Fatorial de um número natural

Apresentação em tema: "Fatorial de um número natural"— Transcrição da apresentação:

1 Fatorial de um número natural
Prof. Jorge

2 Fatorial Se n é um número natural (n ≥ 2), o produto de todos os naturais de n até 1, é chamado de fatorial de n (símbolo: n!). 3! = = 6 6! = = 720 Em geral n! = n(n – 1)(n – 2) Prof. Jorge

3 Fatorial - Observação Num produto, devemos ter pelo menos dois fatores. Por isso, a definição só é válida para n ≥ 2. Os fatorias de 1 e de 0 são definidos assim: 1! = 1 e 0! = 1 Prof. Jorge

4 Propriedade do fatorial
O fatorial de um número natural é igual ao produto deste pelo fatorial do seu antecessor. 6! = = 6.5! 10! = = ! 15! = 15.14! = ! = ! = ... Em geral n! = n(n – 1)! = n(n – 1)(n – 2)! = ... Prof. Jorge

5 Exemplos A propriedade anterior é útil na simplificação do cálculo de expressões que envolvem o fatorial. 15! ! = = = 210 13! 13! 10! + 8! 10.9.8! + 8! 8!( ) = = = 81 8! 8! 8! Prof. Jorge

6 Exemplos n! Resolver a equação = 30 (n – 2)!
O fatorial só é definido para n – 2 ≥ 0 ⇒ n ≥ 2 n! n(n – 1)(n – 2)! = 30 ⇒ = 30 (n – 2)! (n – 2)! ⇒ n(n – 1) = 30 ⇒ n = 6 Prof. Jorge

7 O fatorial e o cálculo combinatório
Prof. Jorge

8 O fatorial e o cálculo combinatório
No cálculo do total de permutações simples, arranjos simples e combinações simples, podemos usar o fatorial. P5 = = 5! P8 = = 8! Em geral Pn = n! Prof. Jorge

9 O fatorial e o cálculo combinatório
6.5.4! 6! 6! A6, 2 = 6.5 = = = 4! 4! (6 – 2)! ! 9! 9! A9, 3 = 9.8.7 = = = 6! 6! (9 – 3)! Em geral n! An, p = (n – p)! Prof. Jorge

10 O fatorial e o cálculo combinatório
An, p n! 1 Cn, p = = . Pp (n – p)! p! n! Cn, p = p!(n – p)! Prof. Jorge

11 Exemplos Resolver a equação A6, p = A5, p+1 6! 5! = (6 – p)! (4 – p)!
⇒ 5!.(6 – p)(5 – p)(4 – p)! = 6.5!.(4 – p)! ⇒ (6 – p)(5 – p) = 6 ⇒ 6 – p = 3 e 5 – p = 2 ⇒ p = 3 Prof. Jorge

12 Permutações com elementos repetidos
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13 Permutações com repetição
Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra AMO? P3 = 3! = 6 AMO AOM MAO MOA OAM OMA Prof. Jorge

14 Permutações com repetição
Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra AMA? 3! 6 P32 = = = 3 2! 2 AMA AAM MAA Prof. Jorge

15 Permutações com repetição
Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra AMADA? 5! 120 P53 = = = 20 3! 6 AAADM AAAMD AADAM AAAMD AADMA AAMDA ADAAM AMAAD ADAMA AMADA ADMAA AMDAA DAAAM MAAAD DAAMA MAADA DAMAA MADAA DMAAA MDAAA Prof. Jorge

16 Permutações com repetição
Vamos analisar o que ocorre com o número de anagramas de uma palavra, quando ela tem letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra ARARA? 5! 120 P52,3 = = = 10 2!3! 2.6 AAARR AARAR AARRA ARAAR ARARA ARRAA RAAAR RAARA RARAA RRAAA Prof. Jorge

17 Permutações com repetição
De maneira geral, o total de permutações de n elementos, se um deles aparece a vezes, outro b vezes, outro c vezes, ... é n! Pna, b, c,... = a!b!c!... Prof. Jorge

18 Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA.
Qual é o total de anagramas? Quantos começam por vogal? Prof. Jorge

19 Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA.
Qual é o total de anagramas? 8! ! P83, 2, 1, 1, 1 = = = 3 360 3!.2! 2.3! Prof. Jorge

20 Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA.
b) Quantos começam por vogal? Começando por E E 7! ! P73, 2, 1, 1 = = = 420 3!.2! 2.3! Prof. Jorge

21 Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA.
b) Quantos começam por vogal? Começando por A A 7! P72, 2, 1, 1 = = = 1 260 2!.2! 4 Prof. Jorge

