Cálculo combinatório Prof. Jorge.

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1 Cálculo combinatório Prof. Jorge

2 Princípios de contagem
Os elementos de um conjunto finito podem ser agrupados de várias formas, de acordo com os critérios utilizados na formação dos agrupamentos. O objetivo do cálculo combinatório é determinar de quantas maneiras diferentes podem ser formados os vários tipos de agrupamentos. Os processos de contagem se baseiam em dois princípios fundamentais, que passaremos a estudar agora. Prof. Jorge

3 Princípios de contagem
Princípio Aditivo de contagem; Princípio multiplicativo de contagem. Prof. Jorge

4 Princípio aditivo de contagem
Vamos considerar o seguinte problema Suponhamos que para se deslocar de casa até o trabalho, uma pessoa tenha as seguintes alternativas: Um de seus dois automóveis (A1 e A2); Uma das três linhas de ônibus que fazem o trajeto (O1, O2 e O3); O metrô (M). Prof. Jorge

5 Princípio aditivo de contagem
De quantas maneiras diferentes ela poderia escolher o seu transporte? hipóteses: Automóvel ou Ônibus ou Metrô opções: A1 A2 O1 O2 O3 M 2 opções 3 opções 1 opção Portanto, a pessoa pode ir para o trabalho de: = 6 maneiras diferentes Prof. Jorge

6 Princípio aditivo de contagem
Suponhamos que existam duas hipóteses para ocorrer um evento. Se houver m opções para a primeira hipótese e n opções para a segunda hipótese, o evento pode ocorrer de m + n maneiras diferentes. Esse princípio se estende para o caso de três ou mais hipóteses. Prof. Jorge

7 Princípio multiplicativo de contagem
Vamos considerar o seguinte problema Suponhamos que um estudante pretenda escolher um conjunto tênis – calça - camiseta para ir à escola e que ele tenha como alternativas, Dois pares de tênis (T1 e T2); Quatro calças jeans (J1, J2, J3 e J4); Três camisetas (C1, C2 e C3). Prof. Jorge

8 Princípio multiplicativo de contagem
De quantas maneiras diferentes ela poderia fazer sua escolha? Etapas: Tênis e Jeans e camiseta opções: T1 T2 J1 J2 J3 J4 C1 C2 C3 2 opções 4 opções 3 opções Portanto, a pessoa pode fazer sua escolha de: = 24 maneiras diferentes Prof. Jorge

9 Árvores de possibilidades
1ª etapa: escolha do tênis 2ª etapa: escolha do jeans 3ª etapa: escolha da camiseta Resultado C1 T1J1C1 C2 T1J1C2 J1 C3 T1J1C3 C1 T1J2C1 J2 C2 T1J2C2 C3 T1J2C3 T1 C1 T1J3C1 J3 C2 T1J3C2 C3 T1J3C3 C1 T1J4C1 C2 T1J4C2 J4 C3 T1J4C3 Prof. Jorge

10 Árvores de possibilidades
1ª etapa: escolha do tênis 2ª etapa: escolha do jeans 3ª etapa: escolha da camiseta Resultado C1 T2J1C1 C2 T2J1C2 J1 C3 T2J1C3 C1 T2J2C1 J2 C2 T2J2C2 C3 T2J2C3 T2 C1 T2J3C1 J3 C2 T1J3C2 C3 T2J3C3 C1 T2J4C1 C2 T2J4C2 J4 C3 T2J4C3 Prof. Jorge

11 Princípio multiplicativo de contagem
Suponhamos que um evento se componha de duas etapas independentes. Se a primeira etapa pode ocorrer de m maneiras e a segunda etapa, de n maneiras, então, o evento pode ocorrer de m . n maneiras diferentes. Esse princípio se estende para o caso de três ou mais etapas. Prof. Jorge

