Estatística Aula 12 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

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1 Estatística Aula 12 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 12 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

2 Aula 12 Independência de Eventos (continuação) Teorema de Bayes Aplicações

3 Independência de Eventos
Se A e B são eventos independentes, a ocorrência de B não traz qualquer informação adicional sobre A Informalmente falando, um evento não tem “nada a ver” com o outro!

4 estatisticamente independentes quando: P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)
Independência de Eventos Dois eventos A e B são estatisticamente independentes quando: Do contrário, A e B são eventos dependentes Se P(A) e P(B) são ambos maiores que zero: P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)

5 Independência de Eventos
E se A e B são mutuamente exclusivos ... São também independentes? Suponha P(B) > 0 Mas Suponha P(A) > 0 Mas

6 Independência de Eventos
- Se P(A) e P(B) são estritamente positivos (>0) e A e B são eventos mutuamente exclusivos: Então A e B NÃO SÃO estatisticamente independentes, pois P(A|B) = 0 ≠ P(A) e P(B|A) = 0 ≠ P(B) - Logo, se os eventos A e B são independentes e mutuamente exclusivos: Pelo menos um deles tem probabilidade nula, pois é a única forma de P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)

7 Independência de Eventos
Exemplo 1 Se P(A) = 0,35 , P(B) = 0,8 e P(A∩B) = 0,28, A e B são independentes? P(A).P(B) = 0,35.0,8 = 0,28 Como P(A).P(B) = P(A∩B), A e B são independentes Exemplo 2 Se P(A|B) = 0,4 , P(B) = 0,8 e P(A) = 0,6, os eventos A e B são independentes? Uma vez que P(A|B) ≠ P(A), os eventos não são independentes

8 Independência de Eventos
Exemplo 3 Se P(A) = 0,2 e P(B) = 0,2 e se os eventos A e B forem mutuamente excludentes, eles serão independentes? Se A e B são mutuamente excludentes, e admitimos que eles são independentes, então: P(A).P(B) = P(A∩B) = 0, pois pelo menos um deles tem probabilidade nula Mas .. Como P(A).P(B) = 0,04 ≠ 0, os eventos A e B não são independentes

9 Independência de Eventos
Exemplo 4 Tomou-se uma amostra com 1000 pessoas em um shopping-center com o objetivo de investigar a relação entre a renda familiar e a posse de cartões de crédito. A partir dos dados da próxima tabela pergunta-se: existe independência entre “renda” e “posse de cartões de crédito”?

10 Independência de Eventos
Se existe independência entre as duas variáveis, então: P(Ai∩Bj) = P(Ai).P(Bj) para todos i e j Onde Ai indica o nível de renda e Bj o número de cartões de crédito Logo, basta provar que a igualdade acima não é válida para ALGUMA célula na tabela para concluir que as duas variáveis são dependentes

11 Independência de Eventos
Se olharmos para a célula superior esquerda vemos que: P(renda abaixo de R$500 E nenhum cartão) = 260/1000 = 0,26 Mas: P(renda abaixo de R$500) = 330/1000 = 0,33 P(nenhum cartão) = 530/1000 = 0,53 Ora, como 0,33.0,53 = 0,17 (≠0,26), segue-se que as variáveis renda familiar e número de cartões de crédito são dependentes.

12 Partição do Espaço Amostral
Vamos dividir (partir) o espaço amostral abaixo em vários pedaços Qual é o conjunto ? B1 E Qual é o conjunto ? B2 B3 B4 B5 Qual é o conjunto ? Qual é o conjunto ?

13 Partição do Espaço Amostral
Um conjunto de eventos {Bi}, i = 1,..., n constitui uma partição do espaço amostral E quando satisfaz as duas condições a seguir: Os eventos que compõem uma partição são - mutuamente exclusivos e, - quando unidos, englobam todo o espaço amostral

14 Partição do Espaço Amostral

15 P(E1 U E2 U ... U Ek) = P(E1) + P(E2) + ... + P(Ek)
Teorema da Probabilidade Total Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então: P(A U B) = P(A) + P(B) P(E1 U E2 U ... U Ek) = P(E1) + P(E2) P(Ek) A B E1 E2 E4 E3

16 Teorema da Probabilidade Total
Como posso escrever P(B)? Como posso escrever B?

17 Probabilidade Condicional
Teorema da Probabilidade Total Probabilidade Condicional P(A│B) = P(A ∩ B) / P(B) P(A ∩ B) = P(A│B).P(B) = P(B│A).P(A) P(B│A) = P(A ∩ B) / P(A) Para uma situação representada pelo diagrama: A A B ∩ A B = (B ∩ A) U (B ∩ A) B B ∩ A P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A) = P(B│A).P(A) + P(B│A).P(A) Regra da probabilidade total para dois eventos quaisquer A e B