22 Exemplos Considere todos os anagramas da palavra PARALELA.
b) Quantos começam por vogal? Começando por E = Começando por A = 1 260 Total = 1 680 Prof. Jorge

23 Exemplos A figura mostra uma superfície azulejada. Uma formiga sai do ponto A e quer chegar ao ponto B, onde há um grão de açúcar. Ela só anda sobre os sulcos entre os azulejos, mas pretende percorrer o menor caminho possível. Quantos trajetos diferente a formiga pode utilizar? B DCDCDCDCDCDD 12! P127, 5 = 7!.5! P127, 5 = 792 A Prof. Jorge

24 Números combinatórios Coeficientes binomiais
Números Binomiais Números combinatórios Coeficientes binomiais Prof. Jorge

25 Números binomiais O número de combinação simples de n elementos tomados p a p (Cn,p) também pode ser representado pelo símbolo: n Cn,p = (número combinatório de n sobre p) p Chamamos n de numerador e p de denominador. É claro que n e p devem ser naturais, com n ≥ p. Prof. Jorge

26 Exemplos 6 A6,2 6.5 . = C6,2 = = = 15 2 2! 2.1 8 A8,3 8.7.6 . = C8,3 = = = 56 3 3! 3.2.1 Prof. Jorge

27 Exemplos 9 9! 9! 9! . = C9,0 = = = = 1 0!(9 – 0)! 0!.9! 9! 5 A5, 1 5 . = = = 5 1 1! 1 7 A7,7 7! . = = = 1 7 7! 7! Prof. Jorge

28 Observação Em geral, de acordo com os 3 exemplos anteriores constatamos que: n n n = 1 = n = 1 1 n n e p são números naturais. Prof. Jorge

29 Triângulo de Pascal Blaise Pascal, conhecido simplismente como Pascal, foi um grande gênio do século XVII. Em sua vida curta, fez descobertas notáveis, principalmente na área de Matemática e Física. Em 1653, ele publicou um de seus escritos mais famosos. Nele, Pascal fazia considerações sobre um triângulo numérico muito especial, cheio de relações matemáticas importantes. Os números que formam o triângulo de Pascal são os números combinatórios. Prof. Jorge

30 Triângulo de Pascal p 1 2 3 4 5 ... n 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 3 3 1 3 1 3 3 2 3 3 1 4 4 1 4 4 1 4 2 6 4 3 4 4 1 5 ... 5 1 5 1 5 10 5 2 10 5 3 5 4 5 5 1 Prof. Jorge

31 Propriedades dos números binomiais
Prof. Jorge

32 Propriedades Dois números combinatórios de mesmo numerador são iguais, se e somente se: p = q → idênticos n n = ⇔ ou p q p + q = n → complementares Prof. Jorge

33 Propriedades Somando-se dois números consecutivos de uma linha do triângulo de Pascal encontra-se o resultado na linha seguinte abaixo do segundo número somado. n n n + 1 + = p p + 1 p + 1 Relação de Stifel. Prof. Jorge

34 Exemplos Um grupo tem 8 pessoas. Entre elas, o indivíduo A. Deseja-se formar, a partir desse grupo, uma comissão de 5 pessoas. Quantas são as formas de a comissão ser formada? Em quantas delas aparece o indivíduo A? Em quantas delas não aparece o indivíduo A? Que relação existe entre os resultados dos três itens anteriores? C8,5 = 56 C7,4 = 35 C7,5 = 21 7 7 8 C7,4 + C7,5 = C8,5 ⇒ + = 4 5 5 Prof. Jorge

35 Exemplos A partir da relação de stifel, resolva as equações. 8 8 9 a)
+ = ⇒ P = 5 ou p =4. 4 5 p 15 15 16 b) + = 6 8 p – 2 ⇒ p – 2 = 7 ou p – 2 = 9 ⇒ p = 9 ou p = 11. Prof. Jorge

36 Exemplos A partir da relação de stifel, resolva as equações. 7 7 8 9
c) + + = 3 4 5 p ⇒ p = 5 ou p =4. Prof. Jorge

37 Exemplos Calcule a soma dos elementos de cada linha do triângulo de Pascal. O que você observa? Qual será a soma dos elementos da linha n = 8? E da linha n = 10? Genarilize quanto vale Resolva a equação É uma potência de base 2 e expoente n. 28 = 256 e 210 = 1024. n n n + = 2n 1 n n n n n + + = 512 1 2 n 2n = 512 ⇒ n = 9 Prof. Jorge