Debmatematica@gmail.com (41) 3340 1714 Lucimar Donizete Gusmão Renata Cristina Lopes Equipe de Matemática DEB/SEED/PR debmatematica@gmail.com (41) 3340.

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1 debmatematica@gmail.com (41) 3340 1714
Lucimar Donizete Gusmão Renata Cristina Lopes Equipe de Matemática DEB/SEED/PR (41) 1 1

2 MINICURSO Folhas/Ensino Médio: Vivemos em um planeta semelhante a uma esfera!!! Conteúdo Estruturante: Geometrias Conteúdo Básico: Geometria Espacial Conteúdo específico: Esfera Relação interdisciplinar: Geografia 2 2

3 Seria possível definir qual o formato do nosso planeta Terra???
Se tivermos a curiosidade de observar melhor o nosso planeta, talvez tenhamos uma possibilidade de perceber o seu formato e ao que ele mais se assemelha. Desde a Grécia Antiga, no tempo de Pitágoras ( a.C.) começou-se a considerar que a forma do planeta Terra poderia ser esférica, por se assemelhar aos corpos celestes e mais perceptível aos olhos de quem os observa. 3 3

4 Nesse sentido, o Planeta Terra que é representado por um modelo, o “globo terrestre” poderia ser considerado então uma esfera? 4 4

5 Encaminhamentos... - Considerando o globo terrestre como um objeto de aprendizagem, levantar questões que façam os alunos refletirem sobre a representação do planeta Terra, por esse modelo, e expressarem as características que eles recordam sobre a esfera. 5 5

6 Observe o globo terrestre...
Quais características você percebe neste modelo??? Localize e caracterize o Equador??? 6 6

7 especialmente sobre o estudo da esfera, que possui como uma de suas
A “esfera” é um sólido geométrico estudado desde a antiguidade, como fez Arquimedes, filho de um astrônomo, que nasceu por volta de 287 a.C. e morreu por volta de 212 a.C. Arquimedes dedicou parte de seus estudos a geometria e especialmente sobre o estudo da esfera, que possui como uma de suas características, a forma arredondada, lhe permitindo rolar, e ser considerada desta forma um corpo redondo. 7 7

8 A intencionalidade da utilização do globo terrestre é para evidenciar que, historicamente, a humanidade sempre procurou esclarecer os mistérios do meio em que vive, seja pelas suas observações, pelas conjecturas que faz a partir dessas observações, formalizando conceitos e modelos matemáticos. 8 8

9 Observe a imagem... 9 9

10 Considerando que... Centro: é o ponto O;
Diâmetro: cordas que passam pelo ponto O; Raio: são segmentos de reta com um extremo em O (centro) e outro na superfície da esfera. Obs. Em uma superfície esférica, uma corda que não passa pelo ponto O, tem medida menor que o diâmetro. 10 10

11 Não devemos confundir ESFERA com SUPERFÍCIE ESFÉRICA...
- Um exemplo de Esfera ??? - E de Superfície Esférica ??? 11 11

12 Meridianos, Paralelos e Pólos
Considerando o modelo de globo terrestre que representa o planeta Terra, outros elementos estão presentes no estudo da esfera: Meridianos, Paralelos e Pólos – Termos utilizado pela disciplina de Geografia. Para a localização de um determinado ponto na superfície terrestre utilizamos as “coordenadas geográficas” achando o valor do Meridiano e Paralelo, que passa sobre o ponto, ou seja, sua Latitude e Longitude. 12 12

13 Convencionou-se a divisão da Terra em hemisférios – Norte/Sul, a partir da
Linha do Equador - Latitude e Leste/Oeste, a partir do Meridiano de Greenwich - Longitude. 13 13

14 Analisando... Utilizando o globo terrestre analise e responda...
a) Qual a variação da latitude terrestre, que é uma medida angular entre a Linha do Equador e qualquer ponto situado na superfície da Terra? b) Qual a variação angular entre o Meridiano de Greenwich e qualquer ponto na superfície terrestre? 14 14

