Estudo dos Poliedros Prof. Jorge.

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1 Estudo dos Poliedros Prof. Jorge

2 Enchendo a piscina A piscina de um clube de minha cidade, vista de cima, tem formato retangular. O comprimento dela é de 18 m. o fundo é uma rampa reta. Vista lateralmente, ela tem o formato apresentado na figura. 18 m x Outro dia, a piscina estava vazia. O funcionário do clube abriu o registro e começou a enchê-la. A água jorrava a uma vazão de 4 litros por segundo. Prof. Jorge

3 Enchendo a piscina O gráfico a seguir mostra o nível x da água, em metros, na parte mais funda, em função do volume V de água despejada, em litros. Qual é a profundidade da piscina na parte mais rasa? x (m) 1,8 E na parte mais funda? Qual é a capacidade da piscina, em litros? 0,8 Em quanto tempo a piscina ficará cheia? 43.200 C V ( L) Prof. Jorge

4 Poliedro: uma forma muito especial
Determinados sólidos tem uma forma muito particular. Observe os sólidos representados a seguir. B C D A E F M N Q P Prof. Jorge

5 Definição Os sólidos apresentados têm algumas característica comuns:
São limitados por polígonos; Cada lado desses polígonos pertence a exatamente a dois dos polígonos; Dois desses polígonos nunca são coplanares. Todo sólido que obedece a essas condições é chamado de poliedro. Prof. Jorge

6 Elementos de um poliedro
Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. Face de poliedro é cada um dos polígonos que o delimitam. Prof. Jorge

7 Elementos de um poliedro
Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. Aresta de poliedro é cada um dos lados das faces. É cada “quina” do poliedro. Prof. Jorge

8 Elementos de um poliedro
Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. B C D A F G E H Vértice de poliedro é cada um dos vértices das faces. É cada “ponta” do poliedro. Prof. Jorge

9 Elementos de um poliedro
Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. O conjunto de todas as faces de um poliedro é chamado Superfície poliédrica. É a parte externa, visível. É a “casca” do poliedro. Prof. Jorge

10 Poliedro convexo e poliedro côncavo
Observe os sólidos representados abaixo. B C D A E F Todo plano que contém qualquer de suas faces deixa todas as outras num mesmo semi-espaço. Dizemos, por isso, que eles são poliedros convexos. Prof. Jorge

11 Poliedro convexo e poliedro côncavo
Observe agora o sólido representado abaixo. M N Q P O plano que contém a face MNPQ, por exemplo, deixa as faces do poliedro em semi-espaços diferentes. Dizemos, por isso, que ele é um poliedro côncavo. Prof. Jorge

12 Classificação dos poliedros
Os poliedros recebem nomes especiais, de acordo com o numero n de suas faces (F). F Poliedro F Poliedro 4 tetraedro 9 eneaedro 5 pentaedro 10 decaedro 6 hexaedro 12 dodecaedro 7 heptaedro 20 icosaedro 8 octaedro Prof. Jorge

13 Veja alguns desses poliedros
Hexaedro (P1) Octaedro (P2) Eneaedro (P3) Heptaedro (P4) Prof. Jorge

14 Relação de Euler Existe uma relação muito importante entre o número de faces (F), vértices (V) e arestas (A) de um poliedro convexo. Poliedro V F A P1 8 6 12 P2 6 8 12 P3 9 9 16 P4 10 7 15 V + F – A = 2 Prof. Jorge

15 Exemplos Um poliedro convexo tem 6 vértices e 12 arestas. Quantas faces tem? V + F – A = 2 ⇒ F – 12 = 2 ⇒ F – 6 = 2 ⇒ F = 8 Prof. Jorge

16 Exemplos Um poliedro convexo tem 9 faces, sendo 7 quadran-gulares e 2 triangulares. Quantos são seus vértices? Primeiro vamos achar o número de arestas. 7 quadrang. ⇒ A = 7.4 = 28 9 Faces ⇒ 2 triang. ⇒ A = 2.3 = 6 ⇒ 2A = 34 ⇒ A = 17 V + F – A = 2 ⇒ V + 9 – 17 = 2 ⇒ V – 8 = 2 ⇒ V = 10 Prof. Jorge

17 Poliedros regulares Poliedro regular é todo poliedro em que:
Todas as faces são polígonos regulares, congruentes entre si; De cada vértice, parte o mesmo número de arestas. Existem apenas cinco classes de poliedros regulares. Prof. Jorge

18 O prisma e suas formas Prof. Jorge

19 O prisma e suas formas Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de poliedro, mas apresentam algumas características comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro muito especial: o prisma. Prof. Jorge

20 Definição Observe a animação.
  O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma. Prof. Jorge

21 Elementos principais do prisma
B C D E F A’ B’ C’ D’ E’ F’ O prisma tem dois tipos de faces bases (polígonos congruentes). faces laterais (paralelogramos). Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas bases do prisma. Prof. Jorge

22 Elementos principais do prisma
B C D E F A’ B’ C’ D’ E’ F’ O prisma tem dois tipos de arestas arestas das bases (AB, A’B’, ..., FA, F’A’). arestas laterais (AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ). Prof. Jorge

