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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA SUBPROGRAMA PIBID – FÍSICA MOSTRA DE EQUAÇÕES Teorema.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA SUBPROGRAMA PIBID – FÍSICA MOSTRA DE EQUAÇÕES Teorema de Pitágoras c 2 = a 2 + b 2 Louisa Adelino de Macêdo & Renivânia Pereira da Silva (Licenciandas em física / Bolsistas do Pibid) Orientador: Prof. Ciclamio L. Barreto – Depto. de física / UFRN Demonstração do Teorema de Pitágoras por meio de comparação de áreas. Não se sabe ao certo a forma utilizada por Pitágoras para demonstrar seu teorema, no entanto, vários autores acreditam que essa demonstração, feita por ele, se deu da seguinte forma: 1.Desenha-se um quadrado de lado (a + b); 2.De modo a subdividir este quadrado em quatro retângulos, sendo dois deles quadrados de lados respectivamente a e b, traça-se dois segmentos de reta paralelos a dois lados consecutivos do quadrado, sendo cada um deles interno ao quadrado e com o mesmo comprimento que o lado do quadrado; 3.Divide-se cada um destes dois retângulos não quadrados em dois triângulos retângulos, traçando-se as diagonais. Chama-se c o comprimento de cada diagonal; 4.A área da região que resta ao retirar-se os quatro triângulos retângulos é igual a b 2 + a 2 5.Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado b + a, mas coloca-se os quatro triângulos retângulos noutra posição dentro do quadrado: a posição que deixa desocupada uma região que é um quadrado de área c 2 6.Assim, a área da região formada quando os quatro triângulos retângulos são retirados é igual a c 2 Como b 2 + a 2 representam a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos retângulos, e c 2 representa a mesma área, então b 2 + a 2 = c 2. Ou seja: num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Utilizando o Teorama de Pitágiras... É bem provável que alguma vez você já tenha escutado ou estudado sobre o Teorema de Pitágoras, aliás é sobre ele que estamos discutindo aqui, mas nem sempre conseguimos visualizá- lo em nosso contidiano. Por isso, vamos ver abaixo uma demonstração bem simples que tem presente o Teorema de Pitágoras. Observe o trabalhador preparando a estrutura de um telhado: Nas construções de alguns telhados ou até mesmo em pontes, podemos encontrar estruturas chamadas de tesouras, como a que vê-se acima. É possível perceber que nessa estrutura há vários triângulos retângulos uns ao lado de outros, de forma a causar equilíbrio em todo o telhado. Você sabia que... A primeira revista com publicações matemáticas A American Mathematical Monthly, periodicamente divulgava provas da validação do Teorema de Pitágoras. No entanto, após sete anos, com mais de 100 demonstrações, a revista declara: “Não há limites para a quantidade de provas – tivemos que desistir”. Atualmente apontou-se que um grego descobriu a existência de 520 formas distintas de como provar o Teorema de Pitágoras. Pitágoras, aos 18 anos de idade, só tinha um aluno e mesmo assim era Pitágoras quem tinha que pagar ao aluno para poder dar aula. É possível perceber a utilização do Teorema de Pitágoras em vários âmbitos, tais como: construção civil, educação, carpintaria, agrimensura, astronomia, navegação etc. Dado um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa (lado maior) é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos (os outros dois lados). A história do Teorema de Pitágoras Pitágoras (570-500 AEC) nasceu em Samos, numa ilha grega do mar Egeu, onde hoje é a Turquia. Mapa atual da Turquia Muitos dos conhecimentos obtidos por ele foram adquiridos nas viagens que fazia. Dentre elas, destacam-se aquelas que contribuíram para o desenvolvimento do tão famoso Teorema de Pitágoras. Ao viajar a Mileto, uma cidade grega, Pitágoras conheceu Tales (624-546 AEC) e com ele aprofundou seus conhecimentos matemáticos. Além disso, segundo historiadores, Pitágoras viajou para o Egito e para a Babilônia, conhecendo as técnicas de agrimensura praticadas pelos egípcios. Por exemplo, numa corda com treze nós equidistantes, construíam ângulos retos para formar um triângulo de lados 3, 4 e 5, realizando dessa forma medições. "Triângulo egípcio", de medidas 3, 4, 5: os egípcios usavam uma corda com treze nós equidistantes para construírem ângulos retos. Bem antes disso, supõe-se que na Babilônia, os antigos já possuíam o conhecimento de triângulos pitagóricos. Essa confirmação se dá pelo fato de ter sido encontrado tabletes de barro do período de 1800 a 1600 AEC. Um deles, denominado Plimpton 322, mostra uma tabela de 15 linhas e 3 colunas, ilustrando trios pitagóricos. A tabuleta Plimpton 322 registra termos pitagóricos. Além dos egípcios e babilônicos, é dito pelos historiadores que na China o teorema também já era conhecido. A estimativa é de 600 anos antes do período pitagórico. Esta prova é dada por meio do livro chinês Zhoubi Saunjing, um dos mais antigos e famosos livros chineses sobre matemática. O contato com a ciência grega, egípcia e babilônica, fez Pitágoras consolidar e formular teoricamente o conceito de trios pitagóricos e, portanto, hoje temos a relação matemática c 2 = a 2 + b 2. Não podemos afirmar que foi Pitágoras quem formulou espontaneamente este teorema, haja vista que houve povos mais antigos que já tinham o conhecimento das relações nesses triângulos. No entanto, esse mérito deve-se a Pitágoras pelo fato de, segundo historiadores, ter sido ele a primeira pessoa que demonstrou, não de forma intuitiva, mas sim conscientemente que em um triângulo retângulo o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ex.: Tendo um triângulo retângulo com catetos (lados menores, os quais formam o ângulo de 90°) de 3 cm e 4 cm e uma hipotenusa (lado maior, oposto ao ângulo de 90°) com 5 cm de comprimento, podemos perceber que, de acordo com o Teorema de Pitágoras c 2 = a 2 + b 2, temos que: 5 2 = 3 2 + 4 2. Logo a expressão é verdadeira. Referências bibliográficas http://www.dm.ufscar.br/hp/hp0/hp0.html http://www.urcamp.tche.br/matematica/trabalhos/pitagoras.pdf CREASE, Robert P. As Grandes Equações - a História das Fórmulas Matemáticas Mais Importantes e os Cientistas que as Criaram. Rio de Janeiro: ZAHAR, 2011.


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