18 P (F│A) = 0,10 P (F│A) = 0,005 P (A) = 0,20 P (A) = 0,80
Teorema da Probabilidade Total Na fabricação de semicondutores, seja 0,10 a probabilidade de que um chip que esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto. A probabilidade é de 0,005 de um chip que não esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação, cause uma falha no produto. Em uma corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto usando um desses chips venha a falhar? Faça F denotar o evento em que o produto falhe e faça A denotar o evento em que o chip está exposto a altos níveis de contaminação. F evento em que o produto falhe; A evento em que o chip está exposto a altos níveis de contaminação; A evento em que o chip não está exposto a altos níveis de contaminação P (F│A) = 0,10 P (F│A) = 0, P (A) = 0, P (A) = 0,80 P(F) = P (F│A).P(A) + P (F│A).P(A) = 0,10 . 0,20 + 0, ,80 = 0,024

19 Teorema da Probabilidade Total
Para uma situação representada pelo diagrama: E1 E2 E3 E4 B ∩ E1 B B ∩ E2 B ∩ E4 B ∩ E3 B = (B ∩ E1) U (B ∩ E2) U (B ∩ E3) U (B ∩ E4) Regra da probabilidade total para eventos múltiplos quaisquer E1, E2, ..., Ek. P(B) = P(B ∩ E1) + P(B ∩ E2) P(B ∩ Ek) = P(B│E1).P(E1) + P(B│E2).P(E2) P(B│Ek).P(Ek)

20 P(F) = P(F│H).P(H) + P(F│M).P(M) + P(F│L).P(L)
Teorema da Probabilidade Total Continuando com o exemplo da fabricação de semicondutores, considere que a probabilidade seja: 0,1 de que um chip sujeito a níveis altos de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto; 0,01 de que um chip sujeito a níveis médios de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto; 0,001 de que um chip sujeito a níveis baixos de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto. Em corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a níveis altos de contaminação, 30% a níveis médios de contaminação e 50% a níveis baixos de contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto, usando um desses chips, falhe? H é o evento em que um chip seja exposto a níveis altos de contaminação; M é o evento em que um chip seja exposto a níveis médios de contaminação; L é o evento em que um chip seja exposto a níveis baixos de contaminação; P(F) = P(F│H).P(H) + P(F│M).P(M) + P(F│L).P(L) P(F) = 0,10.0,20 + 0,01.0,30 + 0,001.0,50 P(F) = 0,0235

21 Teorema da Probabilidade Total
Considere um evento A e uma partição do espaço amostral {Bi}, i = 1,..., m. Para essa partição e esse evento, tem-se que: Ou ainda:

22 Teorema da Probabilidade Total
Demonstração E

23 Teorema da Probabilidade Total
Tendo em vista que a interseção é distributiva em relação à união, tem-se que: Como pois {Bi}, é uma partição, então:

24 Teorema da Probabilidade Total
Dessa forma, os termos de são mutuamente exclusivos Portanto:

25 Teorema de Bayes Thomas Bayes (1702-1761) no problema do semicondutor,
podemos querer saber: se o chip semicondutor no produto falhar, qual a probabilidade de que ele tenha sido exposto a altos níveis de contaminação? antes queríamos saber qual a probabilidade de falhar. Agora, falhando , queremos saber uma probabilidade associada a uma origem da falha  procurando saber a causa

26 Teorema de Bayes Considere uma partição do espaço amostral {Bj}, j = 1,..., m, com P(Bj) > 0 para todo j. Seja ainda A um evento com P(A) > 0 iguais Da definição de probabilidade condicional: Pelo teorema da probabilidade total:

27 Teorema de Bayes A expressão acima é conhecida como Teorema de de Bayes As probabilidades P(Bj) são conhecidas como probabilidades a priori, e indica um valor de probabilidade inicial originalmente obtido antes que seja obtida qualquer informação adicional As probabilidades P(Bj|A) são conhecidas como probabilidades a posteriori , e indica um valor de probabilidade que foi revisto usando-se informação adicinal obtida posteriormente.

