Os contratos de crédito

Os contratos de crédito

O contrato de crédito Existem três razões principais para a necessidade de haver contratos de crédito. O ciclo de vida das pessoas Poder ocorrer um período de “desemprego” ou de despesas acrescidas (e.g., doença) O capital ser produtivo

O ciclo de vida Uma das mais obvias razões para a a existência de empréstimos é o ciclo de vida das pessoas. As pessoas precisam de consumir sempre Existem longos períodos em que não têm rendimento (quando crianças e “velhos”)

O ciclo de vida

O ciclo de vida As pessoas, quando crianças, não têm rendimento suficiente para sobreviver, pedindo recursos emprestados Em média, é-se “criança” durante 20 anos Quando trabalham, pagam as dívidas (de criança) e poupam alguns recursos (para a velhice) Em média, é-se activo durante 45 anos

O ciclo de vida Quando reformados, não têm suficiente rendimento para sobreviver, mas têm os recursos que pouparam (emprestaram) Em média, a reforma dura 15 anos Esses recursos que vão-se esgotando

O desemprego O trabalho é a fonte mais importante de rendimento das famílias E, de repente, qualquer pessoa pode ficar desempregada. A probabilidade será de 10%/ano

O desemprego E, depois, demora alguns meses a encontrar novo emprego
Em média, 12 meses E o salário é menor que o anterior Menos 15% Será necessário poupar recursos para essa eventualidade. Deverão ter uma poupança > 12 salários.

Cataclismos Podem ocorrer imponderáveis
O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder trabalhar e necessitando de tratamento médico. Pode ter um acidente de automóvel, necessitando de pagar a reparação. Pode ter um incêndio em casa. É necessário ter uns activos de lado

O capital ser produtivo
O trabalho torna-se mais produtivo se for auxiliado por capital máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc. Se um indivíduo pedir emprestado dinheiro, pode comprar bens de capital e aumentar o seu rendimento Mais tarde, pode devolver o dinheiro pedido

O capital ser produtivo
Existem bens que custam “muito dinheiro” e duram muito tempo Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc. Estes bens “produzem” utilidade As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis para pedir empréstimos e pagar um pouco todos os meses.

O empréstimo em dinheiro
Numa sociedade “atrasada”, Armazenam-se bens Emprestam-se bens e serviços Numa sociedade monetarisada, empresta-se dinheiro

O armazenamento de recursos tem custos muito elevados A roupa passa de moda A comida estraga-se Os carros enferrujam É vantajoso emprestar dinheiro e mais tarde tê-lo de volta para comprar bens e serviços

Poupar dinheiro não é o mesmo que poupar recursos escassos Se poupamos dinheiro, nós deixamos de consumir recursos (bens e serviços) Mas, a quem emprestamos, vai consumir esses recursos que poupamos.

Como as pessoas são heterogéneas, haverá sempre algumas que precisam de pedir dinheiro E.g., as criancinhas, os desempregados e acidentados imprevidentes. Outras que precisam de guardar dinheiro E.g., os activos previdentes.

A taxa de juro

A taxa de juro Quando eu empresto uma quantidade de dinheiro, não vou receber a mesma quantidade A diferença denomina-se por JURO O Juro pode ser entendido como a remuneração de eu adiar o consumo

A taxa de juro Em termos económicos,
quem empresta está a vender bens do presente em troca de bens do futuro quem pede emprestado está a comprar bens do presente em troca de bens do futuro Ou vice versa

A taxa de juro Então, o juro também pode ser entendido
como uma “taxa de cambio” intertemporal 1€ de agora vale 1.1€ do futuro como um “preço relativo” intertemporal 1 camisola de agora vale 0.9 camisolas do futuro

A taxa de juro O raciocínio em termos de “remuneração” é muito mais fácil de compreender que em termos de “preço relativo”

A taxa de juro O juro, em tese, tanto poderá ser positivo como negativo. Há razões para justificar ser positivos e razões para justificar ser negativo Historicamente é positivo

A taxa de juro Porque é positivo? Por três razões A inflação
Haver alternativas remuneradas As pessoas preferem o presente ao futuro O capital é produtivo Haver risco de incumprimento

Taxa de juro positiva Hoje faço anos e deram-me 1000€
Hipótese 1: entregam-mos agora. Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos. Qual das hipóteses será preferível?

