Análise Estatística Variáveis Aleatórias.

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1 Análise Estatística Variáveis Aleatórias

2 Variável Característica que pode ser observada (ou mensurada) nos elementos da população, devendo ter um e apenas um resultado para cada elemento observado.

3 Variáveis Qualitativas - O resultado da variável é uma resposta não numérica. Exemplo: sexo, grau de instrução etc. Quantitativas - O resultado é um número. Exemplo: idade, altura etc.

4 Variável Aleatória Quando os resultados de uma variável são determinados pelo acaso, trata-se de uma variável aleatória. “Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é determinado por fatores de chance.” Stevenson, W. (Estatística aplicada à administração)

5 Exemplos Selecionando-se uma pessoa de um município através de sorteio, o peso é uma variável aleatória. Sorteando-se uma empresa de um setor, o número de funcionários é uma variável aleatória.

6 Exemplo Lança-se uma moeda e verifica-se a face obtida (cara ou coroa). Face obtida - variável qualitativa - não é uma variável aleatória. Número de caras - variável aleatória associada à variável qualitativa estudada.

7 Distribuição de Probabilidades
A distribuição de probabilidades, ou modelo probabilístico, indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.

8 Exercício Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.

9 Distribuição de Probabilidades
Resultados Probabilidade Possíveis 0 0,5 1 0,5 Total 1

10 Distribuição de Probabilidades
0,50 k P(X=k) 0 0,5 1 0,5 Total 1

11 Exercício Considerando-se que 2 moedas tenham sido lançadas, construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.

12 Probabilidade Regra da Multiplicação
A probabilidade de que dois eventos independentes ocorram é igual à multiplicação das probabilidades individuais. P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B) U

13 Probabilidade Evento - Qualquer situação ou resultado que nos interessa. Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não alterar a probabilidade de ocorrência do outro.

14 Exercício Considerando-se que 2 moedas tenham sido lançadas, construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.

15 Exercício Resultados possíveis Coroa Coroa Cara Coroa Coroa Cara
Cara Cara Resultados numéricos 1 2 Probabilidade 0,5 x 0,5 = 0,25 1o lanç. 2o lanç.

16 Diagrama de Árvore cara coroa P = 0,25 cara P = 0,25 P = 0,25 coroa
2o lançamento 1o lançamento 0,5 cara coroa P = 0,25 cara 0,5 0,5 P = 0,25 0,5 0,5 P = 0,25 coroa P = 0,25 0,5

17 Distribuição de Probabilidades
Resultados Probabilidade Possíveis 0 0,25 1 0,50 2 0,25 Total 1

18 P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B)
Probabilidade Regra da Adição A probabilidade de que um entre dois eventos mutuamente excludentes ocorra é igual à soma das probabilidades individuais. P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B)

19 Probabilidade Dois eventos são mutuamente excludentes, ou exclusivos, se a ocorrência de um impedir a ocorrência do outro. Exemplo: No problema anterior, havia basicamente 4 resultados possíveis (KK, CK, KC e CC). Estas quatro situações são excludentes, isto é, somente uma delas poderá ocorrer.

20 Exercício Resultados possíveis Coroa Coroa Cara Coroa Coroa Cara
Cara Cara Resultados numéricos 1 2 Probabilidade 0,5 x 0,5 = 0,25 Soma = 1 1o lanç. 2o lanç.

21 Distribuição de Probabilidades
0,50 0,25 k P(X=k) 0 0,25 1 0,50 2 0,25 Total 1

22 Exercício Um grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de itens com defeito dentre 2 sorteados aleatoriamente.

