Regra de Cramer x + 2y – z =2 2x – y + z = 3

Apresentação em tema: "Regra de Cramer x + 2y – z =2 2x – y + z = 3"— Transcrição da apresentação:

1 Regra de Cramer x + 2y – z =2 2x – y + z = 3
Resolver o sistema pela regra de Cramer A) D = = -7 B) Dx = = -7

2 S ={ 1 ,2 ,3} x + 2y – z =2 2x – y + z = 3 x + y + z = 6 2 -1 2 -1 1
x + 2y – z =2 2x – y + z = 3 x + y + z = 6 D = = -7 C) Dy = = -14 2 2 = -21 D) Dz = S ={ 1 ,2 ,3}

3 Discussão de um Sistema linear
S.P.D Dx = Dy = Dz =0 S.P.I S.I

4 Em relação aos sistemas lineares, assinale o que for correto

5 O sistema homogêneo nunca é impossível
2x + 3y + 4z = 0 3x – y + z = 0 5x + 2y + 8z = 0 Resolva o sistema 3 4 a) Portanto S.P.D. b) A única solução do sistema é a trivial (0 ,0 ,0 ) O sistema homogêneo nunca é impossível

6 Uma antiga história conta que um sertanejo e um velho burro subiam uma ladeira, ambos com uma carga de espigas de milho sobre as costas. Por causa do cansaço e do calor, o velho burro começa a ofegar. Então o sertanejo lhe diz: “Por que está ofegando tanto? Saiba que se eu tirar 8 espigas de seu lombo e colocar sobre as minhas costas, minha carga será o dobro da sua. Por outro lado, ainda que eu tire 8 espigas das minhas costas e coloque sobre as suas, a sua carga ficará igual à minha”. Pergunta-se: Juntando-se as cargas do burro e do sertanejo, qual era o total de espigas .

7 Saiba que se eu tirar 8 espigas de seu lombo e colocar sobre as minhas costas, minha carga será o dobro da sua. Por outro lado, ainda que eu tire 8 espigas das minhas costas e coloque sobre as suas, a sua carga ficará igual à minha”. Pergunta-se: Juntando-se as cargas do burro e do sertanejo, qual era o total de espigas .

8 PA E PG

9 Progressões Aritméticas
Termo geral: Soma de PA :

10 Progressões Aritméticas
Três termos consecutivos em PA : x- r , x , x + r Lados de um triângulo retângulo em PA : 3r, 4r, 5r ( r a razão)

11 Progressões Geométricas
Termo geral: Soma de PG finita: Limite da soma de PG infinita:

12 Progressões Geométricas
Três termos em PG: x/q , x , x.q O limite da soma de PG infinita é usada para PG decrescente

13 Progressões Geométricas
Se uma população cresce a uma taxa anual de 5 %, PG de razão igual a 1,05 . Se uma população decresce a uma taxa anual de 5 %, PG de razão igual a 0,95.

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15 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

16 Raiz de uma equação algébrica
Dada a equação algébrica P(x) = 0, de coeficientes reais, o número  é denominado de raiz ou solução da equação se, e somente se, P(x) = 0.  é raiz de P(x) = 0  P() = 0 Exemplo: Se x = 1 é raiz da equação x3 – x2 + x – 1 = 0 então P(1) = 13 – – 1 = 0

17 Teorema Fundamental da Álgebra
“Toda equação algébrica de grau n (n > 1) possui pelo menos uma raiz complexa” Exemplo: A equação 2x4 – 6x3 + 7x + 5 = 0 possui, conforme o “T.F.A.”, pelo menos uma raiz complexa.

18 Teorema da decomposição
“Toda equação algébrica de grau n (n > 1) pode ser decomposta em fatores do 1º grau.” Se considerar x1, x2, x3 ... xn raízes da equação, então: y = a0(x – x1)(x – x2)(x – x3)...

19 Logo: P(x) = -4(x3 – 3x2 + 2x) ou
Exemplo: As raízes de um polinômio P(x) do 3º grau são 0, 1 e 2. Sabendo-se que , então o poli-nômio P(x) é: P(x) = a0(x – 0)(x – 1)(x – 2) P(x) = a0.x.(x2 – 3x + 2) P(x) = a0(x3 – 3x2 + 2x) Como: Então: a0 = -4 Logo: P(x) = -4(x3 – 3x2 + 2x) ou P(x) = -4x3 + 12x2 – 8x

20 Multiplicidade de raiz
É o número de vezes que uma raiz se repete na equação. Exemplo: Se em x5 + x4 – 11x3 – x2 + 8x – 4 = 0 Então: x = 1 (raiz tripla) ou com grau de multiplicidade 3. x = -2 (raiz dupla) ou com grau de multiplicidade 2.

21 Raízes nulas Na equação a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an = 0
Se an = 0, então “0” será raiz. O zero se repetirá como raiz conforme seja a menor potência de x. Exemplos: x4 – 7x3 + x2 – 3x = 0 0 é raiz uma vez é raiz duas vezes b) x4 – 7x3 + x2 = 0

22 Raízes racionais Atenção: Números racionais = inteiros + frações.
Na equação: a0x4 + a1xn – an – 1x + an = 0 p  divisores do termo independente (an). q  divisores do coeficiente do termo de maior grau a0. Faz-se: Fazendo-se  tem-se as prováveis raízes da equação.

23 X X Exemplo: 2x3 – x2 – 8x + 4 = 0 p = {+1, +2, +4} q = {+1, +2}
Prováveis  = Por tentativa temos: X X 2x2 +3x – 2 = 0 que aplicando a “Fórmula de Bháskara” temos: x’ = -2 e x” = ½. Então:

24 Raízes complexas Toda equação que admite uma raiz x1 = a + bi, admitirá também como raiz e sua conjugada, x2 = a – bi.