Taxa de juro positiva É preferível a hipótese 1
A) O dinheiro vai desvalorizar B) Podia depositá-lo a juros C) O doador pode morrer (e a oferta falhar)

Inflação A) O dinheiro vai desvalorizar
O valor do dinheiro resulta de podermos comprar bens e serviços. Como existe inflação (i.e., o preço dos bens e serviços aumenta com o tempo), a quantidade de bens que posso comprar diminui com o tempo. O valor do dinheiro diminui com o tempo

Inflação A) O dinheiro vai desvalorizar Inicialmente tenho V0 euros
Os preços, em média, aumentam %. No fim do período terei que ter V1 = V0 (1+ )

Inflação A) O dinheiro vai desvalorizar Exercício Posso ter 1000€
Sendo que, em média, durante os próximos 10 anos os preços aumentarão 40%. Quanto terei que ter ao fim deste tempo para ter o mesmo poder aquisitivo?

Inflação V1 = 1000 x ( ) = 1400€ Teria que ter 1400€

Alternativa remunerada
B) Podia depositá-lo a juros O capital é produtivo. E.g., um agricultor se cavar com uma enxada consegue produzir mais do que se o fizer com um apenas um pau. O capital é escasso Quem precisar de capital estará disponível a pagar uma remuneração pelo seu “aluguer”.

B) Podia depositá-lo a juros É preferível consumir hoje. As pessoas preferem o Presente ao Futuro No Futuro estamos mortos No Futuro estamos velhos pelo que não apetecerá Quem faz o sacrifício de não consumir no presente precisa ser “remunerado”. Quem tem o benefício de consumir o que não tem (ainda) tem que “pagar”.

B) Podia depositá-lo a juros Inicialmente tenho V0 euros Apesar de os preços, em média, se manterem,  = 0%, um empresário de confiança paga-me como juro r%. No fim do período, terei V1 = V0 (1+ r)

Risco de incumprimento
C) O doador pode morrer O Futuro é incerto. A obrigação pode não ser cumprida Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar receber o dinheiro mais os juros Mas posso não receber nenhum deles Ou receber apenas parte

C) O doador pode morrer Vamos supor que eu emprestei V0 euros e vou receber (penso eu) V1 euros. Existindo a probabilidade p de eu não receber nada, para, em média, ficar equivalente, terá que V0 = 0 x p + V1 x (1 - p) V1 = V0 / (1 - p)

C) O doador pode morrer Vamos supor que eu empresto 1000€ Existe a probabilidade de 10% de, decorrido o prazo acordado, não receber nada Qual terá que ser a soma prometida no fim do prazo?

V1 = 1000 / (1 – 10%) = € Teriam que me prometer acrescentar € de juros ao dinheiro que eu emprestei.

A taxa de juro Haverá razões para que a taxa de juro pudesse ser negativa? O dinheiro que guardo em casa pode ser roubado Se houver poucas criancinhas e poucos empresários, não há a quem emprestar dinheiro i.e., se não houver crescimento económico

A taxa de juro Haverá razões para que a taxa de juro pudesse ser negativa? Historicamente, os efeitos “negativos” são negligenciáveis face aos efeitos “positivos”

A taxa de juro AS unidades de juro são em termos de unidades de capital (dinheiro) por unidades de tempo. e.g., 0.10€ por cada 1.00€ e por cada ano Seria uma taxa de juro de 10% ao ano

A taxa de juro Como o juro incorpora 3 elementos
A inflação A remuneração do capital (o juro real) O risco de não cobrança Em termos de taxas temos, num ano Vfinal = Vinicial x (1+ ) x (1 + r) / (1 - p) 1+ i = (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)

A taxa de juro Para valores de r,  e p pequenos, é aceitável somas as 3 parcelas:

A taxa de juro Supondo que eu empresto 1000€, durante 1 ano.
A inflação (prevista) é de 5% ao ano O juro real (acordado) é de 2% ao ano O risco de não cobrança é de 3% ao ano Qual a taxa de juro? Quanto dinheiro devo acordar receber?

A taxa de juro A taxa de juro seria de10.41%:
1+i = ( ) x ( ) / (1 – 0.03) i =10.412% Devo exigir receber (daqui a um ano) V1 = 1000 x ( ) x ( ) / (1 – 0.03) V1 = € Os juros seriam €.

A taxa de juro A soma das parcelas daria 10%
A taxa calculada é % Quanto mais pequenas forem as parcelas, menor é a diferença

A taxa de juro Eu tenho 10 galinhas que posso comer (galinhas de hoje) ou emprestar e receber 11 galinhas daqui a um ano (galinhas do futuro). i) Qual é a taxa de juro? ii) Qual é o preço das galinhas do futuro relativamente às galinhas do presente?

A taxa de juro i) A taxa de juro resolve 11 = 10.(1 + i)  i = 10%.
ii) Compro 11 galinhas do futuro com 10 unidades “monetárias” (10 galinhas de hoje) pelo que preço de cada galinha do futuro será de 0,909 unidades “monetárias” (i.e., galinhas de hoje).

