Aula 10 Risco Operacional Prof. José Valentim Machado Vicente, D.Sc.

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1 Aula 10 Risco Operacional Prof. José Valentim Machado Vicente, D.Sc. jvalent@terra.com.br

2 Aula 10 2 Conteúdo da Aula  Base de Dados  Método da Distribuição de Perdas Modelos de Freqüência Distribuição de Poisson Modelos de Severidade Distribuição Gama Teoria dos Valores Extremos VaR Operacional

3 Aula 10 3 Base de Dados  Quando a decisão é modelar risco operacional, a primeira questão que surge é de onde virão os dados? Essa questão é mais fácil de ser respondida para o risco de mercado e de crédito.  Os bancos, com raras exceções, têm procedimento formal para registrar e arquivar informações sobre perdas operacionais históricas de forma sistemática.  Segundo pesquisa do Comitê da Basiléia, apenas um pequeno número de bancos já está utilizando métodos estatísticos para modelar risco operacional.

4 Aula 10 4 Base de Dados  Existem duas grandes dificuldades em se coletar eventos de risco operacional: Os eventos de risco operacional têm sua natureza descentralizada, ou seja, este tipo de risco pode se materializar em qualquer unidade de negócio, podendo estar relacionado a qualquer processo, produto ou serviço. Há uma carência cultural no processo de coleta deste tipo de perda, principalmente pelo fato de ser uma informação sensível e ainda não haver um claro entendimento dos benefícios como o ganho de eficiência que este rastreamento de perdas pode trazer.

5 Aula 10 5 Base de Dados  Existem três formas alternativas, não excludentes, de se coletar as perdas decorrentes de risco operacional: Registrar manualmente as ocorrências de risco operacional à medida que os eventos de perda ocorrem. Coletar os dados de fontes gerenciais. Minerar nas contas contábeis as perdas decorrentes de eventos de risco operacional.

6 Aula 10 6 Forma de ColetaVantagensDesvantagens ManualPossibilita maior detalhamento da perda e uma identificação precisa das causas, efeitos e ações mitigadoras. A cobertura das perdas requer uso intensivo de capital humano. GerencialDemanda menor uso de capital humano e é adaptável a taxonomia de RO. A informação é menos detalhada que no método manual e menos confiável do que no método contábil. ContábilO uso do capital humano é mínimo e a confiabilidade deste tipo de informação é muito maior do que as outras. Ainda não existem contas específicas para este tipo de perda e é difícil identificá-las dentro da taxonomia de RO. Base de Dados

7 Aula 10 7 Base de Dados  Na análise exploratória de dados de perdas operacionais duas características são muitas das vezes observadas: Uma grande quantidade de perdas com valores baixos e uma pequena quantidade de perdas com valores altos. A ocorrência de recuperações é um fenômeno com pouca chance de ocorrer, no entanto o volume total de capital recuperado é significante.

8 Aula 10 8 Método da Distribuição de Perdas  O MDP consiste em agregar (ou, usando o termo matemático adequado, convoluir) em um único processo estocástico a distribuição de freqüência e a distribuição de severidade das perdas.  Em outras palavras, a perda total S é a soma de um número estocástico de ocorrências N: onde X n é a severidade da n-ésima ocorrência.

9 Aula 10 9 Método da Distribuição de Perdas Distribuição de Severidade Valor perdas # observações Distribuição de Freqüência Freqüência de perdas # observações DPA Probabilidade Total de perdas

10 Aula 10 10 Método da Distribuição de Perdas  Algumas hipóteses são assumidas para esse modelo: As v.a.´s X 1, …, X n condicionadas a N = n são iid; A distribuição das v.a.´s X 1, …, X n condicionadas a N = n independe de n. A distribuição de N não depende das v.a.´s X 1, …, X n.  Em geral não há uma solução analítica para a distribuição das perdas agregadas S. É necessário, portanto, o emprego de algum método de simulação.  O primeiro passo na modelagem do MDP é selecionar os modelos de freqüência e severidade.

11 Aula 10 11 Modelos de Freqüência  O estudo da distribuição de freqüência envolve a contagem dos eventos de perda em uma determinada janela de tempo (hora, dia, mês, etc).  As distribuições mais empregadas para modelar o processo de freqüência são: Poisson. Binomial Negativa. Binomial.  Dessas, a mais importante é, sem dúvida, a de Poisson.

12 Aula 10 12 Distribuição de Poisson  É a mais utilizada para modelar os processos de freqüência.  É bastante simples. Sua distribuição depende de apenas um parâmetro, a média da distribuição.  Se X é uma v.a. com distribuição de Poisson de parâmetro então a probabilidade de X ser igual a k, onde k é um inteiro não negativo, é

13 Aula 10 13 Distribuição de Poisson  A função POISSON do MS Excel retorna a distribuição de Poisson. Sua sintaxe é a seguinte: POISSON(x;média;cumulativo) x é o número de eventos. média é média da distribuição. cumulativo é um valor lógico que determina a forma da distribuição de probabilidade fornecida. Se cumulativo for VERDADEIRO, POISSON retornará a probabilidade de o número de eventos aleatórios estar entre zero e x; se FALSO, retornará a probabilidade de o número de eventos ser x.

14 Aula 10 14 Distribuição de Poisson  Exemplo 1: Em média, ocorrem 10 quedas por hora de conexões da rede de comunicações de dados em um certo banco. Calcule a probabilidade de ocorrer mais de 15 quedas por hora. Solução: Seja N a v.a. que representa o número de interrupções da rede, então

15 Aula 10 15 Distribuição de Poisson

16 Aula 10 16 Distribuição de Poisson  Exemplo 2: Em uma empresa ocorrem em média 5 fraudes por mês. Cada fraude gera um prejuízo de R$ 100.000. Calcule a probabilidade de ocorrer uma perda mensal devido às fraudes superior a R$ 1.000.000. Solução: Prejuízo > R$ 1.000.000  #fraudes (N) > 10, então

17 Aula 10 17 Distribuição de Poisson  Se n 1, n 2, …, n K, é uma amostra aleatória de uma distribuição de Poisson, então uma estimativa do parâmetro é:  Exemplo 3: Em um período de 500 dias, ocorreram 1120 fraudes em uma banco. Se o número de fraudes diárias obedece uma distribuição de Poisson, então uma estimativa do parâmetro é 1120/500 = 2,24.

18 Aula 10 18 Modelos de Severidade  Severidade ou impacto é o valor monetário que a instituição financeira perde, caso um evento de risco operacional se materialize.  No Exemplo 2 analisamos uma situação na qual a severidade é determinística (no caso igual a R$ 100.000). Na prática, devemos impor um modelo estocástico para a severidade, da mesma forma que fizemos para a freqüência. No entanto, neste caso as distribuições candidatas são as distribuições contínuas.

19 Aula 10 19 Modelos de Severidade  As distribuições mais empregadas para modelar o processo de freqüência são: Gama. Pareto. Lognormal. Weibull. Normal. Distribuições de Valores Extremos: GEV (Generalized Extreme Value) e GPD (Genaralized Pareto Distribution).

20 Aula 10 20 A Distribuição Gama  A distribuição Gama foi estudada primeiramente por Laplace em 1836. Essa distribuição fornece um representação razoável para diversas situações físicas, como por exemplo, na teoria de confiabilidade.  A distribuição Gama, além de ser uma distribuição simples, é também bastante flexível, pois tem um parâmetro de correção da forma da curva, possibilitando um melhor ajuste dos dados.

21 Aula 10 21 A Distribuição Gama  Uma v.a., que assume apenas valores não negativos, tem distribuição Gama se sua fdp é dada por:, onde  (  ) é a função Gama calculada no ponto . A função Gama é uma espécie de generalização do operador fatorial, no sentido de que se n é um inteiro positivo então  (n  1) = n! = n  (n  1)  …  1.

22 Aula 10 22 A Distribuição Gama  = 1  = 2  = 4

23 Aula 10 23 A Distribuição Gama  A função DISTGAMA do MS Excel retorna a distribuição Gama. Sua sintaxe é a seguinte: DISTGAMA(x;alfa;beta;cumulativo) x é o valor no qual se deseja avaliar a distribuição. alfa é o parâmetro da distribuição. beta é um parâmetro da distribuição. cumulativo é um valor lógico que determina a forma da função. Se cumulativo for VERDADEIRO, DISTGAMA retornará a função de distribuição cumulativa; se for FALSO, retornará a função densidade de probabilidade.

24 Aula 10 24 A Distribuição Gama  Exemplo 4: Em um banco, a perda (severidade) em caso de fraude obedece uma distribuição Gama com parâmetros  = 1 e  = 2000. Calcule a probabilidade de ocorrer uma fraude com perda superior a R$ 10.000. Solução: Seja X o valor da perda em caso de fraude, então:

25 Aula 10 25 A Distribuição Gama  Se x 1, x 2, …, x K, é uma amostra aleatória de uma v.a. X com distribuição Gama então as estimativas de  e  são (método dos momentos): onde

26 Aula 10 26 VaR Operacional  O VaR sintetiza a perda máxima esperada, medida em valores monetários, dentro de determinado intervalo de tempo e dada uma probabilidade de ocorrência. Portanto, devemos sempre associar esta medida a: uma moeda (valor monetário). um intervalo de tempo (quando devemos notar a perda). uma probabilidade (com que freqüência a perda será notada).

27 Aula 10 27 VaR Operacional  Em virtude do grande sucesso e da plena aceitação do VaR por parte do mercado, novas métricas para quantificação de outros riscos foram desenvolvidas tendo como base o conceito de VaR. Entre essas novas métricas, podemos citar: CFaR (Cash Flow at Risk). EaR (Earning at Risk). VaR REP (VaR Reputational). VaR OR (VaR Operacional Risk).

28 Aula 10 28 VaR Operacional  Para calcular o VaR OR devemos empregar o MDP para agregar a freqüência e a severidade dos eventos operacionais. Geralmente, a distribuição das perdas operacionais não pode ser obtida analiticamente, logo alguma técnica de simulação deve ser usada.  Para entender como o MDP funciona, estudaremos um exemplo hipotético. As transparências a seguir apresentam dados de freqüência e severidade de perda com pagamentos de juros a terceiros por atraso na liquidação de transações na tesouraria de um banco.

29 Aula 10 29 VaR Operacional  Freqüência das perdas

30 Aula 10 30 VaR Operacional  Intensidade das perdas

31 Aula 10 31 VaR Operacional  A primeira tabela mostra que ocorreram 59 eventos de risco operacional a uma média de dois por dia. Em apenas 4 dias o banco não sofreu perdas com juros pagos a terceiros.  A segunda tabela mostra uma perda média diária de R$ 152.244 e uma perda total de R$ 8.982.369 no período considerado. No pior dia (22/ago) o banco teve sete pagamentos por não liquidação, o que gerou uma perda total nesse dia de R$ 2.550.708.

32 Aula 10 32 VaR Operacional  Teste gráfico para ajustar a distribuição de freqüência

33 Aula 10 33 VaR Operacional

34 Aula 10 34 VaR Operacional  Para calcular o VaR OR é comum usar uma técnica conhecida como simulação de Monte Carlo.  O primeiro passo consiste em gerar uma série de cenários para a freqüência das perdas. Admitindo uma distribuição de Poisson com parâmetro = 1,97, podemos empregar a Ferramenta de Análise Geração de Número Aleatório do MS Excel para produzir uma amostra aleatória de tamanho 10.000 oriunda de uma Poisson com parâmetro = 1,97.

35 Aula 10 35 VaR Operacional Menu Ferramentas, opção Análise de Dados Caixa de diálogo Geração de Número Aleatório

36 Aula 10 36 VaR Operacional  Em seguida, devemos simular cenários de severidade das perdas para cada evento de perda gerado no passo anterior. Por hipótese, admitiremos que a severidade das perdas obedece uma distribuição Gama.  Para estimar os parâmetros da distribuição Gama, a partir dos dados coletados, podemos empregar o método dos momentos:

37 Aula 10 37 VaR Operacional

38 Aula 10 38 VaR Operacional  O MS Excel não possui uma função ou ferramenta para geração de números segundo uma distribuição Gama. No entanto, podemos empregar a função INV.GAMA e a função ALEATÓRIO() para realizar essa tarefa, basta fazer:  A função ALEATÓRIO() gera uma número aleatório entre 0 e 1. A função INVGAMA retorna o inverso da distribuição cumulativa Gama.

