2. Sinais e Sistemas Discretos

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1 2. Sinais e Sistemas Discretos
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR 2. Sinais e Sistemas Discretos Notação: x[n]  Discreto x(t)  Contínuo Sinal Amostrado xa(t) Sinal Contínuo x(t) t (ms) Sinal Discreto x[n]=x(n.T) n Sinal Digital xq[n] n(amostras)

2 Sistemas: x(t) y(t) H(s) Contínuo: xa(t) ya(t) H(z) Amostrado: x[n]
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Sistemas: x(t) y(t) H(s) Contínuo: Ex.: Filtros ativos e passivos xa(t) ya(t) H(z) Amostrado: Ex.: Filtros a capacitor chaveado x[n] y[n] H(z) Discreto: Ex.: Filtros digitais com Precisão Infinita xq[n] yq[n] Hq(z) Digital: Ex.: Filtros digitais com Precisão Finita

3 Sinais Discretos: Sequência de números reais ou complexos.
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Sinais Discretos: Sequência de números reais ou complexos. Ex.: x[n]={..., 1.3, 1.6, 2.0, 1.8, } x[n] não é definido para n não-inteiro

4 2.1.1. Sequências Básicas e Operações
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Sequências Básicas e Operações Soma: z[n]=x[n]+y[n] Produto: z[n]=x[n].y[n] Escalamento: y[n]=.x[n] Operações realizadas amostra a amostra Deslocamento: y[n]=x[n-no]

5 Sinais Discretos Básicos:
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Sinais Discretos Básicos: Impulso Unitário: (Delta de Dirac) Sinal arbitrário: p[n]=a-3[n+3]+a1[n-1]+a2[n-2]+a7[n-7]

6 Generalizando: -Degrau unitário: Analogamente:
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Generalizando: -Degrau unitário: Analogamente:

7 Função Exponencial Complexa: x[n]=A.n
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Função Exponencial Complexa: x[n]=A.n Se A e  forem números reais  x[n] será Real Considerando A real positivo Se >1 Se 0<<1 Se =1 Se -1<<0 Se  <-1

8 Se A e  forem números complexos  x[n] será Complexa
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Se A e  forem números complexos  x[n] será Complexa Considerando: Então: Euler: Logo:

9 Re{x[n]} Im{x[n]} ||<1 ||=1 ||>1 A=1
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR A=1 -10 -5 5 10 -2 2 4 alpha=.9/45 -4 -1 1 alpha=1/45 alpha=1.1/45 Re{x[n]} Im{x[n]} ||<1 ||=1 ||>1

10 Propriedades das exponenciais complexas
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Propriedades das exponenciais complexas Sinal Contínuo: Nota-se que: - Aumentando 0  Aumenta taxa de oscilação - p/  0  é sempre periódica - em um tempo T existem infinitas senóides completas Sinal Discreto: - Aumentando 0 de 2: Conclusão: Repetição dos sinais em 2., 4. ,... Exponenciais complexas discretas necessitam serem consideradas no intervalo (0,2.) ou (-, ).

11 0=0 0=/6 0=/3 0=/2 0= 0=3/2 0=5/3 0=11/6 0=2
2 4 6 8 10 12 -1 1 0=0 0=/6 0=/3 0=/2 0= 0=3/2 0=5/3 0=2 0=11/6 TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR

12 Logo: Baixas Frequências  0 próximo de 0 ou 2
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Logo: Baixas Frequências  0 próximo de 0 ou 2 Altas Frequências  0 próximo de  Propriedade 2: Para um sinal ser periódico com período N é necessário que: x[n]=x[n+N] para todo n Então: Logo: m Ou: Não é periódico p/  0!!!!

13 Definindo: Período Fundamental: Frequência Fundamental:
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Definindo: Período Fundamental: Frequência Fundamental: Sinais harmonicamente relacionados: Contínuo: Logo: existem  funções diferentes periódicas em T

14 Logo: Existem apenas N funções periódicas diferentes
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR No caso Discreto: Logo: Existem apenas N funções periódicas diferentes que possuem período N. p/ N=4 k=0 k=1 k=2 k=3 2 4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 k=0 N=4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 k=1 N=4 k=2 N=4 k=3 N=4

15 Exemplos: São periódicas as seguintes funções?
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Exemplos: São periódicas as seguintes funções? 1) 2) 3)

16 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR
2.2. Sistemas Discretos Um sistema discreto é uma transformação ou operação que mapeia um sequência de entrada x[n] em uma sequência de saída y[n] y[n]=T{x[n]} T{} x[n] y[n]

17 n0 > 0 Sistema de atraso n0 < 0 Sistema de avanço y[n]=x[n-n0]
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Ex.: Sistema de Atraso n0 > 0 Sistema de atraso n0 < 0 Sistema de avanço y[n]=x[n-n0] Ex.: Média Móvel (Moving Average - MA) Na figura: M1=0 M2=5

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Sistemas Sem-Memória Um sistema é dito sem memória se a saída y[n] a cada valor de n depende somente da entrada x[n] p/ mesmo valor de n. Ex.: y[n]=x[n]2 Atraso? Média Móvel?