25 Relações de Girardi Quando aplicar:
Quando o teste solicitar soma e produto de raízes. Quando relacionar raízes com coeficientes. Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0

26 Exemplo: Ache a soma e o produto das raízes da equação. 2x3 – 6x2 + 3x + 20 = 0 soma = 3 Produto = -10

27 Relações reais O “Teorema de Bolzano” permite pesquisar a existência de raízes reais em intervalos reais.

28 P(a) . P(b) < 0 Teorema de Bolzano
Sejam P(x) = 0 uma função polinomial de coeficientes reais e um intervalo [a; b]  R. Se P(a) e P(b) tem sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais  [a e b]. f(x2) f(x1) f x1 x2 r1 r2 r3 x y Três raízes reais distintas. f(x1) f(x2) x1 x2 r f x y Uma só raiz real P(a) . P(b) < 0 f(x1) f(x2) x2 x1 r1 r2 x y f(x1) f(x2) x2 x1 r x y Uma raiz real tripla Uma raiz real dupla e uma simples

29 2) Se P(a) e P(b) tem sinais iguais, o teorema não garante a existência de reais, podendo, no entanto existir raízes um número par de raízes  ]x1; x2[. f(x1) f(x2) x1 x2 r2 r1 x y Tem duas raízes reais distintas. f(x2) f(x1) x1 x2 r1 r2 r3 r4 x y Tem quatro raízes reais distintas. P(a) . P(b) > 0 Tem uma raiz real dupla e duas raízes reais simples. f(x2) f(x1) x2 x1 r4 r3 r1 = r2 x y f(x2) f(x1) x1 x2 x y Não tem raiz real.

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32 MATEMÁTICA DETERMINANTES

33 “DETERMINE A FUNÇÃO det: M  R, ONDE
DETERMINANTES: 1) DEFINIÇÃO SENDO M O CONJUNTO DAS MATRIZES QUADRADAS E R O CONJUNTO DOS REAIS, ENTÃO: “DETERMINE A FUNÇÃO det: M  R, ONDE Mn  det Mn, TAL QUE:

34 DETERMINANTES: a11 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a) Se n = 1  det Mn = a11 b) Se n = 2  det Mn = a11 a12 a21 a22 c) Se n = 3  det Mn = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

35 DETERMINANTES: a11 a12 a21 a22 2) Regras Práticas
Determinante de 2ª ordem a11 a12 a21 a22 D.P. + D.S. -

36 DETERMINANTE DE 3ª ORDEM (REGRA DE SARRUS)
DETERMINANTES: DETERMINANTE DE 3ª ORDEM (REGRA DE SARRUS) a11 a12 a21 a22 a31 a32 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 D.S. D.P. - +

37 DETERMINANTE IGUAL A ZERO
DETERMINANTES: 3) PROPRIEDADES DETERMINANTE IGUAL A ZERO a) UMA FILA NULA OU = 0

38 DETERMINANTE IGUAL A ZERO
DETERMINANTES: 3) PROPRIEDADES DETERMINANTE IGUAL A ZERO b) DUAS FILAS PARALELAS IGUAIS OU = 0 C1 = C2 L1 = L3

39 DETERMINANTE IGUAL A ZERO
DETERMINANTES: 3) PROPRIEDADES DETERMINANTE IGUAL A ZERO c) DUAS FILAS PARALELAS PROPORCIONAIS OU = 0 C2 = 3C1 L1 = 2L3

40 DETERMINANTE IGUAL A ZERO
DETERMINANTES: 3) PROPRIEDADES DETERMINANTE IGUAL A ZERO d) UMA FILA É COMBINAÇÃO LINEAR DE DUAS FILAS PARALELAS OU = 0 L1 = L2 + L3 C3 = C1 – C2

41 ALTERAÇÕES NO DETERMINANTE
DETERMINANTES: ALTERAÇÕES NO DETERMINANTE a) TROCANDO A POSIÇÃO DE DUAS FILAS PARALELAS , O DETERMINANTE TROCA DE SINAL = -6 = 6

42 ALTERAÇÕES NO DETERMINANTE
DETERMINANTES: ALTERAÇÕES NO DETERMINANTE b) MULTIPLICANDO UMA FILA POR  , O DETERMINANTE FICA MULTIPLICADO POR . = -6 (x2) = 2.(-6)= -12

43 DETERMINANTES: 1 3 2 0 -2 1 2 1 4 2 6 4 0 -4 2 4 2 8 Ex: 1) = 5
c) UM DETERMINANTE FICA MULTIPLICADO POR  , QUANDO TODO OS ELEMENTOS DO DETERMINANTE FOREM MULTIPLICADOS POR  . Ex: 1) = 5 SE MULTIPLICARMOS TODOS OS ELEMENTOS POR 2 , então seu resultado será 23.(5) = 40 2) Se M é matriz de 3ª ordem e det(m) = 8, então det(3m) = 33. det(m) = 27.8 = 216

44 DETERMINANTE NÃO SE ALTERA
DETERMINANTES: DETERMINANTE NÃO SE ALTERA a) SE TROCAR EM ORDEM LINHAS POR COLUNAS = b) SE SOMARMOS A UMA FILA UMA COMBINAÇÃO LINEAR DE OUTRAS FILAS PARALELAS (TEOREMA DE JACOBI) C3 = C1 + C2 – C3 =

45 DETERMINANTES: TEOREMA DE BINET det (A .B) = det(A) . det(B) . Ex:
SE A E B SÃO MATRIZES QUADRADOS DE MESMA ORDEM, ENTÃO : det (A .B) = det(A) . det(B) Ex: = det . det . det

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