15 Informações Adicionais:
Video: Informações Adicionais: Um jovem náufrago recorre a conceitos geométricos simples para determinar sua latitude e longitude e assim mandar o sinal de socorro. Este vídeo tem por objetivos: revisar o conceito de ângulos e suas subdivisões; revisar o conceito de retas paralelas e ângulos alternos internos; trabalhar a trigonometria do triângulo retângulo e; iniciar o conceito de inversas das funções trigonométricas. aser/singlefile.php?id=22599 15

16 Observe o Mapa do Estado do Paraná.
16 16

17 Observe o mapa De acordo com as coordenadas geográficas determinadas no mapa do Paraná, temos a localização de um ponto central que representa o município de Pitanga. Fazendo uma leitura do mapa e observando as coordenadas geográficas de Latitude/Longitude referente ao município de Pitanga, você saberia dizer como foram determinadas essas coordenadas? 17 17

18 Primeiramente devemos determinar no mapa uma “quadrícula” Observando o mapa temos a quadrícula formada pelos Paralelos de 22º e 28º e os Meridianos de 45º e 57º. Exemplo: Para calcular a Latitude é preciso considerar a diferença entre as Latitudes, que será correspondente à medida entre os dois Paralelos. AB = 28º - 22º = 6º 18 18

19 É preciso entender que na superfície terrestre, esta medida, corresponde a um arco de circunferência. 19 19

20 Se temos: L = comprimento do arco
α = a medida do ângulo central que determina o arco, que na situação apresentada mede 6º . R = medida do raio da esfera. Neste caso utilizamos a medida do raio do planeta Terra, que é aproximadamente km. 20 20

21 Lembrando que... De acordo com as relações entre as medidas em grau e radiano de arcos, vamos destacar uma regra de três capaz de converter as medidas dos arcos. Veja: 360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28) 180º → π radiano (aproximadamente 3,14) 90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57) 45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785) 21 21

22 considerar uma regra de três simples.
Precisamos determinar a medida do arco da circunferência. Para isso, basta considerar uma regra de três simples. 180º ↔ π R α ↔ x 22 22

23 No caso considerado, temos:
180º ↔ π 6378 6º ↔ xº X= ???? 23 23

24 Observando o mapa temos a Latitude para a localização 24° 41' 15''
Observando o mapa temos a Latitude para a localização 24° 41' 15''. A quadrícula na figura 6, se inicia com a Latitude de 22°. Para obtermos o valor do ângulo que determina a medida do arco AO , temos que considerar a diferença de Latitudes. Para a transformação das unidades em graus, utilizamos a base sexagesimal. Então...a diferença é de … 2,6875° 24 24

25 Logo a medida do arco será... 6º ↔ 667, 564 2,6875 ↔ x X = ????
6º ↔ , 564 2, ↔ x X = ???? Considerando que a medida do arco AB é aproximadamente 667,564 km e que a medida do arco AO é aproximadamente 299,013 km, podemos determinar a Latitude do município de Pitanga. 25 25

26 ATIVIDADE Agora você pode determinar pelo mesmo raciocínio a Longitude. Para saber mais: No município de Pitanga existe um marco Geodésico que representa o centro do Paraná. 26 26

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28 Um elemento importante de uma esfera são as circunferências máximas desse sólido geométrico.
Relembrando o conceito de circunferência, esta pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos pertencentes a um mesmo plano que equidistam de um ponto definido como o centro da circunferência. 28 28

29 Lugar geométrico??? Raio??? Circunferência??? p.9 29 29

30 Circunferências máximas de uma esfera - são circunferências que tem o mesmo centro de uma esfera e como medida de raio a mesma que a medida do raio da esfera. Círculo máximo: a região limitada pela circunferência máxima juntamente com a própria circunferência é chamada de círculo máximo. 30 30

31 Secção.. “Toda secção plana de uma esfera é um círculo.”(Dolce & Pompeu, 2005, p.251) “Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera.”(idem) 31 31

