Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório. Mais precisamente…

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1 Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório. Mais precisamente…

2 Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória é uma função (mensurável) X: W  R que associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.

3 Exemplos de variáveis aleatórias
Moeda honesta lançada 3 vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições Quando se observa cck: X = 2 Y = 1

4 Exemplos de variáveis aleatórias
Moeda honesta lançada 3 vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições x 1 2 3 P(X=x)

5 Exemplos de variáveis aleatórias
Moeda honesta lançada 3 vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições x 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8 função de massa de probabilidade (fmp) de X

6 Exemplos de variáveis aleatórias
Moeda honesta lançada 3 vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições y 1 2 P(Y=y)

7 Exemplos de variáveis aleatórias
Moeda honesta lançada 3 vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições y 1 2 P(Y=y) 1/4 2/4

8 Função de Distribuição Acumulada
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é a função FX: RR definida por FX(x) = P(X ≤ x)

9 Função de Distribuição Acumulada
Exemplo: x 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8 1 7/8 1/2 1/8 1 2 3 Se x < 0: P(X≤x) = 0 Se 0 ≤ x <1: P(X≤x) = P(X=0) = 1/8 Se 1 ≤ x <2: P(X≤x) = P(X=0 ou X=1) = 1/8 + 3/8 = 1/2

10 Função de Distribuição Acumulada
Roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho 0, se x < 0 P(X ≤ x) = x/10, se 0 ≤ x ≤ 10 1, se x > 10 1 10

11 Função de Distribuição Acumulada
Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho

12 Função de Distribuição Acumulada
Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho 0, se x < 0 P(X ≤ x) = ½ + ½ x/10, se 0 ≤ x ≤ 10 1, se x > 10 1 10

13 Tipos de Variáveis Aleatórias
Discretas FX(x) = xi  x P(X = xi) (Absolutamente) Contínuas FX(x) = xi  x fX(x) dx (onde fX(x) é a densidade de probabilidade de X) Mistas FX(x) = xi  x P(X = xi) + xi  x fX(x) dx (Há outras, mais patológicas …)

14 Exemplo 10 P(X = 0) = ½ 0, se x < 0 fX(x) = 1/20, se 0  x  10

15 Propriedades da F.D.A. FX é não-decrescente
lim x– FX(x) = 0, lim x+ FX(x) = 1 lim xa+ FX(x) = F(a) (continuidade à direita)

16 Função de Distribuição Acumulada
A f.d.a. caracteriza completamente a distribuição de qualquer v.a. (ou seja, conhecendo a f.d.a. podemos obter a probabilidade de qualquer evento envolvendo a v.a.) P(X = 2) = P(X = 3) = P(X < 3) = P(1  X  3) =

17 Principais Distribuições Discretas
Bernoulli Binomial Geométrica Hipergeométrica Poisson

18 Principais Distribuições Contínuas
Uniforme Exponencial Normal (e associadas: c2, t, F)

19 Bernoulli Espaço amostral binário (sucesso-fracasso, sim-não, 1-0) X =
1, com probabilidade p X = 0, com probabilidade 1–p Notação: X  be(p)

20 Binomial Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = número de sucessos

21 Binomial Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = número de sucessos Cada uma das seqüências com k sucessos e n–k fracassos tem probabilidade pk (1–p)n-k . Logo: Notação: X  B(n, p)

22 Geométrica Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso.

23 Geométrica Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso. X = k  k–1 fracassos seguido de um sucesso Notação: X  G(p)

24 Hipergeométrica Urna com N bolas, sendo B brancas, de onde são extraídas n bolas, sem reposição. X = número de bolas brancas extraídas Notação: X  HG(N, B, n)

25 Exemplo Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato. Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra?

26 Exemplo Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais B são favoráveis a um candidato. Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra? Resposta: HG(N, B, n)

27 Exemplo Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato. Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra? Resposta: HG(N, B, n) Mas, se n << N, aproximadamente B(n, B/N)

28 Distribuição de Poisson
Em média, um site de internet tem l = 0,5 acessos por segundo. Qual é o modelo apropriado para a distribuição do número de acessos efetuados em um segundo?

29 Distribuição de Poisson
Discretizar 1 segundo em n intervalos de duração 1/n Como o número de usuários é grande, é razoável considerar a existência de acessos neste intervalos como eventos independentes, cada um com probabilidade p. Para que o número médio de acessos por minuto seja igual a l, deve-se ter np = l.