12 Princípios de contagem
Os princípios aditivo e multiplicativo são a base para resolução de problemas de cálculo combinatório. Por isso, deve ficar muito clara a distinção entre os dois princípios. A conjunção ou liga duas hipóteses e está associado à adição. A conjunção e liga duas etapas e está associado à multiplicação. Prof. Jorge

13 escolha do refrigerante
Exemplos A cantina do meu colégio vende 4 tipos de salgados e 5 marcas de refrigerante. De quantas formas distintas posso escolher meu lanche (um salgado e um refrigerante)? O evento se compõe de duas etapas: 1ª etapa 2ª etapa escolha do salgado e escolha do refrigerante 4 opções 5 opções Pelo, P.M.C., temos = 20 maneiras diferentes Prof. Jorge

14 Exemplos Uma igreja tem 4 portas. Quando vai lá, Marisa sempre entra por uma porta e sai por outra. De quantas formas diferentes ela pode fazer isso? O evento se compõe de duas etapas: 1ª etapa 2ª etapa entrada e saída 4 opções 3 opções Pelo, P.M.C., temos = 12 maneiras diferentes Prof. Jorge

15 Exemplos Valéria mora num país muito desenvolvido. Há várias estradas que ligam sua cidade A a duas cidades vizinhas B e C. Valéria vai muito à cidade B. Às vezes sem passar por C; outras vezes, passando primeiro por C. Quantos trajetos diferentes ela pode fazer? A B C Prof. Jorge

16 Exemplos Valéria mora num país muito desenvolvido. Há várias estradas que ligam sua cidade A a duas cidades vizinhas B e C. Valéria vai muito à cidade B. Às vezes sem passar por C; outras vezes, passando primeiro por C. Quantos trajetos diferentes ela pode fazer? O evento se compõe de duas hipóteses: 1ª hipótese 2ª hipótese A → C A → B 3 trajetos ou e 2 . 3 = 6 2 trajetos 4 trajetos C → B Valéria poderá fazer = 10 trajetos diferentes. Prof. Jorge

17 Exemplos Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos? O evento se compõe de duas hipóteses: 1ª hipótese 2ª hipótese 3 algarismos ou 4 algarismos 3 etapas 4 etapas Prof. Jorge

18 Exemplos Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos? Números de 3 algarismos: 1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 1º alg. 2º alg. 3º alg. 7 opções 7 opções 7 opções Pelo, P.M.C., são = 343 números de 3 algarismos Prof. Jorge

19 Exemplos Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos? Números de 4 algarismos: 1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 4ª etapa 1º alg. 2º alg. 3º alg. 4º alg. 7 opções 7 opções 7 opções 7 opções Pelo, P.M.C., são = números de 4 algarismos Podemos formar = = números Prof. Jorge

20 Exemplos Utilizando apenas os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, e 9, quantos números naturais maiores que e de 4 algarismos distintos podemos formar? O evento se compõe de quatro etapas: 1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 4ª etapa 1º alg. 2º alg. 3º alg. 4º alg. 2 opções 5 opções 4 opções 3 opções Pelo, P.M.C., temos = 120 números Prof. Jorge

21 Observação Quando trabalhamos com os elementos de um conjunto, o princípio multiplicativo só é válido quando for importante a ordem de escolha dos elementos. Prof. Jorge

22 Exemplo A partir de um grupo de 4 pessoas (A, B, C e D), de quantas maneiras diferentes podemos formar uma comissão de 2 pessoas? O evento se compõe de duas etapas: 1ª etapa 2ª etapa escolha do 1º membro escolha do 2º membro 4 opções 3 opções Pelo, P.M.C., temos 4.3 = 12 comissões (incorreto) Prof. Jorge

