Pesquisa Operacional Aplicada à Logística Prof

Apresentação em tema: "Pesquisa Operacional Aplicada à Logística Prof"— Transcrição da apresentação:

1 Pesquisa Operacional Aplicada à Logística Prof
Pesquisa Operacional Aplicada à Logística Prof. Fernando Augusto Silva Marins

2 Sumário Introdução à Pesquisa Operacional (P.O.) Modelagem e Softwares
Programação Linear (Inteira) – Solver, LINDO, WinQSB Programação em Redes – Solver, WinQSB, LINDO Teoria das Filas – WinQSB, Templates Simulação – Promodel, Arena, Simul8, CrystalBall (Excel) Modelos e Teoria de Estoques – WinQSB (já foi estudado em 2007)

3 Pesquisa Operacional ou
Operations Research ou Operational Research ou Management Sciences

4 A P.O. e o Processo de Tomada de Decisão
Tomar decisões é uma tarefa básica da gestão. Decidir: optar entre alternativas viáveis. Papel do Decisor: Identificar e Definir o Problema Formular objetivo (s) Analisar Limitações Avaliar Alternativas  Escolher a “melhor”

5 PROCESSO DE DECISÃO Abordagem Qualitativa: Problemas simples e experiência do decisor Abordagem Quantitativa: Problemas complexos, ótica científica e uso de métodos quantitativos.

6 P.O. tem tido um impacto crescente na administração das empresas, tendo aumentado o número e a variedade de suas aplicações. Exemplos: Programação Linear: mix de produção, mistura de matérias-primas, modelos de equilíbrio econômico, carteiras de investimentos, roteirização; jogos entre empresas; Modelos em Redes: rotas econômicas de transporte, distribuição e transporte de bens, alocação de pessoal, monitoramento de projetos; Teoria de Filas: congestionamento de tráfego, operações de hospitais, dimensionamento de equipes de serviço; Outras técnicas: Simulação, Programação Inteira, Programação Não-linear, Teoria de Estoques, Programação por Metas, Programação Multi-objetivo.

7 Definição: Pesquisa Operacional
“é uma ciência aplicada formada por um conjunto de técnicas que visam a determinação das melhores condições de aproveitamento de recursos escassos” Pode ser aplicada a uma enorme variedade de situações: problemas relacionados com espera, problemas de misturas e formulações, problemas de estoques, problemas de programação da produção, problemas de arranjos físicos, problemas em redes de transportes, problemas de abastecimento, problemas de comunicação e transmissão de dados, entre outros. Adota um enfoque sistêmico para os problemas

8 Paradigma Taylorista de Especialização Funcional (Silos Especializados)
Vendedores se preocupam com volume de vendas e não a rentabilidade Compradores se preocupam com menor preço unitário e não com a qualidade, a consistência de entrega, ... Transporte é normalmente escolhido pelo valor do frete e não pelo serviço oferecido Manufatura se preocupa em maximizar a produtividade da mão-de-obra, independentemente de prazos de entrega e níveis de estoques gerados E a empresa como um todo???

9 A Pesquisa Operacional e a Internet
Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional: // International Federation of O. R. Societies: // Institute for O. R. and Management Sciences: // Modelos em Redes - NEOS Server: Roteamento com Janelas de Tempo: Roteamento: //riot.ieor.berkeley.edu/riot Picking em Armazéns: Gerenciamento de Retornos:

10 A Pesquisa Operacional e a Internet
Livro eletrônico (grátis): Operations Research Simplified

11 Logística como sistema
SUPPLY CHAIN MANAGEMENT LOGÍSTICA DISTRIBUIÇÃO FÍSICA SUPRIMENTO FORNECEDOR PRODUÇÂO DEPÓSITO CLIENTE 11

12 Elementos do planejamento logístico
Nível de Serviço Decisões de Localização Decisões de estoques Decisões de transportes 12

13 Atividades integradas Supply Chain Management
Linha do Tempo Atividades isoladas Atividades integradas Supply Chain Management Jomini Logistique 1836 Dia D Normandia 1944 Custo Total 1956 Heskett Business Logistics 1964 Crise Petróleo Juros 1970´s IBM PC JIT TQM 1980´s Globalização Internet 1990´s Inovação Colaboração 2000´s Complexidade cresce Escala Escopo Geografia Tempo de ciclo 13