30 Distribuição de Poisson

31 Distribuição de Poisson
Caso limite da distribuição binomial, quando n e np se mantém constante Acessos a sites Chegadas de consumidores a um banco Número de erros tipográficos em um texto Número de partículas radioativas emitidas

32 Exemplo No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo?

33 Exemplo No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo? P(X>0) = 1– P(X=0) = 1 – e-0.5 = 0,395

34 Exemplo Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto?

35 Exemplo Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto?
Poisson (30) Em geral, o número de acessos em um intervalo de duração t tem distribuição Poisson (lt)

36 Esperança Idéia: a esperança (ou valor esperado) de uma v.a. é o valor médio que se espera obter ao se repetir um experimento aleatório um grande número de vezes.

37 Esperança Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00?

38 Esperança Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00? Ganha-se 17 com probabilidade 1/25 -1 com probabilidade 24/25 Após um grande número n de apostas, o ganho médio é, aproximadamente:

39 Esperança O valor esperado de uma v.a. discreta X é:
EX = Si xi. P(X=xi) (ou seja, a média dos valores assumidos por X, ponderados por sua probabilidade) EX pode ser um número real, +, – , ou não estar definida.

40 Esperança finito EX  R – EX = – + EX = + EX não definido

41 Paradoxo de S. Petersburgo
Jogo em que chance de vitória é 1/3, mas cuja aposta é 1:1. Estratégia: jogar até vencer, sempre dobrando o valor da aposta. Variáveis aleatórias de interesse: X = ganho quando se aposta 1. N = número de apostas até a saída. Y = ganho na saída.

42 Paradoxo de S. Petersburgo
X = –1, com prob. 2/ , com prob. 1/3 EX = –1/3. N é finito com prob. 1 Y = 1

43 Paradoxo de S. Petersburgo
Mas seja C o capital usado até a vitória

44 Propriedades E(aX + b) = aEX + b Mas, em geral, E(g(X))  g(E(X))
Exemplo: Y = X2 EX = (–1).0,2.(–1)+0.0,4+1.0,4 = 0,2 EY = 0.0,4+1.0,6 = 0,6 Note que EY = 02.P(X=0) P(X=1) + (–1)2 .P(X=–1) X p –1 0,2 0,4 1 Y p 0,4 1 0,6

45 Propriedades Para X discreta: E(g(X)) = Si g(xi) P(X=xi)
(Law of the unconscious statistician)

46 Propriedades E(X+Y) = EX + EY (sempre!)
E(XY) = EX EY, se X e Y são independentes

47 Exemplo Urna com 10 bolas, das quais 4 são brancas. Cinco bolas são retiradas. Qual é o número esperado de bolas brancas retiradas: com reposição? sem reposição?

48 Variância Var(X) = E(X–EX)2 = E(X2) –(EX)2

49 Propriedades Var(aX+b) = a2 Var(X)
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)

50 Propriedades Se X1, X2, …, Xn são independentes, então Var(X1 + X2 +…+ Xn ) = Var(X1) + Var(X2) + …+ Var(Xn)

51 Exemplo X ~ binomial(p)

52 Variáveis Aleatórias Contínuas
F(x) = -x f(t) dt f  0 é a densidade de X P(a < X < b) = ab f(t) dt -+ f(t) dt = 1 f(x) = F’ (x) P(x–/2 < X < x+/2 )   f(x)  x

53 Exemplo Seja X a abscissa de um ponto escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a densidade de X? 1 1

54 Solução 1 x 1

55 Outra solução 1 x 1

56 Esperança discreta: contínua: mista:

57 Principais Distribuições Contínuas
Uniforme Exponencial Gama Normal (e associadas: c2, t, F)

58 Distribuição Uniforme
fX 1/(b-a) a b 1 FX a b

59 Distribuição Exponencial
De volta ao exemplo do site na Internet. Qual é a distribuição do tempo de espera X até a ocorrência do primeiro acesso? X > t se e só se o número de acessos em [0, t] é igual a 0 Logo, P(X>t) = P(N = 0), onde N~Poisson(lt) Portanto, P(X>t) = e-lt

60 Distribuição Exponencial
X tem distribuição exponencial com parâmetro l quando FX (x) = 1–e – lx, para x >0 Ou seja, fX(x) = le – lx , para x > 0

61 Exemplo O tempo de vida, em meses, de um componente tem distribuição exponencial de parâmetro l = 0,5. Qual é a probabilidade de que um componente novo dure pelo menos 2 meses? Dado que um componente usado já tem 1 mês de vida, qual é a probabilidade de que ele dure pelo menos mais dois meses?

62 Processo de Poisson Tempo entre chegadas consecutivas independentes, com distribuição exponencial (l) Número de chegadas em intervalos disjuntos independentes e com distribuição Poisson (lt), onde t é o comprimento do intervalo

63 Exemplo Os acidentes em uma rodovia ocorrem de acordo com um Processo de Poisson de taxa 2 acidentes por dia Número médio de acidentes por semana? Número médio de dias sem acidentes por semana? Intervalo médio entre acidentes? Probabilidade de que haja 2 acidentes na 2a e 1 na 3a? Probabilidade de que o primeiro acidente em um certo dia só ocorra depois das 12 horas?

64 Distribuição Normal A distribuição normal padrão é a distribuição da variável aleatória Z de densidade Notação: Z ~ N(0, 1) EZ = 0, Var Z = 1

65 Distribuição Normal Uma variável X tem distribuição normal com parâmetros m (média) e s2 (variância) quando é da forma X = sZ + m, onde Z~N(0,1) Notação: X~N(m, s2)

66 Distribuição Normal Qual é a densidade da distribuição X~N(m, s2)?
De modo geral, qual é a densidade de g(X), onde g é uma função inversível e X é uma v. a. de densidade f?

67 Transformando uma v. a. A densidade de Y = g(X) é dada por
onde x é tal que g( x) = y.

68 Transformando uma v.a. Caso particular: Se X tem densidade f, então
Y = aX + b (a>0) tem densidade X= Y/2 X Y = 2X Y

69 Densidade da distribuição normal
A densidade da v.a. X com distribuição normal N(m, s2) é

70 Exemplo As notas dos alunos em um teste têm distribuição normal com média 70 e desvio padrão 10. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de que sua nota seja maior que 85? Qual é a nota correspondente ao percentil 95%?

71 V. A. Multidimensionais Exemplo: moeda honesta lançada 3 vezes
X = número de caras Y = número de transições Qual é a probabilidade de que X = 2 e Y =1? x 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8 y 1 2 P(Y=y) 1/4 2/4

72 V. A. Multidimensionais Não se pode responder (em geral) a partir das distribuições individuais (marginais) de X e Y. Pode-se responder com base na distribuição de (X, Y), também chamada de distribuição conjunta de X e Y.

73 Distribuição Conjunta
w X Y ccc 3 cck 2 1 ckc kcc ckk kck kkc kkk

74 Distribuição Conjunta
w P X Y ccc 1/8 3 cck 2 1 ckc kcc ckk kck kkc kkk X Y 1 2 3

75 Distribuição Conjunta
w P X Y ccc 1/8 3 cck 2 1 ckc kcc ckk kck kkc kkk X Y 1 2 3 1/8 - 2/8 P(X=2 e Y =1) = 2/8

76 Distribuição Conjunta
A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) completamente caracteriza probabilidades envolvendo X1, X2, ..., Xn e quaisquer subconjuntos delas (distribuições marginais).

77 Distribuição Conjunta
X Y 1 2 3 1/8 - 2/8

78 Distribuição Conjunta
X Y 1 2 3 1/8 - 1/4 2/8 1/2 3/8

79 Função de Distribuição Acumulada
A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada. FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) = P(X1  x1, X2  x2, ..., Xn  xn) Exemplo FX1(x1) = ?

80 Função de Distribuição Acumulada
A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada. FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) = P(X1  x1, X2  x2, ..., Xn  xn) Exemplo FX1(x1) = limx2 , ..., xn FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn)

81 Tipos de distribuição conjunta
Discretas Quando existe um conjunto enumerável A = {x1, x2, ...} tal que P(X  A) = 1. Neste caso, P(X  B) = xi  B P(X = xi)

82 Tipos de distribuição conjunta
Discretas Quando existe um conjunto enumerável A = {x1, x2, ...} tal que P(X  A) = 1. Neste caso, P(X  B) = xi  B P(X = xi) Contínuas Quando existe uma função de densidade f tal que Neste caso:

83 Exemplo Um ponto (X, Y) é escolhido no quadrado unitário com densidade proporcional a x+y. Qual é a função de densidade? Qual é a probabilidade de que X seja menor que 1/2?

84 Propriedades Esperança de funções de v.a. multidimensionais
E(g(X)) = Si g(xi) P(X=xi) (discreta) E(g(X)) = Rn g(x) fX(x) dx (contínua) Casos particulares: EX = R2 x fX,Y(x,y) dy dx E(X+Y) = R2 (x+y) fX,Y(x,y) dy dx = = R2 x fX,Y(x,y) dy dx + R2 y fX,Y(x,y) dy dx = EX +EY

85 Propriedades Em geral, E (XY)  EX EY
Mas E(XY) = EX EY se X e Y são independentes.

86 Observação X, Y independentes  E(XY) = EX EY
E(XY) = EX EY  X, Y independentes não correlacionadas

87 Covariância e Correlação
Cov(X, Y) = E(X–EX)(Y–EY) = = E(XY) – EX EY r(X, Y) = Cov(X,Y)/s(X)s(Y) Teorema: –1 ≤ r(X, Y) ≤ 1