A taxa de juro Assumir um juro proporcional à duração do tempo e à quantidade emprestada tem problemas O risco de grandes somas é mais que proporcional ao risco das pequenas somas Por causa da diversificação do risco O risco de longos prazos é mais que proporcional ao risco dos curtos prazos O futuro distante é menos previsível

A taxa de juro Mesmo assim, usa-se como referência para o juro uma taxa por unidade de tempo, normalmente o ano. E.g. 4.47%/ano Podendo haver ajustamentos ao prazo e ao valor

A taxa de juro Taxa EURIBOR
É a taxa de juro por ano que os bancos sem risco (first class credit standing) emprestam euros entre si É uma referência nos contratos com taxa de juro variável (e.g., crédito à habitação).

EURIBOR a 6 meses desde o início de 2008
A taxa de juro EURIBOR a 6 meses desde o início de 2008

A taxa de juro EURIBOR dependendo do prazo do contrato
(Escalas: esquerda; direita)

A taxa de juro Taxa EURIBOR
Como é uma taxa sem risco, os particulares acrescem um Spread à sua taxa que é a previsão que o emprestador tem do risco de não cobrança de cada cliente. Os depositantes recebem menos que a EURIBOR – “pagam” os serviços bancários

A taxa de juro Taxa de desconto do Banco Central
O BC controla a quantidade de papel moeda em circulação, i.e, controla o nível médio de preços Não tem qualquer efeito real (monetaristas) Quando é definida, e.g., 4%/ano, o BC aceita liquidez a 3.5%/ano e cede liquidez a 4.5%/ano – denomina-se janela de desconto

A taxa de juro Taxa de desconto do Banco Central não é uma boa medida da taxa de mercado sem risco A cedência de liquidez é de “último recurso”. Ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1 ponto percentual Ao fim de 120 dias, aumenta mais 1 p.p.

A taxa de juro

A taxa de juro O Credit Scoring é uma técnica de estimação da probabilidade de incumprimento. O Score é um índice que resulta de somar os efeitos de várias variáveis

A taxa de juro Ex.1.9: assuma o seguinte score:
PJA: Proporção dos juros e amortizações no rendimento mensal PDP: Proporção das dívidas no património IM: Idade média do casal Score = 100PJA + 25PDP + IM

A taxa de juro score ≤ 80, o spread será de 0.75 pp
80 < score ≤ 130, o spread será 1.75 pp score > 130, o banco não concede crédito. Qual o spread de um casal, com 2M€/mês, património de 100M€, anos, e que pedem 175M€ para comprar uma casa avaliada em 250M€? Assuma uma prestação mensal de 6€/1M€.

A taxa de juro Como o Score p = 100x6x175/2000 + 25.[175/(100 + 250)]
+ 28 = 93 está no intervalo ]80, 130], o spread será de 1.75pp.

Questões a discutir A natalidade tem diminuído
As crianças sustentavam os pais na velhice Será culpa do estado por garantir a velhice com reformas e assistência? Por não garantir os pagamentos das dívidas dos filhos aos pais? Será culpa dos mercados financeiros por disponibilizarem activos sem risco?

Questões a discutir A poupança das famílias tem decrescido
Garantiam uma “eventualidade” Permitiam comprar um “bens duradouros” Será culpa do estado ao garantir assistência médica e medicamentosa? De haver “subsídio de desemprego”? De haver seguradoras? De haver crédito bancário?

Questões a discutir Não há investimento
Será culpa dos bancos favorecerem o crédito ao consumo? Será culpa do estado porque, os processos de falência são demorados, ineficientes, e favorece os trabalhadores em detrimento de quem emprestou o “capital”?

Capitalização e Desconto

Capitalização A taxa de juro é referida a uma unidade de tempo, normalmente um ano. Se a duração do contrato for de vários anos mas os juros forem pagos no final de cada ano Estamos sempre a voltar à situação inicial. Esta é a situação dita normal.

Capitalização Se os juros forem pagos apenas no fim do prazo contratado (de vários anos) Cada ano, o capital aumentará Haverá lugar a juros dos juros não pagos. Esta é a situação capitalizada.

Capitalização Simples
Neste caso, desprezamos os juros dos juros. Cada ano, os juros são o capital inicial a multiplicar pela taxa de juro anual J = Vinicial.i No final de n anos, receberemos Jtotal = Vinicial.n.i e Vfinal.(1+ n.i) itotal = n.i

Exercício Ex.1.4. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são pagos no fim do período, capitalização simples. A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente. Qual a quantia a pagar?

Exercício R. Os juros serão J = 10M€.(3.754% + 4.217% + 4.765%)
= € O capital final será V = 10000€ € = €.

Exercício C3: =B3*B$1 C6: =SUM(C3:C5) C7: =C6 + B1

Capitalização Composta

Capitalização Composta
Neste caso, vamos considerar os juros dos juros. Cada ano, os juros acrescem ao capital Jt+1 = Vt.i Vt+1 = Vt + Vt.i = Vt.(1+i) No final de n anos, receberemos Vfinal.=Vinicial.(1 + i)n, itotal = (1 + i)n - 1

Exercício Ex.1.5. Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 5% ao ano, juros a pagar no fim do período com capitalização composta. Denominam-se de juros postecipados i) Qual o capital final a receber ii) Determine a taxa de juro dos 5 anos e compare com a capitalização simples.

Exercício i) O capital final a receber será de
25000.(1 + 5%)5 = 31907,04€. ii) A taxa de juro do contrato será (1+5%)5 –1 = 27,628% com capitalização simples seria menor = 5x5% = 25%.

Exercício Ex.1.6. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são postecipados, capitalização composta. A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente. Qual a quantia a pagar?

Exercício O valor a receber será
= €

Período de tempo fraccionário
Na expressão da taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1 O número de anos é inteiro. No entanto, podemos extrapolar o conceito de capitalização a fracções do ano.

Sendo que empresto 1000€ durante 3 meses a uma taxa anual de 5%/ ano, quanto vou receber de juros (c. composta):

3 meses correspondem a 0.25 anos. Vou receber 12,27€ de juros Se capitalizasse esta taxa 4 vezes, obtinha os 5% ( %)4 – 1 = 5%

Ex.1.7. Num empréstimo de 100M€ foi acordado o pagamento mensal de juros à taxa média do último mês da EURIBOR a 3 meses e o capital no fim do prazo acordado. Supondo um mês em que a taxa de juro foi de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros?

R. A taxa mensal será ( %)1/12 – 1 = % Um mês corresponde a 1/12 anos  € de juros referentes ao mês

Valor Futuro O valor que uma soma de dinheiro do presente terá no futuro Traduz o total a pagar pelo devedor no final do prazo acordado: valor futuro do capital emprestado.

Valor Futuro Ex.1.8. Foram colocadas à venda obrigação do SCP de valor nominal de 5.00€ por 4.05€. Sabendo que o SCP resgata a obrigação ao par (i.e., paga os 5€) daqui a 3 anos, qual a taxa de juro desta aplicação?

Valor Futuro R. O valor futuro dos 4.05€ do presente serão 5.00€ pelo que a taxa de juro resolve: será 7.277%/ano:

Valor Futuro Ex.1.9. Um indivíduo deposita no início de cada mês 1000€ durante 60 meses. As prestações são antecipadas Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano, determine o valor futuro total das parcelas poupadas (i.e., quanto dinheiro terá no fim dos 60 meses)?

Valor Futuro O valor futuro de 1000€ depositados no início do mês i é
O valor futuro total valerá que, resolvido no Excel, resulta em €.

Valor Futuro C2: =B2*(1+4%)^((60-A2+1)/12) e copiava em coluna
C62: =Soma(B2:B61)]

Taxa de juro instantânea
Apesar de a taxa de juro i ser anualizada, pode ser usada em contratos em que os juros são pagos com regularidade inferior Juros recebidos no final do primeiro período

Juros recebidos no final do segundo período O total de juros recebidos durante o ano, vem dado por,

Por exemplo, se empresto 10M€ à taxa de juro de 5%/ano e quiser receber no fim de cada dia os juros, T=1/365, então durante um ano recebo:

Quando o tempo se torna infinitesimal, esta medida k transforma-se na taxa de juro instantânea: A taxa de juro média virá dada por

De forma equivalente

A vantagem da taxa instantânea é poder ser utilizada em modelos em tempo contínuo (o que será feito em Macroeconomia e Matemática II).

Desconto Sendo que capitalizar é andar para a frente no tempo
Descontar é andar no tempo para trás É, na taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1, assumir um número negativo de anos

Desconto – Valor passado
Em termos económicos, pode traduzir o valor passado de uma quantidade de dinheiro presente Eu recebi hoje 1000€ de um valor que emprestei há 10 anos a 4% ao ano. Qual o capital que eu emprestei?

Desconto – Valor actual
Também pode traduzir o valor actual (no presente) de uma quantidade de dinheiro que vou ter disponível no futuro

No meu emprego, vão-me dar de prémio 100€, pagos daqui a 10 anos. Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses 100€ de daqui a 10 anos valem no presente 100€ x 1.06–10 = 55.84€.

Ex Um estudante, quando terminar o curso, vai receber de umas tias um prémio de 10000€. Supondo que pensa terminar o curso daqui a 30 anos e que a sua taxa de desconto é de 5% ao ano, qual será o seu valor actual?

Posso “vender” este activo e receber no presente € (a outra pessoa que tenha 5% como taxa de desconto).

Ex Um indivíduo depositou num banco em 1940 uma soma. Sendo que esse banco devolveu 1milhão€ em 2008, qual terá sido a soma depositada?