23 Exercício Resultados possíveis Bom Bom Bom Def. Def. Bom Def. Def.
numéricos 1 2 Probabilidade 0,4 x 0,4 = 0,16 0,4 x 0,6 = 0,24 0,6 x 0,4 = 0,24 0,6 x 0,6 = 0,36 1o item 2o item

24 Exercício k P(X=k) 0 0,16 1 0,48 2 0,36 Total 1 0,48 0,36 0,16

25 Exercício Um grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente.

26 Exercício Res. poss. B B B B B D B D B D B B B D D D B D D D B D D D
Res. num. 1 2 3 Probabilidade 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064 0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096 0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216

27 Exercício k P(X=k) 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1 0 1 2 3
0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1 0,064 0,216 0,432 0,288

28 Valor Esperado O valor esperado, ou esperança, ou média, de uma distribuição de probabilidades corresponde à média dos resultados da variável aleatória quando o número de observações for muito grande.

29 Valor Esperado X P(X) x1 p1 x2 p2 ... ... xn pn E(X) = x =  (xi.pi)
xn pn Total 1 E(X) = x =  (xi.pi)

30 Variância X P(X) x1 p1 x2 p2 ... ... xn pn E(X) = x =  (xi.pi)
xn pn Total 1 E(X) = x =  (xi.pi) VAR(X) = x =  pi.(xi-x)2

31 Exercício - 1 Um grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número esperado de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente e o desvio padrão.

32 Exercício x =  itens x =  item k P(X=k) 0 0,064 1 0,288
0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1 x =  itens x =  item

33 Probabilida-de condi-cional
Regra da Multiplicação A probabilidade de que dois eventos não independentes ocorram é igual à multiplicação das probabilidades individuais. P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B / A) Probabilida-de condi-cional U

34 Probabilidade Condicional
P(B / A) - probabilidade do evento B ocorrer dado que o evento A tenha ocorrido.

35 Exemplo Um lote com 20 peças contém 4 defeituosas. Se forem retiradas duas peças do lote, qual é a probabilidade de serem retiradas: a) duas peças boas? b) duas peças defeituosas?

36 Exemplo B - Peça Boa D - Peça Defeituosa P(B) = 16 20 P(D) = 4 20

37 Exemplo Se a primeira peça for: Boa Defeituosa P(B/B) = 15 / 19
P(D/B) = 4 / 19 P(B/D) = 16 / 19 P(D/D) = 3 / 19

38 Exemplo a) P(BB) = 16 20 15 19 = 0,6316 ou 63,16% 4 3 a) P(DD) =

39 P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)
Probabilidade Regra da Adição A probabilidade de que pelo menos um entre dois eventos não excludentes ocorra é igual a: P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) U

40 Exemplo A Petrobrás perfura um poço quando acha que há probabilidade de ao menos 40 % de encontrar petróleo. Ela perfura 2 poços, aos quais atribui as probabilidades de 40 % e 50 %. Qual é a probabilidade de que pelo menos um poço produza petróleo?

41 Exemplo P(A) = 0,4 P(B) = 0,5 P(A e B) = 0,4 . 0,5 = 0,2
P(A ou B) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7

42 Exemplo Resultados possíveis Probabilidade Produz Não 0,4 x 0,5 = 0,2
Produz Produz Não Produz Não Não Probabilidade 0,4 x 0,5 = 0,2 0,6 x 0,5 = 0,3 0,7 poço A poço B

43 MODELOS PROBABILÍSTICOS

44 Modelos Probabilísticos
Em problemas práticos, normalmente não é necessário deduzir as probabilidades de ocorrência, pois existem alguns modelos probabilísticos que se aplicam a várias situações práticas, fornecendo a regra de determinação das probabilidades.

45 Modelos Probabilísticos
O problema não é “como se deduzem os valores?”, mas sim “como se usam as distribuições para resolver problemas?” William J. Stevenson

46 Exercício Anterior Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.

47 Distribuição de Probabilidades
0,50 k P(X=k) 0 0,5 1 0,5 Total 1

48 Distribuição de Bernoulli
A distribuição de Bernoulli apresenta apenas dois resultados possíveis (sim ou não), com probabilidade de sucesso igual a “p”.