23 Elementos principais do prisma
B C D E F A’ B’ C’ D’ E’ F’ h A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima. Prof. Jorge

24 Classificação dos prismas
Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que constitui suas bases. Polígonos das bases Prisma triângulo P. triangular quadrado P. quadrangular pentágono P. pentagonal hexágono P. hexagonal Prof. Jorge

25 Veja alguns desses prismas
Prisma triangular Prisma Pentagonal Prof. Jorge

26 Classificação dos prismas
Um prisma pode ser classificado, também, pela posição das arestas laterais em relação ao plano da base. Dizemos que ele é: prisma reto, se as arestas laterais são perpendicu-lares aos planos das bases; prisma oblíquo, se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. Nos prismas retos, as arestas laterais são alturas e as faces laterais são retângulos. Prof. Jorge

27 Classificação dos prismas
h h Prisma triangular reto Prisma Pentagonal oblíquo Prof. Jorge

28 Prisma regular Todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares é chamado de prisma regular. A B C O prisma é reto e ABC é triângulo eqüilátero O prisma é reto e a Base é hexágono regular ⇒ ⇒ Prisma triangular regular Prisma hexagonal regular Prof. Jorge

29 Prisma quadrangulares
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30 Prismas quadrangulares
Todo prisma cujas bases são paralelogramos é chamado paralelepípedo. Paralelepípedo Prof. Jorge

31 Prismas quadrangulares
Se as bases de um paralelepípedo reto são retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo. Paralelepípedo retângulo ou ortoedro Prof. Jorge

32 Prismas quadrangulares
Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular. Cubo ou hexaedro regular Prof. Jorge

33 Estudo do cubo Prof. Jorge

34 a → medida de cada uma das arestas
Estudo do cubo O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base. a → medida de cada uma das arestas a a a Prof. Jorge

35 Diagonais no cubo Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.
a → medida de cada uma das arestas D d → diagonal da face d D → diagonal do cubo Prof. Jorge

36 Diagonais no cubo Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta. a d D d2 = a2 + a2 ⇒ d = 2a2 ⇒ d = a√2 a Prof. Jorge

37 Diagonais no cubo Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta. D2 = a2 + d2 D a ⇒ D = a2 + 2a2 a ⇒ D = 3a2 d a ⇒ D = a√3 a Prof. Jorge

38 Área da superfície total do cubo
Planificando a superfície total de um cubo de aresta a, obtemos a figura. a a a a a AT = 6a2 Prof. Jorge

39 Exemplo A área da superfície total de um cubo é 54 cm2. Obter a medida da diagonal da face e da diagonal do cubo? AT = 6a2 ⇒ 6a2 = 54 ⇒ a2 = 9 ⇒ a = 3 d = a√2 ⇒ d = 3√2 D = a√3 ⇒ D = 3√3 Prof. Jorge

40 O cubo como unidade de volume
Se considerarmos a medida da aresta de um cubo como unidade de medida de comprimento, a medida do volume desse cubo é a unidade de volume. 1 u 1 u V = 1 u3 1 u 1 u Definida a unidade de comprimento, a unidade de volume fica automaticamente definida. Prof. Jorge

41 O cubo como unidade de volume
Se considerarmos a medida da aresta de um cubo como unidade de medida de comprimento, a medida do volume desse cubo é a unidade de volume. 1 u 1 u V = 1 u3 1 u 1 u Se a unidade de comprimento é 1 m, a unidade de volume é 1 m3. Se a unidade de comprimento é 1 dm, a unidade de volume é 1 dm3. Prof. Jorge

42 Volume O volume de um sólido qualquer, numa certa unidade, é um número que indica quantas vezes o cubo de volume unitário “cabe” naquele sólido. Considerando o cubo da primeira figura como unidade de medida. Seu volume é 1 u3. qual o volume dos sólidos abaixo? V = 1 u3 V = 9 u3 V = 11 u3 Prof. Jorge

43 Volume do cubo Analise as três figuras a seguir.
a = 1 u V = 1 u3 a = 2 u a = 3 u V = 23 = 8 u3 V = 33 = 27 u3 De uma maneira geral, o volume de um cubo cuja aresta mede a é V = a3 Prof. Jorge

44 Exemplo Uma diagonal de um cubo mede 6 m. Calcular a área da superfície total e o volume desse cubo? 6 D = a√3 ⇒ a√3 = 6 ⇒ a = ⇒ a = 2√3 m √3 AT = 6a2 ⇒ AT = 6.(2√3)2 ⇒ AT = 72 m2 V = a3 ⇒ V = (2√3)3 ⇒ V = 24√3 m3 Prof. Jorge

45 Estudo do Paralelepípedo retângulo
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46 Estudo do paralelepípedo retângulo
O paralelepípedo retângulo é um prisma quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes. a, b e c → As dimensões do paralelepípedo. b c a Suas doze arestas são quatro a quatro congruen-tes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo. Prof. Jorge

47 Diagonal do paralelepípedo
Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face. D c d b a d → diagonal da face inferior D → diagonal do paralelepípedo Prof. Jorge