R. Descontando 1milhão€ para 1940, temos = €.

Pagamento da dívida Rendas

Rendas Já consideramos duas possibilidades para o pagamento da dívida.
1) Os juros são pagos periodicamente e o capital é pago no fim do prazo contrato. 2) O capital mais os juros são pagos no fim do prazo contrato.

Rendas Agora explorar uma outra possibilidade:
É paga uma prestação em cada período No final do prazo não há mais nada a pagar Cada prestação contêm juros e amortização do capital Denominamos este plano como uma Renda

Rendas Uma renda transforma uma determinada soma de dinheiro num rendimento. Um stock num fluxo

Rendas O Jardel, aos 26 anos de idade, ganhava 300mil€ por mês.
Poderia ter constituído um depósito de 1.5 milhões de euros e Receber, a partir dos 35 anos, 600 prestações mensais de 10000€ cada.

Rendas As prestações podem ser regulares ou irregulares no tempo
constantes ou variáveis no valor haver ou não diferimento de alguns períodos terem duração limitada ou serem perpétua

Rendas Emprestamos um capital que recuperamos na forma de uma renda (e.g., saiu-nos a lotaria); Pedimos um capital que pagamos na forma de uma renda (e.g., um crédito à habitação); Pagamos uma renda que recebemos no final na forma de um capital (e.g., para comprar um barco a pronto);

Rendas Recebemos uma renda que pagamos no fim na forma de um capital (e.g., para podermos viver à custa de uma herança que vamos receber no futuro); Receber uma renda que pagamos na forma de renda (e.g., para financiar os estudos).

Rendas Obtemos o valor actual da renda descontando todos os recebimentos ao instante de tempo presente. Podemos usar outro instante de tempo qualquer. Tem é que ser o mesmo para todas as prestações.

Rendas Ex Determine, na aplicação financeira do Jardel, qual a taxa de juro implícita. É de 4.857% ao ano.

Rendas

Rendas Na coluna A estão os meses de vida, na B as quantias entregues, na C as quantias descontadas ao presente C2: =B2/(1+$E$1)^(A2-312) e copiava em coluna C710: =Soma(C2:C709) Uso a ferramenta “atingir objectivo” definindo C710 para 0 por alteração de E1.

Rendas Ex Uma família adquiriu uma habitação mediante um empréstimo bancário de 150mil€ à taxa de juro de 5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação mensal a pagar? 720.29€ / mês

Rendas

Rendas Na coluna A estão os meses, na B as quantias recebidas, na C as quantias descontadas ao presente B2: =E$3; C2: =B2/(1+$E$1)^A2 e depois copiamos ambas em coluna. C603: =Soma(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1. Usava a ferramenta “atingir objectivo” definindo C603 para 0 por alteração de E3.

Renda perpétua Numa renda perpétua, recebe-se uma prestação para sempre. Tem mais interesse teórico apesar de poder existir Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim de cada período (i.e., postecipada), é uma situação idêntica a um depósito em que no fim de cada período, são pagos apenas os juros

Renda perpétua Como os juros de cada período valeriam J = V.i
Podemos determinar o valor da renda (ou da taxa de juro implícita) (P=prestação, i=tx.juro, V=valor da renda):

Renda perpétua Ex Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês para sempre. Supondo uma taxa de juro de 5% ao ano, qual será o valor presente do terreno?

Renda perpétua V = 50 / 0.407% = €

Renda perpétua Se a renda for antecipada (a prestação é paga no princípio do período), teremos que somar uma parcela

Renda perpétua Se houver deferimento de n períodos (tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada

Renda de duração limitada
Com o conhecimento da expressão da renda perpétua Podemos calcular o valor de uma renda de duração limitada Compondo duas rendas perpétuas.

Recebemos a prestação R entre o presente e o período N (postecipada). Para a taxa de juro i, determine o valor desta renda.

É equivalente a receber uma renda perpétua a começar agora e pagar uma renda perpétua a começar no período N, Descontamos tudo ao presente.

Se a renda for paga no princípio do período (i.e., antecipada)? Teremos que somar uma parcela.

Ex Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês, pago no fim do mês, até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de juro anual de 5%, qual será o valor presente do terreno?

Já não preciso do Excel V = 50/0.407% x (1 – –300) = € x = € Mas podemos usá-lo para verificar

C2: =B2*(1+$D$2)^-A2

Ex o Figo, entre os 25 e os 35 anos, depositou 100mil€/mês (i.e., 120 prestações). Com essa poupança vai receber uma renda de valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600 prestações). Para uma taxa de juro anual de 4%, quanto vai receber por mês?