49 Distribuição de Bernoulli
k P(X=k) 0 (1-p) p Total E(X) = x = p VAR(X) = p.(1-p)

50 Distribuição Binomial

51 Distribuição Binomial
O modelo binomial pressupõe: São efetuados n experimentos iguais e independentes. Cada um dos experimentos tem apenas 2 resultados possíveis e excludentes (sim e não). Consequentemente, a probabilidade de sim (p) para cada experimento é constante. A variável aleatória de interesse é o número de sim obtidos nos n experimentos.

52 Distribuição Binomial
Para identificar uma distribuição binomial, bastam os parâmetros n e p.

53 Exercício Anterior Um grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente.

54 Exercício Anterior Res. poss. B B B B B D B D B D B B B D D D B D
Res. num. 1 2 3 Probabilidade 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064 0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096 0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216

55 Exercício Anterior k P(X=k) 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1
0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1 0,064 0,216 0,432 0,288

56 Distribuição Binomial
O exemplo apresentado pode ser representado por uma distribuição binomial. n = 3 p = 0,6 (item com defeito = sim) (Deseja-se o número de itens com defeito)

57 ( ) ( ) Equação da Binomial P(X=k) = pk.(1- p)(n-k) n k = n k n!
( ) n k = ( ) n k n! k! (n-k)!

58 Distribuição Binomial
k P(X=k) 0 P(X=0) 1 P(X=1) n P(X=n) Total 1 E(X) = x = np VAR(X) = n.p.(1-p)

59 ( ) ( ) ( ) Exemplo p = 0,6 n = 3 P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k) 3 k 3
( ) 3 k ( ) 3 P(X=0) = 0,60.(1- 0,6)(3-0) = 1.0,60.0,43 = 0,064 1 = ( ) 3 3! 0! (3-0)! = 1

60 ( ) ( ) ( ) Exemplo p = 0,6 n = 3 P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k) 3 k 3 1
( ) 3 k ( ) 3 1 P(X=1) = 0,61.(1- 0,6)(3-1) = 3.0,61.0,42 = 0,288 = ( ) 3 1 3! 1! (3-1)! = 3

61 ( ) ( ) ( ) Exemplo p = 0,6 n = 3 P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k) 3 k 3 2
( ) 3 k ( ) 3 2 P(X=2) = 0,62.(1- 0,6)(3-2) = 3.0,62.0,41 = 0,432 = ( ) 3 2 3! 2! (3-2)! = 3

62 ( ) ( ) ( ) Exemplo p = 0,6 n = 3 P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k) 3 k 3
( ) 3 k ( ) 3 P(X=3) = 0,63.(1- 0,6)(3-3) = 1.0,63.0,40 = 0,216 = ( ) 3 3! 3! (3-3)! = 1 1

63 Exercício k P(X=k) 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1 0 1 2 3
0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1 0,064 0,216 0,432 0,288

64 Distribuição Acumulada
k P(X=k) Prob. Acumulada 0 0,064 0,064 1 0,288 0,352 2 0,432 0,784 3 0,216 1,000 Total

65 Exercício 2 Considerando a mesma situação do exemplo anterior, construir a distribuição de probabilidades para o caso de 5 itens. n = 5 p = 0,6

66 Exercício k P(X=k) Probab. Acumul. 0 0,01024 0,01024 1 0,07680 0,08704
0 0, ,01024 1 0, ,08704 2 0, ,31744 3 0, ,66304 4 0, ,92224 5 0, ,00000 Total

67 Tabela Binomial As probabilidades para algumas binomiais podem ser encontradas em tabelas nos livros de estatística. Também podem ser utilizados softwares.