39 Aula 10 39 VaR Operacional  As sintaxe dessas funções são as seguintes: INVGAMA(probabilidade;alfa;beta) probabilidade é a probabilidade associada à distribuição gama. alfa é um parâmetro da distribuição. beta é um parâmetro da distribuição. ALEATÓRIO( )

40 Aula 10 40 VaR Operacional  Resultado da simulação

41 Aula 10 41 VaR Operacional  Para calcular o VaR OR basta tomar o percentil da coluna Perda Dia correspondente ao nível de confiança adotado. A função PERCENTIL do Ms Excel retorna o percentil de uma série de dados. Sua sintaxe é a seguinte: PERCENTIL(matriz;k) matriz é a matriz ou intervalo de dados que define a posição relativa. k é o valor do percentil no intervalo 0..1, inclusive.

42 Aula 10 42 VaR Operacional  O VaR OR para diversos níveis de confiança é:

43 Aula 10 43 VaR Operacional  No exemplo anterior os dados foram ajustados as distribuições de Poisson (freqüência) e Gama (severidade) por um procedimento gráfico. Na prática, para ser mais preciso, deve ser empregado algum teste de aderência. Os mais comuns são: Qui-quadrado. Kolmogorov-Smirnov. Anderson-Darling. Cramer-Von Mises.

44 Aula 10 44 VaR Operacional  Uma questão interessante que surge no cálculo VaR OR é: Como incorporar a correlação existente entre perdas operacionais ? Por exemplo, uma falha em um equipamento elétrico pode afetar diversos setores. Então como tratar a dependência entre esse eventos ?  Uma solução consiste em estender o raciocínio apresentado aqui e trabalhar com v.a.´s de Poisson correlacionadas. Uma boa referência para esse assunto é Powojowski et al (2002).

45 Aula 10 45 Referências  Basel Committee on Banking Supervision (2003), “Overview of The New Basel Capital Accord”.  Cruz, M. G. (2002) “Modeling, Measuring and Hedging Operational Risk”. Chichester: John Wiley & Sons, Ltd.  Duarte Jr., A. M. ; Varga, G. (2003) “Gestão de Riscos no Brasil”. Rio de Janeiro: Financial Consultoria.  Embrechts, P. (2000) “Extremes and Integrated Risk Management”. London: Risk Publications.

46 Aula 10 46 Referências  Guimarães, T. A. (2003) “Implementação do Método de Distribuição de Perdas para Risco Operacional”. Dissertação de Mestrado – FEA/USP.  Powojowski, M. R.; Reynolds, D.; Tuenter, H. J. (2002) “Dependent Events and Operational Risk”. Algo Research Quarterly.  JORION, P. (2001) “Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk, 2 a ed”. New York: McGraw-Hill.

47 Aula 10 47 CreditRisk+  Esse modelo foi desenvolvido pelo Credit Suisse Financial Products (CSFP) em 1997 e está baseado na abordagem atuarial. O modelo procura estabelecer medidas de perda esperada com base no perfil de sua carteira de empréstimos ou títulos e no histórico de inadimplência.  O número de inadimplências em um determinado período é modelado por uma distribuição de Poisson.  Se X é uma v.a. com distribuição de Poisson de parâmetro então a probabilidade de X ser igual a k, onde k é um inteiro não negativo, é

48 Aula 10 48 CreditRisk+  Por exemplo, se ocorrem em média 3 inadimplências em um mês, então as probabilidades de nenhuma inadimplência em um mês e de três inadimplências em um mês são  Conhecendo a distribuição do n o de inadimplências e as perdas esperadas das diversas operações é possível determinar o risco de crédito da carteira.

49 Aula 10 49 CreditRisk+  Vejamos um exemplo. Suponha que um banco possua 100 operações de empréstimos com exposição a perda de $ 20.000 (observe que esses empréstimos podem ter valores nominais diferentes pois o que importa é o valor da perda).  Suponha também que a carteira possua histórico médio de inadimplência de 3%. Logo a perda esperada é de $ 60.000 (3% x 100 x $ 20.000).  Considerando que o intervalo de confiança desejado é de 99%, a perda associada seria de $ 160.000 (8 x $ 20.000), pois só no oitavo empréstimo é alcançada uma probabilidade acumulada de 99%. Assim, a perda inesperada dessa carteira de crédito é de $ 100.000 ($ 160.000 - $ 60.000).

50 Aula 10 50 CreditRisk+