Vamos usar como instante de referência os 25 anos (acabados de fazer) Vamos somar Duas rendas de duração limitada Ou quadro rendas perpétuas Nota: Sem perda, vou usar anos para descontar e meses para a renda

Obrigações a taxa fixa Uma obrigação de taxa fixa consiste num activo que condensa uma entrega inicial e um recebimento futuro. O valor da obrigação é o valor actual do recebimento futuro Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr de mercado

Obrigações a taxa fixa Ex Uma obrigação a 10 anos de valor nominal de 100€ reembolsável ao par (i.e., serão pagos 100€ daqui a 10 anos) vai ser vendida em leilão. Para uma remunerado a uma taxa média de 7.5%/ano, qual o preço máximo que o investidor está disponível a pagar?

Obrigações a taxa fixa Vamos descontar os 100€ ao presente:

Obrigações a taxa fixa Passados 5 anos, qual será o valor da obrigação? Se o mercado justificar um aumento da taxa de juro em um ponto percentual, qual a desvalorização da obrigação?

Obrigações a taxa fixa Já só faltam 5 anos para receber os 100€
O aumento da taxa de juro desvaloriza a obrigação em 4.5%

Obrigações a taxa fixa Se o investidor adquiriu a obrigação a 45€, qual a taxa de juro que pensava receber? E qual será se vender a obrigação depois da desvalorização?

Obrigações a taxa fixa A taxa de juro prevista era E passou a ser

TAEG implícita no contrato
TAEG – Taxa anual efectiva global –Taxa anual equivalente global Actualmente, é obrigatório que nos anúncios (de venda a crédito) seja afixado o preço a pronto pagamento e a taxa de juro implícita (efectiva) calculada com todas as despesas a incorrer pelo cliente

Um televisor (ppp de 1190€), a crédito “paga na entrega 119€ mais 12 prestações trimestrais de 100€. Tem que pagar no fim do primeiro ano mais 50€”. Determine a TAEG deste contrato de crédito.

Podemos indicar algebricamente o resultado Mas o mais fácil é determina-lo no Excel

Se a EURIBOR for de 5.5%/ano, qual é a probabilidade de incumprimento implícita neste contrato de crédito?

Ex Um anúncio dizia “Telefone que lhe emprestamos 5000€ por apenas 150€ mensais (durante 60 meses, TAEG=29.28%)”. Confirme a TAEG.

Tem que se determinar no Excel

Preços correntes e constantes

A inflação (i.e., a subida generalizada dos preços dos bens e serviços) não tem efeito na afectação dos recursos escassos. Apenas a alteração dos preços relativos tem efeito.

O aumento dos preços é calculado para um cabaz de bens e serviços, sendo um valor médio (pesos de 2005). B6: =B2*$G$2+B3*$G$3+B4*$G$4+B5*$G$5

Nesse sentido, calcula-se quanto o cabaz custava então e compara-se com quanto custa agora. Esse preço é normalizado a no ano base valer 100 (ou 1 ou 1000). B7: =B6/$B$6*100 151

Denomina-se por Índice de Preços no Consumo, havendo outros índices de preços E.g., na produção 152

Os preços dos bens ou serviços observados no dia a dia denominam-se de “preços correntes” (ou “preços nominais”) e variam ao longo do tempo. E.g., há um ano a gasolina custava cerca de 1.50€ e agora custa cerca de 1.10€.

Os preços corrigidos da inflação denominam-se de “preços constantes” ou “preços reais”.

Para transformar preços correntes em preços reais utilizamos o índice de preços. Se precisarmos de transformar os preços correntes do período J, PJ, em preços reais com base no ano T, PJT, teremos que multiplicar o preço corrente pelo índice de preços do período T, IPT, e dividir pelo índice de preços do período J, IPJ, (não interessa qual o ano base do IP): 155

Ex O salário mínimo em 1974 era de 16,46€ e em 2009 é de 450,00€. IPC era em 1974 (2000 como ano base) e é 125,16 em 2009 (mesmo ano base). compare, em termos reais (de 2000), o poder aquisitivos do SM nesses dois anos e a taxa de variação anual em termos nominais e reais. R. Relativamente a 2009, os 16.46€ de 1974 valem SM = = 411,19€ que é maior que SM = 450€*100/125,16=359.54€ pelo que o SM diminuiu (em termos reais). 156

Se quiséssemos comparar em termos de preços reais do ano 2009 fazíamos os 16.46€ de 1974 valem a preços de 2009 SM = = 514,65€ que é maior que os 450€ de 2009 valem a preços de 2009 SM = 450€*125,16/125,16 = 450€ 157

R. Relativamente à taxa de variação, no espaço de 35 anos, em termos nominais o SM aumentou 2634% (9,91%/ano) mas, em termos reais, diminuiu 12.5% (uma média de -0,38%/ano). Tem na folha de excel a resolução 158