32 Informações Adicionais:
Área do Círculo Informações Adicionais: Neste vídeo o Professor pode, de forma dinâmica, mostrar aos estudantes a relação entre o raio do círculo e sua área. Vídeo debaser/singlefile.php?id=9596 32

33 Duas circunferências importantes do planeta Terra. Circunferência Polar
33 33

34 Circunferência Equatorial
34 34

35 Fonte: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/erath.html.
A circunferência polar é igual a circunferência do meridiano e mede, aproximadamente km. O seu diâmetro polar mede aproximadamente km. A circunferência equatorial mede aproximadamente km. E seu diâmetro equatorial mede aproximadamente km. Fonte: 35 35

36 propriedade, ou seja, a medida da área dessa superfície?
A superfície terrestre é a parte do planeta que permite a existência de seres vivos. Imagine se você, que mora na superfície deste planeta correspondente à crosta terrestre, tivesse que adquirir uma parte da área dessa superfície. Qual seria o procedimento para determinar a área de um terreno ou de uma propriedade, ou seja, a medida da área dessa superfície? 36 36

37 Para conjecturar... A superfície da Terra parece plana em áreas limitadas, com por exemplo no quintal da casa. Mas sabemos que ela possui uma curvatura. Podemos calcular a área de uma região delimitada que será uma área muito próxima à medida de uma área de superfície plana. 37 37

38 Calcular a área de uma superfície esférica é mais uma das necessidades
humanas de sobrevivência neste planeta e foi um desafio para alguns matemáticos, entre eles, Arquimedes. 38 38

39 ATIVIDADE DE EXPERIMENTAÇAO
Realize e reflita a respeito da atividade abaixo proposta. 39 39

40 Material: cartolina, tesoura, régua, compasso, cola, bola de isopor que tenha
aproximadamente 30 cm como perímetro de sua circunferência máxima, barbante e Alfinetes. Procedimento: 1) Construa na cartolina um círculo que tenha a medida do raio igual ao da bola de isopor. Recorte. Cubra a superfície deste círculo com barbante desde o centro em forma de espiral. 40 40

41 enrole na superfície esférica da bola de isopor.
2) Desenrole o barbante do círculo, pegue mais uma medida desse barbante e os enrole na superfície esférica da bola de isopor. Compare os comprimentos e a superfície que foi coberta da bola de isopor. Qual a conclusão do grupo???? 41 41

42 Salientamos que esta é uma maneira de mostrar o valor da área de uma
Sabendo que a área de um círculo é πR², logo, a área da superfície esférica é 4πR². Arquimedes repetiu várias vezes o procedimento para mostrar este cálculo. Salientamos que esta é uma maneira de mostrar o valor da área de uma superfície esférica, mas não é uma demonstração matemática do cálculo desta área. 42 42

43 Considerando a tabela a seguir do
ATIVIDADE 2 Considerando a tabela a seguir do Inmetro, qual seria a economia em cm² de material para fabricar uma bola de futebol que estivesse 5% fora do padrão considerado máximo na medida da circunferência? 43 43

44 Medidas das bolas - Circunferência (cm) FONTE: Descrição Valor Exigido Circunferência (cm) Max = 70 Min = 68 Peso (g) Max = 450 Min = 410 Pressão (kgf/cm2) Max = 1,1 Min = 0,6

45 ATIVIDADE 3: Observe a figura abaixo:
45 45

46 A secção plana da figura é o círculo máximo da esfera.
Considerando que o diâmetro da secção maior do nosso planeta é igual ao diâmetro equatorial que mede aproximadamente km. Com essas informações, qual é a medida da circunferência máxima dessa secção? E qual a medida da área da superfície esférica, da semi-esfera ou hemisfério norte? 46 46

47 É possível saber também o volume de uma esfera. Como determinar
É possível saber também o volume de uma esfera? Como determinar? Observe as figuras - Semiesfera e Cone 47 47