23 Exemplo A partir de um grupo de 4 pessoas (A, B, C e D), de quantas maneiras diferentes podemos formar uma comissão de 2 pessoas? Veja as hipóteses reais (A, B) 1ª comissão (C, A) igual à 2ª (A, C) 2ª comissão (C, B) igual à 4ª (A, D) 3ª comissão (C, D) 6ª comissão (B, A) igual à 1ª (D, A) igual à 3ª (B, C) 4ª comissão (D, B) igual à 5ª (B, D) 5ª comissão (D, C) igual à 6ª Na verdade, a comissão pode ser formada de 6 maneiras diferentes. Prof. Jorge

24 Agrupamentos ordenados e não-ordenados
Prof. Jorge

25 Agrupamentos O objetivo do cálculo combinatório é contar. É descobrir de quantas formas diferentes podem ser agrupados os elementos de um conjunto finito, sob certas condições definidas previamente. Agrupamentos em que é importante a ordem em que seus elementos são dispostos são chamados agrupamentos ordenados. Agrupamentos em que não é importante a ordem em que os elementos são dispostos são chamados agrupamentos não-ordenados. Prof. Jorge

26 Exemplos A partir de um grupo de 5 estudantes (A, B, C, D e E), quais são as possíveis maneiras de se formar uma comissão de 3 pessoas? Pretende-se simplesmente escolher 3 pessoas entre as 5 disponíveis, não importando a ordem em que elas são dispostas. {A, B, C} {A, B, D} {A, B, E} {A, C, D} {A, C, E} {A, D, E} {B, C, D} {B, C, E} {B, D, E} {C, D, E} Há 10 maneiras possíveis de se formar a comissão. Cada uma delas é um agrupamento não-ordenado. Prof. Jorge

27 Exemplos A partir do mesmo grupo de 5 estudantes (A, B, C, D e E), quais são as possíveis maneiras de se formar a diretoria do grêmio estudantil, composta de presidente (P), vice-presidente (V) e tesoureiro (T)? (A, B, C) (A, C, B) (B, A, C) (B, C, A) (C, A, B) (C, B, A) (A, B, D) (A, D, B) (B, A, D) (B, D, A) (D, A, B) (D, B, A) (A, B, E) (A, E, B) (B, A, E) (B, E, A) (E, A, B) (E, B, A) (A, C, D) (A, D, C) (C, A, D) (C, D, A) (D, A, C) (D, C, A) (A, C, E) (A, E, C) (C, A, E) (C, E, A) (E, A, C) (E, C, A) (A, D, E) (A, E, D) (D, A, E) (D, E, A) (E, A, D) (E, D, A) (B, C, D) (B, D, C) (C, B, D) (C, D, B) (D, B, C) (D, C, B) (B, C, E) (B, E, C) (C, B, E) (C, E, B) (E, B, C) (E, C, B) (B, D, E) (B, E, D) (D, B, E) (D, E, B) (E, B, D) (E, D, B) (C, D, E) (C, E, D) (D, C, E) (D, E, C) (E, C, D) (E, D, C) Prof. Jorge

28 Exemplos Um grupo tem 5 pessoas (A, B, C, D, E). A seguir aparecem critérios para agrupá-los. Identifique se cada agrupamento é ordenado ou não-ordenado. a) Escolher 3 pessoas para irem a uma festa. NO b) Definir os 5 primeiros colocados num concurso. O c) Colocar 5 pessoas em fila. O d) Dar um mesmo presente a 4 dessas pessoas. NO e) Dar 4 presentes diferentes a 4 dessas pessoas. O Prof. Jorge

29 Exemplos Analise, em cada caso, se os agrupamentos são ordenados ou não-ordenados a) Números de 3 algarismos, formados a partir dos algarismos 3, 4, 7, 8 e 9. Ord. b) Códigos de 4 símbolos, escolhidos entre os elementos do conjunto {1, 3, 7, a, b, c}. Ord. c) Grupos de 5 alunos, escolhidos entre os 40 de uma sala, para participarem de um evento. N-Ord. Prof. Jorge

30 Exemplos Analise, em cada caso, se os agrupementos são ordenados ou não-ordenados d) Formas diferentes de colocar 10 livros lado a lado, em uma prateleira. Ord. e) Misturas obtidas juntando-se volumes iguais de 3 líquidos, escolhidos entre 6 disponíveis. N-Ord. f) Retas que podem ser formadas, ligando-se 2 a 2 um conjunto de 5 pontos não-alinhados. N-Ord. Prof. Jorge

31 Permutação simples Prof. Jorge

32 Permutação simples Quantas e quais são as formas diferentes que 4 pessoas (A, B, C, D) podem ser colocadas em fila? Veja as possibilidades ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA CABD CABD CBAD CBDA CDAB CDBA DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA No total são 24 maneiras diferentes. ⇒ P4 = 24 Dizemos que cada um desses agrupamentos ordenados é uma permutação simples de 4 elementos. Prof. Jorge

33 Permutação simples Permutação simples dos n elementos de um conjunto A é cada agrupamento ordenado que contém, sem repetição, os n elementos de A. O número de permutações simples de n elementos é indicado por Pn. Prof. Jorge

34 Cálculo no total de permutação simples
A formação de todas as permutações simples de n elementos envolve n etapas, veja A → n elementos Etapas: E1 E2 E3 ... En Opções: n n – 1 n – 2 ... 1 Pn = n(n – 1)(n – 2) Prof. Jorge

35 Exemplos O número de permutações simples de 6 elementos é P6
= = 720 O número de permutações simples de 5 elementos é P5 = = 120 O número de permutações simples de 4 elementos é P4 = = 24 P3 = = 6 Prof. Jorge

36 Exemplos Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. Qual é o total de anagramas? Quantos começam por consoante e terminam por vogal? Quantos têm as letras R, S, O juntas, nesta ordem? Quantos têm as letras R, S, O juntas, em qualquer ordem? Prof. Jorge

37 Exemplos Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. a) Qual é o total de anagramas? P8 = = anagramas Prof. Jorge

38 Exemplos Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. b) Quantos começam por consoante e terminam por vogal? A palavra tem 4 vogais e 4 consoantes. Cons. Vogal 4 opç. 4 opç. P6 P6 = = Prof. Jorge

39 Exemplos Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. c) Quantos têm as letras R, S, O juntas, nesta ordem? U N I V E RSO P6 P6 = = 720 Prof. Jorge

40 Exemplos Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. d) Quantos têm as letras R, S, O juntas, em qualquer ordem? P3 U N I V E RSO P6 P3 . P6 = = 4320 Prof. Jorge

41 Arranjo simples Prof. Jorge

42 Ordenamos os alg. escolhidos
Arranjo simples Com os algarismos 2, 4, 5 e 8 vamos formar todos os números possíveis de 3 algarismos distintos. Qual o total deles? Para formar cada número temos duas etapas: Escolhemos 3 algarismos Ordenamos os alg. escolhidos 2, 4, 5 245 254 425 452 524 542 2, 4, 8 248 284 428 482 824 842 2, 5, 8 258 285 528 582 825 852 4, 5, 8 458 485 548 584 845 854 Dizemos que cada um desses números é um arranjo simples de 4 elementos, tomados 3 a 3. Prof. Jorge

43 Arranjo simples Arranjo simples dos n elementos de um conjunto A, tomados p a p (p ≤ n), é cada agrupamento ordenado que contém, sem repetição, p elementos de A. O número de arranjos simples de n elementos, tomados p a p, é indicado por An,p. No nosso exemplo, A4,3 = 24 Prof. Jorge

44 Cálculo no total de Arranjo simples
A formação de todos os arranjos simples de n elementos, tomados p a p, envolve p etapas, veja A → vamos escolher p entre os n elementos. Etapas: E1 E2 E3 ... Ep Opções: n n – 1 n – 2 ... n – (p – 1) An,p = n(n – 1)(n – 2) (n – p + 1) Prof. Jorge

