Solução: b) P(89  X  107) P(89  X  107) = = P(-2,2  Z  1,4)
= P(-2,2  Z  0) + P(0  Z  1,4) = 0, ,419243 = 0,90534 Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

42 Exemplo: Sendo X: N(50, 16), determinar X tal que:  = 50,  = 4
a) P(X  X) = 0,05 Procurando no corpo da tabela 0,45 (0,5 – 0,05), encontramos: Z= 1,64 como →  X= 56,56 P(X  56,56) = 0,05 Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

43 Solução: b) P(X  X) = 0,99 Procurando no corpo da tabela 0,49 (0,5 – 0,01), encontramos: Z= 2,32  X= 59,28 P(X  59,28) = 0,99 Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

44 Distribuição 2 (Qui-quadrado)
Uma v. a. contínua Y, com valores positivos, tem uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade (denotada por χ²(n) ), se sua densidade for dada por E(Y) = n, Var(Y) = 2n. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

45 A Distribuição 2 (Qui-quadrado) pode ser vista como:
O quadrado de uma v.a. com distribuição normal padrão é uma v.a. com distribuição 2(1) ( seja Z~N(0,1) e considere Y = Z2. Então Y~2(1) ); A distribuição 2n é a distribuição da soma de n variáveis normais independentes padronizadas. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

46 Distribuição t de Student
Se X  N(0, 1) e Y  2n e X e Y são independentes, então t = tem densidade dada por tal v. a. tem distribuição t com n graus de liberdade. E(t) = 0, Var(t) = Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

47 A distribuição t é uma distribuição simétrica como a normal, um pouco mais achatada e com caudas mais longas que a normal. Quando o tamanho da amostra cresce, a distribuição t se aproxima da normal. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

48 Distribuição F Se Y1  e Y2  e Y1 e Y2 são independentes, então
W = tem densidade dada por tal v. a. tem distribuição F com graus de liberdade n1 e n2. Escrevemos WF(v,r). E(W) = , Var(W) = Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

49 Distribuições de Probabilidade
1 2 3 4 5 6 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 Probabilidade de ocorrer valor entre zero e 1,25 Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

50 Tipos de Estimações de Parâmetros
i) Estimação Pontual ii) Estimação Intervalar Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

51 Estimador e estimativa
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52 Estimação intervalar Limitação da estimação pontual  desconhecimento da magnitude do erro que se está cometendo; Surge a idéia da construção de um intervalo que contenha, com um nível de confiança conhecido, “ valor verdadeiro do parâmetro”; baseado na distribuição amostral do estimador pontual. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

53 Erro Máximo da Estimativa
Representa a diferença máxima (erro) que será permitida entre a estimativa pontual ( ) e o valor verdadeiro do parâmetro que está sendo estudado (μ). Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

54 Erro LI – Limite Inferior LS – Limite Superior
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55 Intervalo de Confiança da Média Populacional
LI – Limite Inferior LS – Limite Superior Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

56 Intervalo de confiança com variância desconhecida
X ( , σ ) População x s 96 1 - + S 2 k amostra 95% dos intervalos Contêm n1 n2 nK Amostra 1 Amostra 2 Amostra k Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

57 Estimação Intervalar É o intervalo definido pela estimativa pontual mais ou menos o erro máximo da estimativa. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

58 Média populacional, quando σ é desconhecido
IC para média; Estatística de t de Student. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

59 Intervalo de confiança da média
Substituindo o t Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

60 Intervalo de Confiança da média
Na tabela de t de Student Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

61 Amostra de tamanho n ≤ 30 Para amostra de tamanho n ≤ 30 da população de interesse; Calcule os valores de e S; Escolha o valor do coeficiente de confiança 1 – α ; Determine os valores de t(α/2;n – 1) apartir da tabela da distribuição t de Student; Calcule os limites do intervalo de confiança. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

62 Intervalo de Confiança da média
Com um nível de confiança Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

63 Encontre: média e desvio padrão
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64 Como calcular o Intervalo de Confiança da média ?
Os intervalos de confiança da média Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