14 ... mas desempenho logístico melhora manufatura dos EUA, 1960-2000
Fonte: Hesse, Rodrigue, 2004 14

15 Evolução da Logística... Ballou, 2006
Vide artigo de Ronald Ballou sobre evolução do conceito logístico na edição especial sobre logística da revista Produção da ABEPRO (n.3, dezembro de 2006, disponível no Scielo). Ballou, 2006 15

16 Ações realizadas para esta mudança
Redução de estoques Modos de transporte mais caros Redução de fretes Desregulamentação Tecnologia de veículos não evoluiu na mesma velocidade Melhor administração Integração de atividades Coordenação aperfeiçoada Operadores logísticos Ferramentas tecnológicas sofisticadas 16

17 Melhoria da administração logística
Aumento da complexidade exigiu conceitos e organização logística mais sofisticadas nas empresas Organização e gestão Reconhecimento formal da atividade logística na estrutura decisória das empresas Novas formas de gestão (JIT, TQM, etc) Surgimento de prestadores de serviço logístico integrado Teoria dos sistemas Integração de atividades e funções: propriedades emergentes Indicadores de desempenho sistêmicos (custo total, por exemplo) Tecnologia de informação Sistemas integrados (Enterprise Resource Planning – ERP) Telecomunicações Tecnologia de decisão Pesquisa Operacional 17

18 A vida do logístico é muito complicada...
Produto (o quê) Matérias-primas Tempo (quando) Prazos Estoques Origens (de onde) Fornecedores Fontes (fábricas, armazéns) Destinos (para onde) Instalações logísticas Clientes Fluxo (quanto) Processo (como) Equipamento Modais Econômica Custos Preços Método científico Indicadores de desempenho claros e quantitativos Modelos matemáticos Métodos de solução Tecnologia Computadores Dados A matemática, junto com o método científico (Pesquisa Operacional) pode auxiliar nisso: como tratar a complexidade de forma a poder tomar decisões boas. Pesquisa Operacional 18

19 Pesquisa Operacional faz diferença no desempenho de organizações?
19

20 Resultados acumulados dos finalistas do Edelman
INFORMS 2007 20

21 Sucessos da Pesquisa Operacional em Logística: finalistas do Prêmio Franz Edelman 1984-2007
61 trabalhos = 42% Se considerarmos que a PO é a disciplina mais adequada para expressar o uso e a aplicação de modelos matemáticos em problemas que não pertencem às ciências naturais, sendo particularmente adequada à administração de empresas e à engenharia, o prêmio Franz Edelman, como o mais importante reconhecimento de aplicações bem sucedidas de PO, é um indicador interessante (mas enviesado, como todo indicador). Neste quadro estão as principais funções de uma empresa (Marketing, Finanças, P&D, Logística, Administração), de forma a dar a dimensão da logística no uso bem sucedido de PO. Colocou-se também serviços e governo, pois nem sempre há coisas com fluxos físicos. Assim observando, pode-se ver que 61 dos 145 vencedores, ou seja, 42 %, estão associados à logística. Nota: apesar do prêmio de trabalhos práticos do TIMS/INFORMS existir há mais de trinta anos, restringiu-se aqui a compilar apenas os que tem o caso documentado na revista Interfaces (a partir dos finalistas de 1984). 21

22 Edelman: métodos empregados
Todos finalistas Aqui estamos falando de métodos. Fazer a análise dos últimos 23 anos não é muito justo, pois somente os métodos de otimização sofreram uma enorme evolução em termos de rapidez e, por conseqüência, de porte associado (modelos de simulação não tiveram o mesmo tipo de sorte, pois apenas se beneficiaram da evolução do hardware), sendo em 20 anos um milhão de vezes mais rápidos (CPlex)! Se tivesse tempo de mostrar o levantamento detalhado, ficaria evidente como os métodos de otimização ficaram mais populares (freqüentes) com o passar do tempo. Pessoal de indústria gosta de simulação porque pode por todo tipo de detalhe inútil e é fácil fazer uma animação gráfica. Somente logística PS: simulação estocástica discreta é popular na indústria... 22