B4: =B3*100/B2 e copiava em linha D2: =C2/B2-1 e copiava em coluna E2: =(C2/B2)^(1/35)-1 e copiava em linha E5: =(1+E3)/(1+E2)-1 159

A taxa de inflação é com base o IPC que é calculado pelo INE, com periodicidade mensal. Taxa de inflação homóloga – compara o IPC do mês corrente com o IPC do mês igual do ano anterior. Taxa de inflação média – é a média das 12 taxas de inflação homóloga. Taxa de inflação acumulada – é a variação percentual do IPC desde o principio do ano. 160

Se, por exemplo, em Março de 2005 o IPC valia e em Março 2006 passou a valer 131.4, então a taxa de inflação homóloga de Março entre estes dois anos foi de 131.4/128.7 – 1 = 2.1%. 161

Interessará retirar a inflação da análise de equivalência das somas de valores dinheiro obtidas em instantes de tempo diferentes. E.g., precisamos saber se a renda de 60mil€ mensais dará ou não para comprar alguma coisa quando o Figo tiver 85 anos. 162

Taxa de inflação Como a taxa de inflação é calculada com o índice de preços, podemos utilizá-la na transformação de preços correntes em preços reais Ou mesmo refazer o IPC

Taxa de inflação Sendo IPT e, IPT+1
os índice de preços no início do período T e T+1, respectivamente Também calculamos a taxa de inflação durante o período T, T , por:

Taxa de inflação Se, por exemplo, em 2005 o IPC valia e em 2006 valia 131.4, então a taxa de inflação em 2005 foi de 131.4/128.7 – 1 = 2.1%.

Se o preço corrente de um bem em 2006 foi de 150€, podemos saber a quanto correspondia em 2005 em termos reais (constantes) descontando este preço com a taxa de inflação O preço do bem, a preços de 2005, seria

O preço de um bem era p2005 = 1.25€ e passou para p2006 = 1.30€. Sendo que em 2005 a inflação foi de 2.1%, em termos reais, será que o preço deste bem aumentou (em termos reais)?

O preço, em termos reais, aumentou 1.86%:

Para transformar preços correntes do período T+n em preços constantes em referência ao período T, sabida a taxa de inflação para cada um dos n–1 períodos, temos:

Como a taxa de inflação é calculada “em cadeia”, a partir do Índice de Preços: Memorizar que se o IPC aumenta, o preço real diminui.

Salário Mínimo Nacional A preços correntes e constantes

Salário Mínimo Nacional A preços correntes e constantes
E3: =C4*$B$4/B4; F3: =D4*$B$36/B4 E copiava ambas as expressões em coluna

Ex No exercício 1.17, vimos que o planeamento da reforma do Figo se traduz numa prestação mensal a preços correntes de 60mil€ até aos 85 anos. Prevendo-se uma taxa de inflação de 2% ano, i) Determine a preços constantes de agora, qual será o valor desse prestação (faltam 50 anos).

Vamos descontar 60026€ ao presente com a taxa de inflação de 2%/ano como taxa de desconto: Em termos reais, corresponde a apenas 37% da primeira prestação.

Ex ii) Supondo as mesmas entregas, determine um plano de reforma que mantenha o poder aquisitivo (igual em termos reais).

Posso fazer a análise a “preços correntes” aumentando as prestações na taxa de inflação prevista Ou a “preços constantes” retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal Este “nominal” não é o mesmo conceito de quando falamos de capitalização

Fazemos a análise a preços reais retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal. A taxa de juro real mensal é %= ((1+3%)/(1+2%))^(1/12)-1.

A “preços correntes”, uso o Excel:

B3: =$E$1*(1+$E$4)^A3; C3: =B3*(1+$E$5)^-A3 e depois copiamos em coluna; C603: =Soma(C2:C602) e usamos a ferramenta “Atingir objectivo”, definir a célula C603 para o valor 0 por alteração da célula E1

Eu ter retirado a taxa de inflação à taxa de juro nominal (“preços constantes”) deu o mesmo resultado

Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
Com o acesso a fontes diferentes de informação e com o decorrer do tempo, as séries de preços mudam de base. Nessa alturas, o índice sofre uma quebra porque salta do valor do antigo tramo da série para 100 e são alterados os pesos relativos dos grupos agregados no índice (a representatividade de cada grupo no índice).