68 Exercício 3 Em um grande lote, sabe-se que 10 % da peças são defeituosas. Qual é a probabilidade de, ao se retirarem 6 peças ao acaso: a) Apenas uma ser defeituosa? b) No máximo uma ser defeituosa? c) Pelo menos duas serem defeituosas? 0,3543 0,8857 0,1143

69 Exercício 4 Os produtos de uma empresa sofrem inspeção de qualidade, através de uma amostra com 12 peças, antes de serem enviados aos consumidores, podendo ser classificados em A (de ótima qualidade), B (bons) e C (de 2ª categoria). Se 70 % de um grande lote forem do tipo A, 20 % forem do tipo B e o restante for do tipo C, qual é a probabilidade de que a amostra apresente no máximo 5 peças tipo B ou C? 0,8822

70 Exercício 5 Sabe-se que 1% dos produtos fabricados por uma empresa apresentam problemas de qualidade. Dois clientes encomendam um grande lote cada um, mas as remessas têm que passar pela inspeção de qualidade no recebimento. O cliente A seleciona ao acaso 10 produtos e o lote é aceito se não existir nenhuma peça com problema de qualidade. O cliente B toma uma amostra com 20 produtos e aceita o lote se no máximo 1 peça apresentar problemas de qualidade. Qual é a probabilidade dos dois lotes serem aceitos pelos clientes?

71 Exercício p = Cliente A Cliente B n = n = P(X P(X =
P = 0,8891 ou 88,91%

72 Distribuição Multinomial

73 Distribuição Multinomial
O modelo multinomial é uma generalização do binomial: São efetuados n experimentos iguais e independentes. Cada um dos experimentos tem mais de 2 resultados possíveis e excludentes (k resultados). A probabilidade de sim para o resultado “k” (pk) (i=1, 2, ...) em todos os experimentos é constante. A variável aleatória de interesse é o número de sim em cada categoria.

74 Distribuição Multinomial
P(X=x1, x2, ..., xk) = p1x1 p2x2 ...pkxk n! x1! x2!... xk! n = x1 + x xk

75 Distribuição Poisson P(X=k) = e-λ λk k!

76 VARIÁVEIS CONTÍNUAS

77 Exemplo Um jogo de azar é realizado da seguinte forma: toma-se um círculo e divide-se-o em duas partes iguais, 1 e 2. Sobre o centro do círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado e anota-se o número do setor onde a ponta do ponteiro parou.

78 Exemplo Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento. 2 1

79 Distribuição de Probabilidades
0,50 k P(X=k) 1 0,5 2 0,5 Total 1

80 Exemplo Considerar a mesma situação, só que o círculo é dividido em quatro partes iguais. Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.

81 Exemplo Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento. 1 2 3 4

82 Distribuição de Probabilidades
k P(X=k) 1 0,25 2 0,25 3 0,25 4 0,25 Total 1

83 Exemplo 1 2 Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento. 3 8 4 7 5 6

84 Histograma 0,125 Número obtido

85 Exemplo 1 2 3 16 Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento. 4 15 5 14 6 13 7 12 8 11 10 9

86 Histograma Número obtido

87 Dúvida... Qual é o número máximo de setores que se consegue em um círculo? Resp: Infinitos

88 Variável Contínua Como existem infinitos resultados possíveis, o número obtido no experimento, temos uma situação próxima à da variável contínua. Como ficaria o histograma?

89 Histograma? 1 8 Área = 1

90 Dúvida... Qual é a probabilidade dessa variável aleatória contínua assumir um determinado valor (10, por exemplo)? Resposta: A probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir exatamente um determinado valor é zero.

91 Probabilidades... As probabilidades não podem mais ser calculadas através de equações do tipo P(X=k) = FÓRMULA. Para identificar uma distribuição contínua, existe a função densidade de probabilidade, que é uma equação do tipo y=f(x).

92 Função da Densidade de Probabilidade
A função densidade de probabilidade está relacionada com a probabilidade da variável aleatória contínua assumir algum resultado possível.

93 Função Densidade de Probabilidade
f(x) variável aleatória

94 Variável Contínua O estudo de uma variável aleatória contínua é análogo ao das variáveis discretas. A distribuição de probabilidades indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.

95 Variável Contínua Características
A área sob a função densidade é 1. f(x) variável aleatória área = 1 (ou 100%)

96 Variável Contínua Características
A probabilidade da variável aleatória assumir um valor determinado é zero, pois existem infinitos resultados possíveis. As probabilidades sempre se referem a intervalos de valores.