48 Cálculo da diagonal do paralelepípedo
Obtendo o valor de D em função das dimensões a, b e c do paralelepípedo. c D b d a d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2 D2 = a2 + b2 + c2 ⇒ D = √a2 + b2 + c2 Prof. Jorge

49 Exemplo O comprimento e a largura de um paralelepípedo medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13. Obter a medida de sua altura? D = √a2 + b2 + c2 ⇒ 13 = √ c2 ⇒ = c2 ⇒ c2 = 169 – 160 ⇒ c2 = 9 ⇒ c = 3 Prof. Jorge

50 Área da superfície total do paralelepípedo
Planificando a superfície total de um paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura. a ab b c bc ac bc b c ab a AT = 2ab + 2ac + 2bc ac AT = 2(ab + ac + bc) Prof. Jorge

51 Exemplo A área da superfície total de um paralelepípedo é 248 cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo? As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b = 3k e c = 5k. AT = 248 ⇒ 2(ab + ac + bc) = 248 :(2) ⇒ ab + ac + bc = 124 ⇒ 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124 ⇒ 6k2 + 10k2 + 15k2 = 124 ⇒ 31k2 = 124 ⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2 Prof. Jorge

52 Exemplo A área da superfície total de um paralelepípedo é 248 cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo? Logo a = 4, b = 6 e c = 10. D = √ D = √ D = √152 D = 2√38 Prof. Jorge

53 Volume do paralelepípedo retângulo
Analise as duas figuras a seguir. 4 u cubo unitário V = 1 u3 3 u 5 u V = = 60 u3 De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é dado por V = a.b.c Prof. Jorge

54 Observação Podemos interpretar o volume de um paralelepípedo retângulo de outra forma. Veja a figura a seguir. c A = ab b a V = abc = (ab)c = (área da base) . (altura relativa) V = AB.h Prof. Jorge

55 Exemplos Uma caixa d’água tem forma de paralelepípedo retângulo. Suas dimensões internas são 1,2 m, 2,5 m e 0,8 m. Obter sua capacidade, em litros? A capacidade de uma caixa é o volume de água que cabe nela. V = abc = 1,2 . 2,5 . 0,8 = 2,4 m3 Sabemos que 1 m3 = dm3 e que 1 L = 1 dm3. V = dm3 = L Prof. Jorge

56 Exemplos Uma das dimensões de um paralelepípedo é aumentada em 20%; outra, aumentada em 30%; a terceira em 10%. O que ocorre com o volume do paralelepípedo? Suponhamos que as dimensões sejam x, y e z. Então, o volume original é V = xyz. Se x aumenta 20%, a nova dimensão passa para 1,2 x. Se y aumenta 30%, a nova dimensão passa para 1,3 y. Se z aumenta 10%, a nova dimensão passa para 1,1 z. V’ = 1,2x . 1,3 y . 1,1 z = 1,404.xyz = 1,404.V Concluímos que o volume aumenta 40,4%. Prof. Jorge

57 Estudo geral do prisma Prof. Jorge

58 Estudo geral do prisma Vamos aprender a calcular áreas e volumes em prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que As arestas laterais são alturas; As faces laterais são retângulos; A B C Prof. Jorge

59 Áreas no prisma No prisma as áreas.
Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos; Área da base (AB) – Área do polígono da base; Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases AT = AL + 2AB Prof. Jorge

60 Exemplo A figura a seguir mostra um prisma triangular reto, com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma. AL = AL = = 72 AB = (3.4)/2 = 6 6 4 3 AT = AL + 2.AB 5 AT = = 84 Prof. Jorge

61 Exemplo Num prisma hexagonal regular, a altura mede 8 m e a área de cada base é 24√3 m2. Achar sua área lateral. 3x2√3 A = 24√3 ⇒ = 24√3 2 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = 4 6 Af = b.h ⇒ Af = 4.6 = 24 AL = 6.Af ⇒ AL = 6.24 = 192 m2 x Prof. Jorge

62 Princípio de Cavalieri
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63 Princípio de Cavalieri
Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou contribuições importantes nas áreas de óptica e geometria. Prof. Jorge

64 Princípio de Cavalieri
Dados dois ou mais sólidos apoiados em um mesmo plano , se Todos têm a mesma altura; Todo plano  paralelo a  e que corte os sólidos determina, em todos eles, seções planas de mesma área; Então os sólidos têm o mesmo volume. Prof. Jorge

65 Princípio de Cavalieri
A figura abaixo ilustra o princípio de Cavalieri. Prof. Jorge

66 Volume do prisma Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o princípio de Cavalieri. V = AB.h Prof. Jorge

67 Exemplos As bases de um prisma oblíquo são retângulos cujos lados medem 5 cm e 4 cm. Suas arestas laterais medem 6 cm e formam, com o plano da base, ângulo de 60º. Achar o volume do prisma. 5 4 h 60º 6 Prof. Jorge

68 Exemplos O volume de um prisma hexagonal regular é igual a 486 cm3, e sua altura é igual ao apótema da base. Calcular sua área total. h L Prof. Jorge