Quando é preciso utilizar o número índice ao longo de todos os períodos, torna-se necessário compatibilizar os vários tramos da série à mesma base. A redução não é uma mudança para a mesma base porque não se tem em consideração que existem alterações dos ponderadores mas permite fazer uma transição suave entre os vários tramos da série. 182

No sentido de tornar possível a compatibilização dos tramos, estes sobrepõem-se (pelo menos) durante um período. Temos que usar os períodos de sobreposição para calcular o valor do “salto” em termos relativo entre as séries e reduzi-lo a zero. Vejamos um exemplo de uma mudança de base. 183

184

Ex A série do IPC do banco mundial WB2008 (base o ano 2000) vale 4.00 para 1974 e vale para 2002, e a série do INE (base o ano 2002) vale para 2009 (media até abril), compare, em termos reais, o salário mínimo de 1974 (16.46€/mês) com o SM actual (450.00€/mês). 185

R. Há uma salto em 2002 entre as séries pelo que o valor da série do INE compatibilizado ao da série do Banco Mundial será 108.10/100 = O valor a preços de 2009 dos 16.46€/mês será 16.46125.60/4.00 = €/mês. 186

Análise de investimentos

um investimento é uma entrega de recursos em períodos mais próximos do presente que permite ter recebimentos mais afastados para o futuro

Teremos uma contabilização das entregas e dos recebimentos com referência a um mesmo instante de tempo. Será necessário capitalizar uns valores e descontar outros

Sendo que a análise é financeira, interessa saber as entregas e os recebimentos em dinheiro (i.e., saber o cash flow)

Valor actual líquido No Valor Actual
Agregar todas as parcelas ao instante presente, descontadas ao presente É Liquido porque se amortiza o Capital

Valor actual líquido Apesar de não haver um horizonte temporal de encerramento O risco aconselha a usarmos um horizonte temporal limitado. 5 anos 10 anos 25 anos 50 anos

Valor actual líquido Ex Sobre um investimento são previstas as seguintes entregas e recebimentos (mil €): i) Somando as entregas e os recebimentos qual o saldo do investimento?

Valor actual líquido O saldo seria 175 mil€
ii) Determine, para uma taxa de remuneração do capital de 10%, qual será o Valor Actual Líquido deste investimento

Valor actual líquido O VAL seria de apenas 2921€
B5: =B4-B3; B6: =B5*(1+$B$1)^-B2 e depois copiar em linha; B7: =Soma(B6:L6).

Valor actual líquido A taxa de juro usada é elevada porque
os recebimentos são incertos as entregas são certas A taxa de juro contém o risco do negócio o VAL do investimento é comparável a um activo sem risco (e.g., depósito a prazo). Para investimentos diferente, a taxa de juro será diferente.

Taxa interna de rentabilidade
Quantifica a taxa que torna o VAL igual a zero. Estando o modelo implementado no Excel, determina-se a TIR facilmente com a ferramenta “Atingir objectivo”.

Taxa interna de rentabilidade

Exercício de recapitulação

Exercício -1 Suponha que empresto 1000€.
A inflação (prevista) é de 2.5% / ano O juro real (acordado) é de 2.0% / ano O risco de não cobrança é de 7.0% / ano i) Quanto devo pedir de taxa de juro?

Exercício -1 A taxa de juro seria de10.41%:
i = ( ) x ( ) / (1 – 0.07) i =11.869% ii) Se acordar receber os 1000€ em 12 prestações trimestrais caindo a primeira depois de decorridos 2 anos do empréstimo, de quanto deve ser a prestação?

Exercício -1 A renda é antecipada E começa daqui a dois anos
A taxa de juro trimestral é ( ) = %

Exercício -1

Exercício -2 Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 4% / ano. A meio do prazo, recebo 5 M€. Qual o capital final que vou receber?

Exercício -2 O capital final a receber será de
25000.(1 + 4%) (1 + 4%)2.5 = = 24901,22€. [25000.(1 + 4%) ] .(1 + 4%)2.5 =

Exercício -3 Vou receber 1000€ daqui a 10 anos. Para uma taxa de juro de 4€/ano, qual o valor actual dessa soma?

Exercício -3 R. O valor dos 1000€ no presente resolve:

Exercício -4 Um indivíduo deposita, durante 40 anos, 100€/mês para receber uma reforma mensal durante 15 anos. Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano e a inflação de 2.5%, determine o valor da reforma a preços correntes e a preços constantes de agora.

Exercício -4 Vou somar quatro rendas perpétuas ou duas de duração limitada:

Exercício -4 A preços correntes, i = 0,374%/mês R = 854.67€ /mês
A preços reais, i = [(1+4%)/(1+2.5%)]1/12 -1 i = 0,0125%/mês R = €/mês

Exercício -5 Num investimento de 1000€ prevê-se que as vendas aumentem 25% ao ano e que o custo das vendas sejam 60%. As amortizações são constantes a 5 anos Calcule o VAL e a TIR

Exercício -5

Exercício -5 D6: =C6*(1+$B$1) C7: =C6*$B$2 C8: =C6-C7 C9: =$B$3/5
B15: =SOMA(B14:G14)

Exercício -5 Aplico agora o modelo para determinar a TIR

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