28 P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Resumo Regra da adição E A A ∩ B B A P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) B E Se A e B eventos mutuamente excludentes: P(A U B) = P(A) + P(B)

29 Resumo Regra da multiplicação estatisticamente independentes
P(A ∩ B) = P(A) . P(B) estatisticamente independentes Probabilidade condicional A B A ∩ B E B faz o papel do espaço amostral A B A ∩ B A faz o papel do espaço amostral

30 Resumo A Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes
Partição do espaço amostral {Bj}, j = 1,..., m A P(Bj) > 0 para todo j. Seja A um evento com P(A) > 0 Teorema de Bayes

31 Defeituosa | produzida pela máquina B
Teorema de Bayes Exemplo 1 Uma fábrica tem três máquinas, A, B e C, que respondem, respectivamente, por 40%, 35% e 25% de sua produção. A proporção de peças defeituosas na máquina A é de 2%, essa proporção é de 1% para a máquina B e de 3% para a máquina C. Toma-se uma peça ao acaso. É defeituosa. Qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B? Defeituosa dado que foi produzida pela máquina B Defeituosa | produzida pela máquina B d | B

32 Quais os conceitos utilizados até o momento?
Teorema de Bayes Chamemos de B o evento fabricado pela máquina B, e de d o evento defeituosa  Queremos, dessa forma, a probabilidade P(B|d) Quais os conceitos utilizados até o momento? E i  intacta i = d A i d B C

33 Teorema de Bayes E A i A ∩ d B ∩ d C ∩ d d B C

34 Teorema de Bayes d ∩ A d ∩ B d ∩ C d = (d ∩ A)U(d ∩ B)U(d ∩ C)
P(d) = P(d∩A)+P(d∩B)+P(d∩C) = = P(d|A).P(A)+P(d|B).P(B)+ + P(d|C).P(C) Por outro lado:

35 Teorema de Bayes d ∩ A d ∩ B d ∩ C

36 Teorema de Bayes Sem o uso do diagrama, temos que reconhecer que queremos a probabilidade P(B|d): Reconhecer também que a peça defeituosa pode provir (origem do problema) de qualquer uma das três máquinas (e só de uma). Em seguida, aplica-se a fórmula do Teorema de Bayes:

37 Somatório em todas as partições
Teorema de Bayes Uma coisa interessante na fórmula do Teorema de Bayes: Partição de interesse Somatório em todas as partições

38 Teorema de Bayes A visualização do problema é facilitada pela utilização do seu correspondente diagrama em árvore d A B C 0,40 0,35 0,25 i 0,02 0,98 0,01 0,99 0,03 0,97 Cada avanço por 1 ramo  multiplicação Somam-se os resultados dos caminhos (avanços)

39 Teorema de Bayes Exemplo 2
Um transmissor de localização de emergência de uma aeronave (TLE) é um aparelho projetado para transmitir um sinal no caso de queda. A Altigauge Manufacturing Company faz 80% dos TLEs, a Bryant Company faz 15% deles, e a Chartair Company faz os outros 5%. Os TLEs feitos pela Altigauge têm taxa de defeituosos de 4%, os da Bryant têm taxa de defeituosos de 6%, e os da Chartair, taxa de 9% (o que ajuda a explicar por que a Chartair tem a menor fatia do mercado). Se um TLE é selecionado aleatoriamente da população original de todos os TLEs, ache a probabilidade de que tenha sido fabricado pela Altigauge Manufacturing Company; Se um TLE é selecionado aleatoriamente e testado e se verifica que é defeituoso, ache a probabilidade de ele ter sido fabricado pela Altigauge Manufacturing Company.

40 Teorema de Bayes E A B C D Solução:
A = TLE fabricado pela Altigauge  P(A) = 0,80 B = TLE fabricado pela Bryant  P(B) = 0,15 C = TLE fabricado pela Chartair  P(C) = 0,05 D = TLE é defeituoso D = TLE não é defeituoso (ou é bom) Solução: E A B C D

41 Teorema de Bayes Exemplo 2
a) Se um TLE é selecionado aleatoriamente da população geral de todos os TLEs, a probabilidade de ter sido fabricado pela Altiguage é 0,8 (porque a Altigauge fabrica 80% deles). b) Se sabemos agora que o TLE foi testado e é defeituoso, desejamos revisar a probabilidade da parte (a) de modo que a nova informação possa ser usada. Desejamos encontrar o valor de P(A│D), que é a probabilidade de que o TLE tenha sido fabricado pela Altigauge, dado que é defeituoso. Com base na informação dada, sabemos estas probabilidades. P(D│A) = 0,04 Taxa de defeituosos da Altigauge é de 4% P(D│B) = 0,06 Taxa de defeituosos da Bryant é de 6% P(D│C) = 0,09 Taxa de defeituosos da Chartair é de 9%

42 Teorema de Bayes P(D) = 0,0455 D|A A B C 0,80 0,15 0,05 D|B D|C 0,04
0,06 0,09 0,8.0,04 = 0,032 0,15.0,06 = 0,009 0,05.0,09 = 0,0045 D|A D|B D|C

43 Estatística Aula 12 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 12 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues