Método Simplex (Noções iniciais) Sistemas de Equações Lineares

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1 Método Simplex (Noções iniciais) Sistemas de Equações Lineares
Pesquisa Operacional

2 Problema Um marceneiro deseja estabelecer uma programação diária de produção. A sua oficina produz: mesas e armários, ambos de um só modelo. A marcenaria tem limitações de madeira (12 m2) e de horas (8 horas). Para fabricar uma mesa a fábrica gasta 2 m2 de madeira e 2 horas. Para fazer um armário, 3m2 de madeira e 1 hora. Cada mesa dá uma contribuição para o lucro de $4,00 e cada armário, $1,00. O seu objetivo é maximizar o lucro.

3 Modelo Variáveis de decisão ? Quantidade de mesas: x1
Quantidade de armário: x2 Função-objetivo: L= 4x1 + 1x2 Restrições: Madeira: 2x1 + 3x2 ≤ 12 Horas: 2x1 + 1x2 ≤ 8 Maximizar L = 4x1 + 1x2 Restrições: 2x1 + 3x2 ≤ 12 2x1 + 1x2 ≤ 8 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Utilização de madeira Utilização de horas

4 Solução por Sistemas de Equações Lineares
Introdução das variáveis de folga: Utilização do recurso ≤ disponibilidade Se introduzirmos o conceito de Folga de recurso: Utilização + folga = disponibilidade Assim: Utilização < disponibilidade implica folga > 0 Utilização = disponibilidade implica folga = 0

5 Solução por Sistemas de Equações Lineares
Assim, a folga de cada recurso pode ser representada por uma variável de forma exatamente igual à produção de cada produto: x3 : folga de madeira x4 : folga de mão-de-obra Temos então: Maximizar L = 4x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 Restrições: 2x1 + 3x2 + 1x = 12 2x1 + 1x x4 = 8 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0

6 Solução por Sistemas de Equações Lineares
1)Variáveis não básicas: x1 = 0 x2 = 0 Variáveis básicas: x3 = 12 x4 = 8 Lucro = 0 2)Variáveis não básicas: x1 = 0 x3 = 0 Variáveis básicas: x2 = 4 x4 = 4 Lucro = 4 3)Variáveis não básicas: x1 = 0 x4 = 0 Variáveis básicas: x2 = 8 x3 = -12 Inviável 4)Variáveis não básicas: x2 = 0 x3 = 0 Variáveis básicas: x1 = 6 x4 = -4 Inviável 5)Variáveis não básicas: x2 = 0 x4 = 0 Variáveis básicas: x1 = 4 x3 = 4 Lucro = 16 6)Variáveis não básicas: x3 = 0 x4 = 0 Variáveis básicas: x1 = 3 x2 = 2 Lucro = 14

7 Solução por Sistemas de Equações Lineares
x2 x1 2 3 5 6 4 1 7 8 Sistema 3: x1 = 0 x2 = 8 Sistema 6: x1 = 3 x2 = 2 Sistema 2: x1 = 0 x2 = 4 Sistema 4: x1 = 6 x2 = 0 Sistema 5: x1 = 4 x2 = 0 Sistema 1: x1 = 0 x2 = 0

8 Solução por Sistemas de Equações Lineares
A solução mostrou que a resolução de um problema de PL consiste em resolver Sistemas de Equações Lineares O procedimento apesar de funcionar corretamente, pode se tornar extremamente lento para problemas maiores