45 Cálculo no total de Arranjo simples
No cálculo de An,p é importante perceber os significados de n e p. n → primeiro fator An,p p → número de fatores Prof. Jorge

46 Exemplos 1.º fator → 4 A4,3 = = 24 Número de fatores → 3 1.º fator → 8 A8,5 = = 6 720 Número de fatores → 5 1.º fator → n An+1,3 = (n + 1)n(n – 1) Número de fatores → 3 An,p é o produto dos p números naturais consecutivos tomados decrescentemente a partir de n. Prof. Jorge

47 Exemplos Formei todos os arranjos simples com os elementos de um conjunto A, tomados 2 a 2. Eram 90 arranjos. Quantos são os elementos de A? An,2 = 90 ⇒ n(n – 1) = 90 ⇒ n = 10 Prof. Jorge

48 Exemplos Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar De 4 algarismos? Ímpares, de 3 algarismos? Maiores que ? Prof. Jorge

49 Exemplos Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar a) De 4 algarismos? A7,4 = = 840 Prof. Jorge

50 Exemplos Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar b) Ímpares, de 3 algarismos? ímpar 5 opções A6,2 5 . A6,2 = = 150 Prof. Jorge

51 Exemplos Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar c) Maiores que ? Nesse caso, há três hipóteses: 1.ª hipótese: números de 5 algarismos 2 opções (7 ou 9) A6,4 2 . A6,4 = = 150 Prof. Jorge

52 Exemplos Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar c) Maiores que ? Nesse caso, há três hipóteses: 2.ª hipótese: números de 6 algarismos A7,6 = = 5 040 Prof. Jorge

53 Exemplos Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar c) Maiores que ? Nesse caso, há três hipóteses: 3.ª hipótese: números de 7 algarismos A7,7 = P7 = = 5 040 Prof. Jorge

54 Exemplos Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar c) Maiores que ? 1.ª hipótese: 720 2.ª hipótese: 5 040 3.ª hipótese: 5 040 Total: = Prof. Jorge

55 Exemplos Um torneio de futebol é disputado por 8 equipes: A, B, C, D, E, F, G e H. Quantas são as alternativas de definição dos 4 primeiros colocados? Se a equipe E já foi declarada campeã antecipadamente, quantas são as alternativas de definição do 2.º ao 4.º colocado? Prof. Jorge

56 Exemplos Um torneio de futebol é disputado por 8 equipes: A, B, C, D, E, F, G e H. a) Quantas são as alternativas de definição dos 4 primeiros colocados? A8,4 = = 1 680 b) Se a equipe E já foi declarada campeã antecipadamente, quantas são as alternativas de definição do 2.º ao 4.º colocado? A7,3 = = 210 Prof. Jorge

57 Combinação simples Prof. Jorge

58 Combinação simples Tenho 5 amigos (A, B, C, D, E) e quero convidar 3 deles para a festa de meu aniversário. Quantas alternativas tenho? O meu problema é escolher apenas 3 dos 5 amigos. {A, B, C} {A, B, D} {A, B, E} {A, C, D} {A, C, E} {A, D, E} {B, C, D} {B, C, E} {B, D, E} {C, D, E} No total são 10 maneiras diferentes. ⇒ C5,3 = 10 Dizemos que cada um desses agrupamentos é uma combinação simples de 5 elementos, tomados 3 a 3. Prof. Jorge

59 Combinação simples Combinação simples dos n elementos de um conjunto A, tomados p a p (p ≤ n), é cada agrupamento não-ordenado que contém, sem repetição, p elementos de A. O número de combinações simples de n elementos, tomados p a p, é indicado por Cn,p. Prof. Jorge

60 Cálculo no total de Combinações simples
O cálculo do número de combinações simples está relacionado ao cálculo do número de arranjos simples e de permutações simples. A formação de arranjos simples envolve duas etapas: 1ª etapa 2ª etapa Resultado Formação das combinações simples Formação das permutações simples Formação dos arranjos simples An,p Cn,p . Pp = An,p ⇒ Cn,p = Pp Prof. Jorge

61 Exemplos A10,4 C10,4 = = = 210 P4 A12,3 C12,3 = = = 220 P3 3.2.1 An – 1,2 (n – 1).(n – 2) Cn – 1,2 = = P2 2 Prof. Jorge

62 Exemplos Duas pessoas de um grupo de amigos serão escolhidas para cuidarem dos preparativos de uma festa. A escolha pode ser feita de 21 modos diferentes. Quantas pessoas há no grupo? An,2 Cn,2 = 21 ⇒ = 21 P2 n.(n – 1) ⇒ = 21 2 ⇒ n.(n – 1) = 42 ⇒ n = 7 Prof. Jorge

63 Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: 5 pessoas? 7 pessoas, com exatamente 3 professores? 4 pessoas, com pelo menos 3 professores? 3 pessoas, com pelo menos 1 professor? Prof. Jorge

64 Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: a) 5 pessoas? A11,5 C11,5 = = = 462 P5 Prof. Jorge

65 Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: b) 7 pessoas, com exatamente 3 professores? 1ª etapa 2ª etapa Escolher 4 alunos Escolher 3 professores C7,4 C4,3 4.3.2 C7,4 . C4,3 = . = = 140 3.2.1 Prof. Jorge

66 Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: c) 4 pessoas, com pelo menos 3 professores? Temos 2 hipóteses: 1ª etapa 2ª etapa 1ª hipótese: Escolher 1 aluno Escolher 3 professores C7,1 C4,3 4.3.2 C7,1 . C4,3 = . 7 = 7 . 4 = 28 3.2.1 Prof. Jorge

67 Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: c) 4 pessoas, com pelo menos 3 professores? Temos 2 hipóteses: 2ª hipótese: Escolher 4 professores C4,4 = = 1 Pelo princípio aditivo, = 29 maneiras Prof. Jorge

68 Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: d) 3 pessoas, com pelo menos 1 professor? Total de comissões de 3 pessoas Total de comissões de 3 pessoas, só com alunos menos 7.6.5 C11,3 = = 165 C7,3 = = 35 3.2.1 3.2.1 165 – 35 = 130 maneiras. Prof. Jorge

69 Exemplos Duas retas r e s são paralelas. Tomam-se 5 pontos em r e 6 pontos em s. Com vértices nesses pontos, quantos triângulos e quantos quadriláteros convexos podemos construir? Veja a ilustração da situação. r s Prof. Jorge

70 Exemplos Duas retas r e s são paralelas. Tomam-se 5 pontos em r e 6 pontos em s. Com vértices nesses pontos, quantos triângulos e quantos quadriláteros convexos podemos construir? Total de triângulos. (2 pontos de r e 1 de s) ou (1 ponto de r e 2 de s) C5,2 . C6,1 C5,1 . C6,2 + 5.4 6.5 . 6 5 . 2.1 2.1 C5,2 . C6,1 + C5,1 . C6,2 = = 135 Prof. Jorge

71 Exemplos Duas retas r e s são paralelas. Tomam-se 5 pontos em r e 6 pontos em s. Com vértices nesses pontos, quantos triângulos e quantos quadriláteros convexos podemos construir? Total de quadriláteros é obtido escolhendo-se 4 pontos, sendo 2 de r e 2 de s. 5.4 6.5 C5,2 . C6,2 = . = = 150 2.1 2.1 Prof. Jorge

72 Distinguindo permutações, arranjos e combinações simples
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73 Arranjos, combinações ou permutações?
Critério de formação Tipo de agrupamento Nome do agrupamento Só ordenar os elementos (todos) Ordenado Permutação Só escolher os elementos Não-ordenado Combinação Escolher e ordenar os escolhidos Ordenado Arranjo Prof. Jorge