97 Características f(x) X k P(X=k) = 0

98 Variável Contínua Características
A probabilidade da variável aleatória assumir um valor em um intervalo é igual à área sob a função densidade naquele intervalo.

99 Características P(a < X < b) = área amarela f(x) X a b

100 Exercício Sobre o centro de um círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado e anota-se o ângulo formado pelo ponteiro com o eixo horizontal, como na figura a seguir.

101 Exercício Definir a função densidade de probabilidades para o ângulo () obtido neste experimento. 

102 Exercício f(x) 0o 360o X Área = 1 1 360

103 Exercício Qual é a probabilidade de se obter um ângulo entre 30o e 60o?

104 Exercício área = 60 - 30 360 - 0 = 1 12 = 0,0833 f(x) 0o 360o X
P(30o < X < 60o)

105 Distribuição Uniforme
f(x) 1  f(x) = 1  X  

106 Distribuição Uniforme
f(x) X   a b b - a P(a < X < b) = 

107 Distribuição Normal

108 Função Densidade  - média  - desvio padrão

109 Distribuição Normal f(x) X 

110 Características Variável identificada pela média e pelo desvio padrão.
 X 

111 Média e Desvio Padrão  = 1   = 2  = 3  = 4 X

112 Média e Desvio Padrão  = 3 1 2 3 X

113 Características Simetria em relação à média. 50% X 

114 Características A área sob a curva entre a média e um ponto qualquer é função da distância padronizada entre a média e aquele ponto. Distância padronizada - distância expressa em função do número de desvios padrões (distância dividida pelo desvio padrão).

115 Exemplo + -  área = 68,3%

116 Exemplo +2 -2  área = 95,4%

117 Exemplo +3 -3  área = 99,7%

118 Características As áreas referem-se a probabilidades. P ( X < a ) X
 a

119 Normal Padronizada O cálculo de áreas sob a curva normal é consideravelmente complexo. Por isso, é conveniente trabalhar com valores padronizados.

120 Normal Padronizada Para padronizar uma variável normal, toma-se a média como ponto de referência e o desvio padrão como medida de afastamento.

121 Normal Padronizada X -  Z =  Z - variável normal padronizada
X - variável normal  - média  - desvio padrão

122 Normal Padronizada = 1 Z = 0

123 Normal Padronizada   - + -2 +2 X Z -2 -1 1 2

124 Exemplo O peso de uma peça é normalmente distribuído com média de 500 gramas e desvio padrão de 5 gramas. Encontrar os valores padronizados relativos aos pesos: 485g, 490g, 495g, 500g, 505g, 510g e 515g.

125 Exemplo X = 510 g Z = X -   5 = = 10 5 = 2

126 Exemplo = 5 X 500 495 -1 505 1  510 490 2 -2 485 515 -3 3 Z

127 Exemplo P(X<510) = P(Z<2) = 5 X 500 510 2 Z

128 Exercício Com base na tabela da normal padronizada, calcular:
a) P(Z < -1) Z -1 0,158655

129 Exercício b) P(Z > 1) Z 0,158655 +1

130 Exercício c) P(Z < 1) 0,841345 Z 1

131 Exercício c) P(-1 < Z < 1) 1- 0, 158655 - 0,158655 = 0,68269 Z 1
1 -1

132 Exercício c) P(-2 < Z < 2) 1 - 0, 022750 - 0,022750 = 0,9545 Z 2
2 -2

133 Exercício c) P(-3 < Z < 3) 1- 0,001350 - 0,001350 = 0,9973 Z 3
3 -3

134 Exercício 6 Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de Km e desvio padrão de Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: a) menos de Km? 0,158655

135 Exercício 6 Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de Km e desvio padrão de Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: b) mais de Km? 0,158655

136 Exercício 6 Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de Km e desvio padrão de Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: c) entre Km e Km? 0,68269

137 Exercício 6 Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de Km e desvio padrão de Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: d) entre Km e Km? 0,9545

138 Exercício 6 Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de Km e desvio padrão de Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: e) entre Km e Km? 0,9973