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Sistemas Lineares Um sistema é dito linear se obedece ao Princípio da Superposição: Dado: y1[n]=T{x1[n]} e y2[n]=T{x2[n]} Aditividade: T{x1[n]+x2[n]}=T{x1[n]}+T{x2[n]} Homogeneidade: T{a.x[n]}=a.T{x[n]} Então: Linearidade: T{a.x1[n]+b.x2[n]}=a.T{x1[n]}+b.T{x2[n]} Ex.: Acumulador, logaritmo

20 2.2.3. Sistemas Invariantes no Tempo
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Sistemas Invariantes no Tempo Certo: Sistemas invariantes ao deslocamento Um sistema Invariante no Tempo é aquele que um deslocamento no sinal de entrada causa um correspondente deslocamento no sinal de saída. Se: y[n]=T{x[n]} Então: y[n-n0]=T{x[n-n0]} Ex.: Acumulador, Compressor

21 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR
Causalidade Um sistema é dito causal se uma amostra y[n0] depende de y[n] e/ou x[n] para nn0. Isto é, não depende de valores futuros. Sistema não-antecipativo. Ex.: Forward Difference: y[n]=x[n+1]-x[n] Não-Causal Backward Difference: y[n]=x[n]-x[n-1] Causal

22 2.2.5. Estabilidade Diversos critérios...
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Estabilidade Diversos critérios... Critério BIBO (Bounded Input – Bounded Output) Sistema é estável se para toda sequência de entrada limitada esse sistema produz uma saída também limitada. x[n] é limitado se: |x[n]|Bx< para todo n y[n] é limitado se: |y[n]|By< para todo n O sistema é estável se y[n] é limitado para todo e qualquer sinal x[n] limitado. Basta encontrar um caso que não cumpra a condição para o sistema ser considerado instável.

23 Exemplos: 1) y[n]=x[n]2 2) y[n]=log(x[n]) 3)Acumulador
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Exemplos: 1) y[n]=x[n]2 2) y[n]=log(x[n]) 3)Acumulador

24 2.3. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo - LTI
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR 2.3. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo - LTI Dado: Se o sistema é Linear : hk[n] é a resposta ao impulso do sistema no instante k. h[n]=T{[n]}

25 Se o sistema é Invariante no Tempo:
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Se o sistema é Invariante no Tempo: Logo para sistemas LTI: O sistema T{} é completamente caracterizado pela sua resposta ao impulso h[n]. Soma de Convolução.

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Soma de Convolução: Mesma interpretação da integral de convolução dos sistemas contínuos Porém com senso mais prático, pois será usada para Implementar sistemas, ao contrário da integral de convolução que é de senso mais teórico.

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Interpretação 1 : Soma das respostas ao impulso do sistema, ponderadas e deslocadas.

28 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR
Interpretação 2:

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30 2.4. Propriedades dos Sistemas LTI
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR 2.4. Propriedades dos Sistemas LTI Comutatividade: x[n]*h[n] = h[n]*x[n] Demonstrar... h1[n] h2[n] x[n] y[n] h2[n] h1[n] x[n] y[n] h1[n]*h2[n] x[n] y[n]

31 Distributividade: Provar... x[n]*(h1[n]+h2[n])=x[n]*h1[n]+x[n]*h2[n]
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Distributividade: Provar... x[n]*(h1[n]+h2[n])=x[n]*h1[n]+x[n]*h2[n] h1[n] h2[n] + x[n] y[n] h1[n]+h2[n] x[n] y[n]

32 Estabilidade: Critério BIBO: Um sistema LTI é estável se e somente se
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Estabilidade: Critério BIBO: Um sistema LTI é estável se e somente se Sua resposta ao impulso for absolutamente somável. Provar...

33 Causalidade h[n]=0 , n<0
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Causalidade O sistema é causal se sua resposta ao impulso for um sinal causal. Sistema não-antecipativo. h[n]=0 , n<0 Provar....

34 O sistema h2[n] é dito sistema inverso de h1[n]
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Sistema Inverso h1[n] h2[n] x[n] y[n] z[n] O sistema h2[n] é dito sistema inverso de h1[n] se z[n]=x[n] Logo: h[n]=h1[n]*h2[n]=[n] Pois: x[n]*[n]=x[n]

35 Analisar os sistemas, calculando suas h[n] e classificando-os
TE-708 Processamento Digital de Sinais UFPR Exercícios: Analisar os sistemas, calculando suas h[n] e classificando-os segundo os tipos de sistemas estudados: Atraso Ideal: y[n]=x[n-n0] Média Móvel: Acumulador: Forward Difference: y[n]=x[n+1]-x[n] Backward Difference: y[n]=x[n]-x[n-1] Compressor: y[n]=x[M.n]