23 FINALISTAS EDELMAN 23

24 FINALISTAS EDELMAN 24

25 FINALISTAS EDELMAN 25

26 FINALISTAS EDELMAN 26

27 FINALISTAS EDELMAN 27

28 FINALISTAS EDELMAN 28

29 FINALISTAS EDELMAN 29

30 Pesquisa Operacional no contexto logístico
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31 Hierarquia de Decisões Logísticas: uma taxonomia
Nível de decisão Rede logística Produção Transpor-tes Estoques Armazena-gem Compras ESTRA-TÉGICO Localização de instalações Seleção do modal Políticas de estoque Arranjo físico; tecnologia Políticas de relaciona-mento TÁTICO Plano de capacidade e estoques sazonais Plano agregado da produção Dimensio- namento de frota; Frota dedicada Estoque de segurança, previsão de vendas (tático) Aluguel sazonal Seleção de fornecedo-res Taxonomia auxilia a fazer um “censo” de sistemas de decisão na empresa: fica mais fácil perceber gaps e dirigir esforços de modelagem matemática. Foco da apresentação é agora didático-pragmático, para orientar como seria um curso de PO aplicada à logística. Alguns exemplos meus servirão apenas para ilustrar trabalhos realizados. Localização: LD. Bianca, Mariana Capacidade, aluguel sazonal: Márcio Frota dedicada: Fabiano, CBD Roteirização: SS-Patrícia, Pullman Circuitos: CBD Estoque de segurança: cartuchos HP Oportunidades: Compras SCM – colaboração (circuitos colaborativos): créditos de carbono Transporte aéreo (!?) Desafio é fazer empresas usarem mais PO: embutir ferramentes – Gapso, Soma, Neolog, CFlex OPERA-CIONAL Programação da produção Roteiro de entregas, circuitos Reposição (quantida-des e prazos) Coleta; arrumação Liberação de pedidos Exemplos de decisões logísticas 31

32 Vencedores Edelman conforme taxonomia
Nota: 1* é o caso da Pacific Lumber, onde o prazo do modelo multi-período é tão longo que não pode ser considerado tático e sim estratégico. 32

33 Decisões típicas, exemplos
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34 Rede logística: estratégico
Problema clássico: localização Du Pont, Pullmann, Copersucar, Serrana, PQ Triunfo, Cargill, Unilever, Danone, Pepsico, Avon,... Instalações logísticas Fábricas Centros de distribuição Terminais e armazéns Medidas de mérito: margem, custo, nível de serviço (tempo, distância) Avaliar tradeoffs de modo explícito: Custos de transporte, instalações, estoques e nível de serviço Impostos (nacionais e internacionais) Restrições usuais: Demanda, produção, escoamento Tratamento agregado Edelman: Procter & Gamble 1996 HP 2003 Mesmo em um problema clássico, há muito o que explorar: Deixar certos tradeoffs explícitos: estoques de segurança, transporte de ponta (roteirização) Considerar influência de impostos (podem ser não lineares): profissional de logística precisa saber modelar impostos!! 34

35 Exemplo: localização+tributos
Quem desenvolve modelos de localização para empresas precisa saber modelar tributos! Modelo de decisão: onde localizar instalações logísticas, seu escopo de itens e área de influência Minimizar custo logístico + ICMS Considerar decisão de membros do canal logístico (sonegação) Restrições de demanda, capacidade, escoamento Processados 47 cenários Resultados Corrobora intuição e observação prática Posição logisticamente favorável de alguns Estados 3,5% a 11% de incremento de custo logísticos para se beneficiar de turismo fiscal Exemplo de estudo relevante usando 35

36 ICMS Imposto estadual que incide sobre o consumo final
Cada agente na cadeia de valor recolhe proporcionalmente ao valor que agrega ao produto Preço final ao consumidor engloba todo o imposto Alíqüotas diferenciadas para operações internas e exportações entre Estados R$ 82,28 bilhões em 2000; 87% da carga tributária dos Estados; 22,8% da carga tributária brasileira; 7,55% do PIB 36

37 Descrição do Problema Encontrar o número, a dimensão e os locais de CD’s em uma rede física de distribuição que minimizarão custos fixos e variáveis e o débito do ICMS, através dos quais fluirão mercadorias sujeitas às seguintes condições: Cada fábrica tem uma única linha de produtos exclusivos Cada fábrica tem capacidade infinita Cada demanda deve ser integralmente satisfeita O fluxo em cada CD não pode ultrapassar a capacidade associada ao seu custo fixo anual 37

38 Podem ocorrer entregas diretas a partir das fábricas
A distribuição física é realizada através de um único operador logístico Podem ocorrer entregas diretas a partir das fábricas Mesmas praças podem ser atendidas por mais de uma origem (CD ou fábrica) Praças importantes são atendidas em prazos-limite (nível de serviço) Cada mercado tem clientes que desejam o crédito de ICMS (não sonegam) e clientes indiferentes ao crédito (podem sonegar) 38

39 Problema idealizado Quatro linhas de produtos diferentes em quatro fábricas distintas, com vendas CIF Fábricas localizadas em diferentes Estados: GO, PE, SC, SP 51 locais candidatos a ter CD’s, escolhidos em função de porte, infraestrutura e ligação com Estados vizinhos Clientes agregados em 122 mesorregiões (exclui certas porções da Amazônia) Modal rodoviário 39

40 Municípios Candidatos
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41 Índices do modelo i n j p k,s Fábrica i Produto p CD j Capacidade n
Mercado k Sonegação s n p

42 Modelo matemático (PLIM)
Função objetivo: 42

43 Restrições Vk, p, s (demanda plena) 3.2 Vi, p (capacidade fábrica) 3.3
Vj (capacidade depósito j) 3.4 Vj (apenas um tamanho é aberto) 3.5 Vj, p, s (balanço de massa no CD) 3.6 Restrições usuais de não-negatividade e binárias 43

44 Parâmetros do modelo Mercados, produtos e demanda 122 mesorregiões
Fontes: IBGE, Instituto ACNielsen (per capita e share) Demanda = (pop. x per capita x conversão peso x share das 3 principais marcas)/ 3 Volume total Brasil – t/ano 44

45 Demandas totais e origens
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46 Demanda mesorregiões 46

47 Outros parâmetros Índice de sonegação: fator linear
Capacidades dos CD’s Máximo t/ano 10 níveis n, incluindo zero (n = 1) Frete de transferência = f (distância), r2 = 0,973 Frete de distribuição, r2 = 0,743 Distância: ponto a ponto (lat. Long.) corrigido ICMS: tabela CONFAZ Custo (preço) médio= constante = R$ 2.500/t 47

48 Últimos parâmetros Custo de transbordo = R$ 1,00/t
Custos fixos dos CD’s = f (capacidade n) Nível de serviço: Mesorregião > 3 milhões hab.: até 500 km Entre 2 e 3 milhões hab.: até 750 km Menor que 2 milhões hab.: sem limite 48

49 Processamento do Modelo
Porte do modelo: 510 variáveis binárias, variáveis reais e restrições Obteve-se soluções ótimas em quase todos os 47cenários processados (3 interromperam o processamento por atingir a tolerância limite de 10-8) Tempos de processamento: entre alguns minutos e 2 horas (Pentium IV 1,7 Mhz, 512 RAM) Software: GAMS 3.0 e CPLEX 7.0, SPRING, Maptitude 3.0 49

50 Valores em milhões de reais (Maio 2001)
Resultados Valores em milhões de reais (Maio 2001) 50

51 Resultados 51

52 Custo logístico vs ICMS
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53 Variação custo logístico
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54 Rede logística: tático
Planejamento agregado da logística (fluxo) Petrobrás (SIMOR), Embraer, Cosan, Bunge Definir quanto, quando e em qual instalação produzir determinada família de produto: Rede de instalações é dada (restrição) Grande quantidade de tradeoffs : manufatura, estoque, faltas, mão de obra, materiais, transporte, nível de serviço Necessidade de agregação de itens pelo porte do problema (e posterior desagregação) Problema normalmente dinâmico Múltiplos métodos Edelman: Digital 1994 Divisão entre estratégico e tático é um pouco difusa 54

55 Exemplo: Logística internacional
Montagem de aeronaves comerciais em Harbin, norte da China (256 itens) Abastecimento da unidade: Lote mínimo de compra; Envio direto ou etapa de transbordo para ajuste de quantidades Brasil (SJC): restrição de capacidade (espaço físico) RECOF Aeronáutico (substitui regime de Drawback) Modelo de transbordo com custos fixos Objetivo: minimizar custo Restrições usuais: demanda, oferta, transbordo (com capacidades) Modelo simples mas análise com grande impacto no fluxo logístico da Embraer 55