65 Encontre o valor de t de Student
gl n-1 α 0,05 0,01 2 4,303 9,925 ... 8 2,306 3,355 1,960 2,576 n-1 Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

66 Como calcular o intervalo de confiança da média?
Os intervalos inferior e superior Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

67 Exemplo Uma amostra de tamanho 9, extraída de uma população normal com = 1,0 e S = 0,264. Construir intervalos de 95% e 99% de confiança para média populacional. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

68 Resultado [0,797; 1,203]. Para 1 – α = 95%  α = 0,05; α/2 = 0,025
graus de liberdade = 9 – 1 = 8, = 1,0 e S = 0,264. [0,797; 1,203]. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

69 Resultado graus de liberdade = 9 – 1 = 8.
Para 1 – α = 99%  α = 0,01; α/2 = 0,005 graus de liberdade = 9 – 1 = 8. Intervalo: ∆  [3,355(0,264/3)] =0,088 LI=0,912 LS=1,088 [0,912; 1,088]. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

70 Resultado Para 1 – α = 95%  α = 0,05; gl = 9 – 1 = 8.
Intervalo:  [0,797; 1,203]. Para 1 – α = 99%  α = 0,01; gl = 9 – 1 = 8. Intervalo:  [0,705; 1,295]. Nota: aumentando o nível de confiança, o tamanho do intervalo também aumenta. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

71 Estimação da média Intervalo de 95% de confiança [0,797; 1,203];
Estimativa por ponto, a qual consiste em apenas um valor da média=1; O intervalo de confiança para o parâmetro (μ), estamos fazendo uma estimativa por intervalo. Intervalo de 95% de confiança [0,797; 1,203]; Intervalo de 99% de confiança [0,705; 1,295]; Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

72 Parâmetros Químicos e Biológicos
Tabela 1 Intervalos de confiança para a média de cada parâmetro (físico e químico), das coletas realizadas em Manaus na época seca. Parâmetros Químicos e Biológicos São Raimundo Educandos Tarumã Limites do CONAMA 357 Inferior Superior pH 5,88 7,15 5,14 6,66 4,69 5,23 6 a 9 Cond. Elétrica 73,8 233,92 109,46 283,38 8,37 10,7 - Turbidez 12,36 38,14 4,14 21,03 23,84 <40unt O2 0,91 3,9 1,49 2,92 5,47 6,97 >6mg/L NO3 0,1 0,25 0,08 0,3 0,02 0,06 10,0m/L NH4 0,37 4,11 3,48 6 0,07 Ferro Total 0,31 1,56 0,61 2,83 Ferro Dissolvido 0,01 0,15 1,14 0,3mg/L Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

73 Parâmetros Químicos e Biológicos
Tabela 2 Intervalos de confiança para a média de cada parâmetro (físico e químico), das coletas realizadas em Manaus na época chuvosa. Parâmetros Químicos e Biológicos São Raimundo Educandos Tarumã Limites do CONAMA 357 Inferior Superior pH 5,32 7,1 5,15 6,66 4,6 5,24 6 a 9 Cond. Elétrica 66,63 218,18 92,88 249,76 6,99 13,8 - Turbidez 2,99 31,67 68,09 274,55 0,19 12,98 <40unt O2 1,16 2,69 1,52 4,65 6,65 7,73 >6mg/L NO3 0,04 0,26 0,01 0,52 0,02 10,0m/L NH4 1,26 6,44 1,59 5,35 0,13 0,21 Ferro Total 0,87 4,02 4,01 0,07 0,38 Ferro Dissolvido 0,12 0,06 0,2 0,3mg/L Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

74 Estimação por intervalo
Teoria da estimação Estimação por intervalo Intervalo de confiança para a média da população quando é conhecido. Intervalo de confiança para a média da população quando é desconhecido. Intervalo de confiança para a variância da população. Intervalo de confiança para o desvio-padrão da população. Intervalo de confiança para uma proporção populacional Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

75 Exercício prático Considerando-se que uma amostra de cem elementos extraídas de uma população aproximadamente normal, cujo desvio-padrão é igual a 2,0, forneceu média =35,6, construir um intervalo de 95% de confiança para a média dessa população Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde