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Álgebra Linear e Geometria Analítica
10ª aula
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Vectores no plano Vectores no espaço Vectores em n
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(u1+v1, u2+v2) (v1,v2) (u1,u2)
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(ku1,ku2) ku (u1,u2) u
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Produto interno u = (u1, u2); v = (v1,v2) u . v = u1v1 + u2 v2
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Produto interno e norma
u = (u1, u2); v = (v1,v2) u . v = u1v1 + u2 v2
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Produto interno em n u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un);
v = (v1, v2, v3, v , vn); u . v = u1v1 + u2 v2 + u3v3 + u4 v un vn
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Propriedades do produto interno
u . v = v . u u . (v + w) = u . v + u . w ( u . v ) = ( u) . v = u . ( v) u . u 0 u . u = 0 u = 0
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Produto interno e norma em n
u = (u1, u2, u3, u , un);
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EXEMPLOS u = (1, 6, 0, -1, 0, 2) v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2) u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 0 (-2) = = = -6
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EXEMPLOS u = (1, 6, 0, -1, 0, 2) v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2) u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 0 (-2) = = = -6
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EXEMPLOS u = (1, 6, 0, -1, 0, 2) v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2) u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 0 (-2) = = = -6
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Propriedades da norma Desigualdade triangular Desigualdade
Cauchy-Schwartz
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A B
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Desigualdade triangular
||B|| ||A|| ||A+B|| B Desigualdade triangular
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A+B B ||A+B|| ||B|| A ||A||
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A+B B ||A+B|| ||B|| A ||A||
Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:
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A+B B ||A+B|| ||B|| A ||A||
Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:
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Ortogonalidade: Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo
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Ortogonalidade: Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo Exemplo: u = (1, 2, 3, 4) ; v = (-4, -3, 2, 1) u . v = = 0
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A B
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A B tB
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A B tB tB é a projecção do vector A sobre B
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A C B tB
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A = tB + C C B tB
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A = tB + C C B tB A . B = (tB + C) . B = t B . B + C . B = t B.B
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A = tB + C C B tB A . B = (tB + C) . B = t B . B + C . B = t B.B
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A = tB + C C B tB
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A = tB + C C B tB
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A = tB + C C B tB
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Definição de projecção de um vector sobre outro:
Sejam u e v vectores de n A projecção de u sobre v é o vector v sendo
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Definição de ângulo de dois vectores:
Sejam u e v vectores não nulos de n O ângulo entre os vectores u e v é tal que
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Definição de ângulo de dois vectores:
Sejam u e v vectores não nulos de n O ângulo entre os vectores u e v é tal que
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Limites do valor de cos
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Exemplo:
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Exemplo:
42
Exemplo:
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Produto externo Só se define produto externo em 3
||u v||2 = ||u||2 ||v||2 sen2
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Produto externo Só se define produto externo em 3
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Regra prática:
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Regra prática:
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Regra prática:
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Regra prática:
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Regra prática:
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Propriedades do produto externo:
u v = - (v u) u (v + w) = u v + u w (u v) = ( u) v u . (u v) = 0 v . (u v) = 0 ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 u v = 0 u e v linearmente dependentes
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Propriedades do produto externo:
O produto externo não é associativo! Exemplo:
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Propriedades do produto externo:
O produto externo não é associativo! Exemplo:
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Propriedades do produto externo:
u e v linearmente independentes {u, v, uv} linearmente independente Qualquer vector ortogonal a u e a v é múltiplo de uv
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Propriedades do produto externo:
u e v linearmente independentes {u, v, uv} formam base de 3
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Propriedades do produto externo:
||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
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Propriedades do produto externo:
||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 u . v = ||u|| ||v|| cos
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Propriedades do produto externo:
||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 u . v = ||u|| ||v|| cos (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2
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Propriedades do produto externo:
||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 u . v = ||u|| ||v|| cos (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2 ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2
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Propriedades do produto externo:
||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 u . v = ||u|| ||v|| cos (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2 ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2 ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 (1 – cos2)
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Propriedades do produto externo:
||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 u . v = ||u|| ||v|| cos (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2 ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2 ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 (1 – cos2) ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 sen2
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A ||A||sen B
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:||A B|| = ||A|| ||B|| sen
||A||sen B Área do paralelogramo: :||A B|| = ||A|| ||B|| sen
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Produto misto O produto misto só se define em 3 u, v, w 3
O produto misto de u, v e w é: u . (v w)
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Regra prática para calcular o produto misto
u, v, w 3
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Propriedades do produto misto
u, v, w 3 u . (v w) = 0 {u, v, w} linearmente dependente u . (v w) = (u v) . w u . (v w) = v . (w u) u . (v w) = - u . (w v) = - v . (u w)
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Interpretação geométrica:
(u v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.
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Interpretação geométrica:
(u v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w. Se u e v definem a base, ||uv || é a área da base
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Interpretação geométrica:
(u v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w. Se u e v definem a base, ||uv || é a área da base ||w||cos dá a altura, sendo o ângulo entre w e uv
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Interpretação geométrica:
(u v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w. Se u e v definem a base, ||uv || é a área da base ||w||cos dá a altura, sendo o ângulo entre w e uv Volume = ||uv || ||w||cos = (u v) . w
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w v u
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w v u
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u v w v u
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u v w altura v u
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u v w Altura = ||w|| cos v u
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u v w Altura = ||w|| cos v Área da base = ||uv|| u
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Bases ortonormadas Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se os vectores forem ortogonais dois a dois. Um conjunto de vectores diz-se ortonormado se for ortogonal e todos os vectores tiverem norma unitária
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Bases ortonormadas Um vector que tiver norma igual a um diz-se unitário. Dado um qualquer vector não nulo u, é possível construir um vector unitário a partir de u fazendo:
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Como obter uma base ortogonal?
Seja {u1, u2, , un} uma base de um espaço vectorial de dimensão n. Obtém-se a partir daqui uma base ortogonal {v1, v2, , vn} aplicando o chamado processo de ortogonalização de Gram-Schmidt que consiste em:
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Ortogonalização de Gram-Schmidt
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Ortogonalização de Gram-Schmidt
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Ortogonalização de Gram-Schmidt
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Ortogonalização de Gram-Schmidt
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