56 Presença dos Jatos Regionais - USA
Jan 2002 Jan 1995 Fonte: Back Aviation 56

57 Presença dos Jatos Regionais - EUROPA
Jan 1995 Jan 2002 Fonte: Back Aviation 57

58 Resultado: Envio direto
Paris Direto: 31 Itens 2.496 kg $ Los Angeles 174 Itens kg $ Miami Direto: 51 Itens kg $ Componente do Custo Direto Frete Financeiro do Estoque Transbordo TOTAL Obs: Valores em dólares 58

59 Resultado: RECOF aéreo
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60 PCP: tático Planejamento agregado da produção Modelos dinâmicos
Kibon Modelos dinâmicos Modelo clássico: programação linear multi-período Produção, estoques, faltas, horas extras, matérias-primas, material em processo Pode incluir cálculo de necessidades, transporte e transbordo, armazenagem Edelman: GM 2005 Sadia 1995 Tata 1994 Ferramentas para a indústria Conceito pouco entendido e utilizado Grande variedade de métodos de modelagem 60

61 PCP: operacional Programação da produção Blending (refinarias)
Produção contínua Produção discreta Blending (refinarias) Scheduling Mercedes Benz, Kibon Balanceamento de linhas Edelman: Swift (Friboi) 2005 Samsung 2001 Citgo1986 Monsanto 1984 Pequena inserção na indústria Ferramentas ? Especificidade? Área de pesquisa Métodos, novos problemas Também tem grande variedade de ferramentas de mercado disponíveis, costumam ser especializadas no tipo de indústria e problema. São específicas (Fyger, Production Planner etc) 61

62 Transportes: estratégico
Diversos tipos de problema Definição de modal: em conjunto com análise de malha Definição de malha: rodoviário de carga fracionada, navegação, malha aérea Hamburg Süd (hub port, cabotagem-longo curso) Dimensionamento de frota (longo prazo) Edelman: Omya Hustadmarmor 2006 UPS 2003 Canadian National Railways 1985 Ferramentas para a indústria Sistemas específicos (in house) Omya: armador norueguês 62

63 Transportes: tático Problemas muito, muito diversos
Dimensionamento de frota Usina São João Frota própria e terceira Brastemp, Pepsico Capacidade de rede ferroviária Métodos muito diversos, também Analista de logística precisa conhecer vários tipos de métodos Edelman Canadian Pacific 2003 Yellow 1991 Reynolds Metal 1990 Analistas de logística têm de saber lidar com vários tipos de métodos, ao contrário dos acadêmicos, que precisam focalizar as técnicas que estudam. 63

64 Transportes: operacional
Problemas típicos: Roteirização Pullmann, CBD, Kibon Programação de tripulações Revenue management Regras de despacho (fracionado) Circuitos Edelman Coca Cola 2007 Continental 2002 SNCF 1997 AA 1991 North American Van Lines 1987 Mobil 1986 TMS são apenas transacionais Oportunidade: modelos e métodos para tempo real Rastreamento D D 64

65 Estoques: tático Nível de estoque de segurança Previsão de vendas
Pergunta mais freqüente Predição e previsão Abundância de dados corporativos Abundância de técnicas Esquemas colaborativos CPFR CBD Edelman* Philips 2004 (rede logística, efeito Forrester) Alta demanda da indústria Previsão 65

66 Estoques: operacional
Reposição de estoques: quantidades e momentos Problema clássico Fórmula de Harris (EOQ) Demanda independente Cartuchos HP Demanda dependente (MRP) Edelman Blue Bell 1984 Pfizer 1984 A prática logística é muito carente M Q1 Q2 q1 q2 LT T tempo Estoque 66

67 Armazenagem: tático Elevado potencial de aplicação no país
Armazenagem sazonal Afeta processos agroindustriais Fretes no campo têm sazonalidade Espaço de terceiros Modelos de rede logística Exemplos Frutesp (tancagem) Copersucar Serrana (Bunge Fertilizantes) Integrados com plano agregado de produção Elevado potencial de aplicação no país 67