48 Áreas e Volumes - 3, 2, 1 - Mistério
Informações Adicionais: O programa aborda o Princípio de Cavaliere que é utilizado no cálculo de áreas de figuras planas e volumes de sólidos. A estudante Carol recebe misteriosas instruções para resolver três enigmas. Ela dialoga com a aluna de arquitetura Rita para resolver os enigmas.Este vídeo tem por objetivos: apresentar o Princípio de Cavalieri para figuras planas; apresentar o Princípio de Cavalieri para sólidos e; apresentar a relação 3:2:1 entre os volumes do cilindro, da semi-esfera e do cone. r/singlefile.php?id=22600 48

49 A circunferência da base do cone tem raios cuja medida é a mesma
Observe as figuras: uma representa uma semi-esfera e a outra representa um cone. A circunferência da base do cone tem raios cuja medida é a mesma medida dos raios da semi-esfera. 49 49

50 Se enchermos com algum líquido o cone e despejarmos na semi-esfera,
iremos precisar de duas medidas do cone para encher completamente a semi- esfera. Com este procedimento podemos verificar que a capacidade da esfera é de quatro vezes a capacidade do cone. 50 50

51 Portanto, para calcular o volume da esfera podemos deduzir a seguinte
fórmula: Volume do cone: 1/3 π R² h Lembrando que o raio do cone tem a mesma medida da altura, logo, o volume da esfera é 4 .1/3 πR² h e (altura = raio) então 4/ 3 π R³ . 51 51

52 Atividades 4 e 5 Material Impresso 52 52

53 Discussão Observe a imagem como se fosse a representação do relevo de um Terreno. 53 53

54 Mas afinal, se uma pessoa comprasse uma propriedade rural, que tem o
formato que revela na imagem a seguir, como ela poderia saber exatamente a medida da área adquirida? Qual seria a forma de ter um valor mais aproximado possível da medida da área da superfície? 54 54

55 Geometria Esférica – As Aventuras de Radix
Informações Adicionais: O programa aborda a geometria da Esfera, que é um exemplo de geometria não-Euclidiana. Nelson, ao escrever mais uma das aventuras do super-herói Radix, se depara com a seguinte pergunta: Como Radix poderá cumprir a missão de evitar o desmatamento no Planeta Terra? Para terminar a aventura do Radix, o cartunista Nelson pedirá ajuda ao seu amigo Mario, que trabalha na área de monitoramento por satélite. O vídeo é útil para: apresentar a Geometria não-Euclidiana; a Geometria da Esfera e; Diferenciar a Geometria Euclidiana da não-Euclidiana. glefile.php?id=22456 55

56 A melhor forma de medir toda a área dessa propriedade seria com a ajuda
de um profissional, que pode ser um engenheiro agrônomo, um agrimensor ou um Topógrafo. 56 56

57 Um equipamento utilizado é o Sistema de Posicionamento Global GPS.
Era normal, há algum tempo atrás, que esse profissional dividisse o lote em formas geométricas como triângulos, retângulos entre outros polígonos, mas nos dias atuais, é possível utilizar alguns recursos tecnológicos que garantem uma maior precisão neste cálculo. Um equipamento utilizado é o Sistema de Posicionamento Global GPS. 57 57

58 Será que apenas pela observação, temos condições de propor algumas
DEBATE Será que apenas pela observação, temos condições de propor algumas considerações e afirmações, ou é preciso outros conhecimentos e elementos que possam contribuir para o entendimento do espaço que vivemos? 58 58

59 Referências DOLCE, O., POMPEO, J. N. Fundamentos da matemática elementar. 6. ed. v. 10,São Paulo: Atual, 2005. DUARTE, Paulo Araújo. Cartografia Básica. Florianópolis: Editora da UFSC, 1986. FILIZOLA, R. Geografia: volume único: ensino médio. 2. ed. São Paulo: IBEP,2005. GERÔNIMO, J. R.; FRANCO, V. S. Geometria plana e espacial: um estudo axiomático. Maringá: Massoni, 2005. LOPES,Renata Cristina. Viemos em um planeta semelhante a uma Esfera. Disponível em: codInscr=4143&PHPSESSID= Acesso em 21 maio 59 59

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