68 Armazenagem: operacional
Arrumação de material Arranjo físico e endereçamento Coleta (picking) Seqüência de coleta Tradeoffs entre armazém e lojas MacDonald´s (bucket brigades) Estivagem Paletes Contêineres Roteiros internos Edelman Porto de Hong Kong 2004 Ferramentas disponíveis carecem de “inteligência” (WMS) RFID Projac 68

69 Compras: estratégico/tático
Projeto de licitação Diversos tipos de leilão Fator econômico preponderante Escala Escopo Garantir competição Tipo e duração de contratos Relacionamento Seleção dos fornecedores Edelman HP 2007 Procter & Gamble 2005 Motorola 2004 Mars 2002 Muito promissor para indústria e academia Sites de compra (escala) Supply chain management 69

70 Compras: operacional Liberar pedidos para fornecedores
Regras de liberação Transporte: load tendering Centrais de frete Monitoramento on-line Roteiro de viagem conforme custos de reabastecimento Sites de compras (execução) Vários exemplos Edelman Bellcore 1993 Indústria: compra decidida estrategicamente, mas reposição é operacional 70

71 Comentários Matriz de decisões auxilia a categorizar e contextualizar problemas logísticos Uso de inteligência na forma de modelos é bastante desigual na prática das empresas Há muitas lacunas Vários tipos de decisão englobam mais de uma coluna: Estoque-roteirização (milk run) Armazenagem-roteirização (conteiner loading + roteiro)

72 Como construir os modelos matemáticos?

73 Mathematical Modeling
Many managerial decision situations lend themselves to quantitative analyses. A constrained mathematical model consists of An objective (Function with one or more Control /Decision Variables to be optimised) One or more constraints (Functional constraints “£”, “³”, “=” restrictions that involve expressions with one or more Control /Decision Variables)

74 New Office Furniture Example
Products Desks Chairs Molded Steel Profit $50 $30 $6 / pound Raw Steel Used 7 pounds (2.61 kg.) 3 pounds (1.12 kg.) 1.5 pounds (0.56 kg.) 1 pound (troy) = kg.

75 Defining Control/Decision Variables
Ask, “Does the decision maker have the authority to decide the numerical value (amount) of the item?” If the answer “yes” it is a control/decision variable. By very precise in the units (and if appropriate, the time frame) of each decision variable. D: amount of desks (number) C: amount of chairs (number) M: amount of molded steel (pound)

76 Objective Function The objective of all optimization models, is to figure out how to do the best you can with what you’ve got. “The best you can” implies maximizing something (profit, efficiency...) or minimizing something (cost, time...). Total Profit = 50 D + 30 C + 6 M Products Desks Chairs Molded Steel Profit $50 $30 $6 / pound D: amount of desks (number) C: amount of chairs (number) M: amount of molded steel (pound)

77 Writing Constraints Create a limiting condition in words in the following manner: (The amount of a resource required) (Has some relation to) (The availability of the resource) Make sure the units on the left side of the relation are the same as those on the right side. Translate the words into mathematical notation using known or estimated values for the parameters and the previously defined symbols for the decision variables. Rewrite the constraint, if necessary, so that all terms involving the decision variables are on the left side of the relationship, with only a constant value on the right side

78 New Office Furniture Example
If New Office has only 2000 pounds (746.5 kg) of raw steel available for production. 7 D + 3 C M 2000 Products Desks Chairs Molded Steel Raw Steel Used 7 pounds (2.61 kg.) 3 pounds (1.12 kg.) 1.5 pounds (0.56 kg.) D: amount of desks (number) C: amount of chairs (number) M: amount of molded steel (pound)

79 Writing Constraints Variable constraints are constraints involving only one of the variables. Variable Constraint Non negativity constraint Lower bound constraint Upper bound constraint Integer constraint Binary constraint Mathematical Expression X ³ 0 X ³ L (a number other than 0) X £ U X = integer X = 0 or 1

80 New Office Furniture Example
No production can be negative; D ³ 0, C ³ 0, M ³ 0 To satisfy contract commitments; at least 100 desks, and due to the availability of seat cushions, no more than 500 chairs must be produced. D ³ 100, C £ 500 Quantities of desks and chairs produced during the production must be integer valued. D, C integers

81 Example Mathematical Model
MAXIMIZE Z = 50 D + 30 C + 6 M (Total Profit) SUBJECT TO: 7 D C M £ 2000 (Raw Steel) D ³ 100 (Contract) C £ 500 (Cushions) D, C, M ³ 0 (Nonnegativity) D, C are integers Best or Optimal Solution of New Office Example 100 Desks, 433 Chairs, 0.67 pounds Molded Steel Total Profit: $17,994

82 Classification of Mathematical Models
Classification by the model purpose Optimization models Prediction models Classification by the degree of certainty of the data in the model Deterministic models Probabilistic (stochastic) models

83 The Management Science Process
Management Science is a discipline that adopts the scientific method to provide management with key information needed in making informed decisions. The team concept calls for the formation of (consulting) teams consisting of members who come from various areas of expertise.

84 The Management Science Process
The four-step management science process (for details click on each button) Problem definition Mathematical modeling Solution of the model Communication/implementation of results

85 Example - Delta Hardware Stores Problem Statement
Delta Hardware Stores is a regional retailer with warehouses in three cities in California: San Jose in northern California, Fresno in central California, and Azusa in southern California. San Jose Fresno Azusa

86 Delta Hardware Stores Problem Statement
San Jose Each month, Delta restocks its warehouses with its own brand of paint. Delta has its own paint manufacturing plant in Phoenix, Arizona. Fresno Phoenix Azusa

87 Delta Hardware Stores Problem Statement
Although the plant’s production capacity is sometime inefficient to meet monthly demand, a recent feasibility study commissioned by Delta found that it was not cost effective to expand production capacity at this time. To meet demand, Delta subcontracts with a national paint manufacturer to produce paint under the Delta label and deliver it (at a higher cost) to any of its three California warehouses.

88 Delta Hardware Stores Problem Statement
Given that there is to be no expansion of plant capacity, the problem is to determine a least cost distribution scheme of paint produced at its manufacturing plant and shipments from the subcontractor to meet the demands of its California warehouses.

89 Delta Hardware Stores Variable Definition
Decision maker has no control over demand, production capacities, or unit costs. The decision maker is simply being asked, “How much paint should be shipped this month (note the time frame) from the plant in Phoenix to San Jose, Fresno, and Asuza” and “How much extra should be purchased from the subcontractor and sent to each of the three cities to satisfy their orders?”

90 Delta Hardware Stores: Decision Variables
X1 : amount of paint shipped this month from Phoenix to San Jose X2 : amount of paint shipped this month from Phoenix to Fresno X3 : amount of paint shipped this month from Phoenix to Azusa X4 : amount of paint subcontracted this month for San Jose X5 : amount of paint subcontracted this month for Fresno X6 : amount of paint subcontracted this month for Azusa

91 National Subcontractor X4 San Jose X5 X6 Fresno X2 X1 X3 Azusa Phoenix

92 Delta Hardware Stores Model Shell
The objective is to minimize the total overall monthly costs of manufacturing, transporting and subcontracting paint, subject to: The Phoenix plant cannot operate beyond its capacity The amount ordered from subcontractor cannot exceed a maximum limit The orders for paint at each warehouse will be fulfilled

93 Delta Hardware Stores Model Shell
To determine the overall costs: The manufacturing cost per 1000 gallons of paint at the plant in Phoenix (M) The procurement cost per 1000 gallons of paint from National Subcontractor (C) The respective truckload shipping costs form Phoenix to San Jose, Fresno, and Azusa (T1, T2, T3) The fixed purchase cost per 1000 gallons from the subcontractor to San Jose, Fresno, and Azusa (S1, S2, S3)

94 Delta Hardware Stores: Objective Function
MINIMIZE (M + T1) X1 + (M + T2) X2 + (M + T3) X3 + (C + S1) X4 + (C + S2) X5 + (C + S3) X6

95 Delta Hardware Stores Constraints
To write to constraints, we need to know: The capacity of the Phoenix plant (Q1) The maximum number of gallons available from the subcontractor (Q2) The respective orders for paint at the warehouses in San Jose, Fresno, and Azusa (R1, R2, R3)

96 Delta Hardware Stores Constraints
The number of truckloads shipped out from Phoenix cannot exceed the plant capacity: X1 + X2 + X3 £ Q1 The number of thousands of gallons ordered from the subcontrator cannot exceed the order limit: X4 + X5 + X6 £ Q2 The number of thousands of gallons received at each warehouse equals the total orders of the warehouse: X1 + X4 = R1 X2 + X5 = R2 X3 + X6 = R3 All shipments must be nonnegative and integer: X1, X2, X3, X4, X5, X6 ³ 0 X1, X2, X3, X4, X5, X6 integer

97 Delta Hardware Stores Data Collection and Model Selection
Respective Orders; R1 = R2 = R3 = 5000 Capacity; Q1 = Q2 = 5000 Subcontractor price per 1000; C = $5000 Cost of production per 1000; M = $3000

98 Delta Hardware Stores Data Collection and Model Selection
Transportation costs per 1000; Subcontractor; S1 = $1200 S2 = $1400 S3 = $1100 Phoenix Plant; T1 = $1050 T2 = $750 T3 = $650

99 Delta Hardware Stores Model
MINIMIZE X X X3 + 6200 X X X6 SUBJECT TO: X1 + X2 + X3 £ 8000 X4 + X5 + X6 £ 5000 X1 + X4 = 4000 X2 + X5 = 2000 X3 + X6 = 5000 X1, X2, X3, X4, X5, X6 ³ 0 X1, X2, X3, X4, X5, X6 integer

100 Delta Hardware Stores Solutions
X1 = 1,000 gallons X2 = 2,000 gallons X3 = 5,000 gallons X4 = 3,000 gallons X5 = 0 X6 = 0 Cost = $48,400

101 Using Spreadsheets in Management Science Models
Spreadsheets have become a powerful tool in management science modeling. Several reasons for the popularity of spreadsheets: Data are submitted to the modeler in spreadsheets Data can be analyzed easily using statistical (Data Analysis Statistical Package) and mathematical tools (Solver Optimization Package) readily available in the spreadsheet. Data and information can easily be displayed using graphical tools.

102 Case em Logística Uma empresa está planejando expandir suas atividades abrindo dois novos Armazéns, sendo que há três Locais sob estudo para a instalação destes armazéns (Figura 1 adiante). Quatro Clientes devem ter atendidas suas Demandas: 50, 100, 150 e 200. As Capacidades de Armazenagem em cada local são: 350, 300 e 200. Os Investimentos Iniciais em cada armazém são: $50, $75 e $90. Os Custos Unitários de Operação em cada armazém são: $5, $3 e $2. Admita que quaisquer dois locais são suficientes para atender toda a demanda existente, mas o Local 1 só pode atender Clientes 1, 2 e 4; o Local 3 pode atender Clientes 2, 3 e 4; enquanto o Local 2 pode atender todos os Clientes. Os Custos Unitários de Transporte do Local i ao Cliente j (Cij) estão dados na Figura 1. Deseja-se selecionar os locais apropriados para a instalação dos armazéns que forma a minimizar o custo total.

103 Rede Logística, com Demandas (Clientes), Capacidades (Armazéns) e Custos de Transporte (Armazém-Cliente) C12=9 A1=350 C2 = 100 C11=13 C22=7 C21=10 A2 =300 C14=12 C1 = 50 C32=2 C23=11 C3=150 C24=4 C33=13 C4=200 A3=200 C34=7 Figura 1

104 i  {1, 2, 3} Variáveis de Decisão:
Xij = Quantidade Enviada do Armazém i ao Cliente j Li é variável binária, sendo i  {1, 2, 3} Função Objetivo: Minimizar CT = Custo Total CT = 50L1 + 5(X11 + X12 + X14) + 13X11 + 9X X14 + + 75L2 + 3(X21+X22+X23+X24) + 10X21+7X22+11X23+4X24 + + 90L3 + 2(X32 + X33 + X34) + 2X X33 + 7X34 1, se o armazém i for instalado 0, caso contrário

105 L1 + L2 + L3 = 2 Instalar 2 Armazéns X11 + X21 = 50
Restrições: sujeito a X11 + X12 + X14  350L1 X21 + X22 + X23 + X24  300L2 X32 + X33 + X34  200L3 L1 + L2 + L3 = Instalar 2 Armazéns X11 + X21 = 50 X12 + X22 + X32 = 100 X23 + X33 = 150 X14 + X24 + X34 = 200 Xij  0 0  Li  1, inteiros Produção Demanda Não - Negatividade Integralidade