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Conjuntos Prof. Dirceu Melo.

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Apresentação em tema: "Conjuntos Prof. Dirceu Melo."— Transcrição da apresentação:

1 Conjuntos Prof. Dirceu Melo

2 Notações de Conjuntos Um conjunto pode ser representado:
Enumerando seus elementos entre chaves, separados por vírgulas; Indicando, entre chaves, uma propriedade que caracterize cada um de seus elementos; Por meio de uma figura fechada, dentro da qual podem-se escrever seus elementos. “Diagrama de Venn-Euler”.

3 Observação Há conjuntos com apenas:
Um único elemento, chamados conjuntos unitários; Nenhum elemento, chamados conjunto vazio; Infinitos elementos, chamados conjuntos infinitos. O conjunto vazio pode ser representado pelos símbolos { } ou Ø. É errado representar o conj. Vazio com { Ø }

4 Exemplo A = {x; x é inteiro positivo, par e primo} A = {2}
B = {x; x é inteiro, ímpar e divisível por 2} B = Ø C = {a; a é número natural ímpar e primo} C = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}

5 Subconjuntos Se todo elemento de um conjunto A é também elemento de um conjunto B, dizemos que: A está contido em B ou A é subconjunto de B: A  B B contém A : B  A B A

6 Operações com Conjuntos

7 Operações com Conjuntos
A partir de dois conjuntos conhecidos, A e B, podemos obter outros conjuntos, operando com os conjuntos dados. Definimos as operações a seguir: União; Interseção; Diferença; Complementar

8 União dos Conjuntos A e B (A  B)
É o conjunto dos elementos que pertencem ou a A, ou a B ou a ambos os conjuntos. A  B = {x; x  A ou x  B} B A

9 Interseção dos Conjuntos A e B (A  B)
É o conjunto dos elementos que pertencem a A e B. A  B = {x; x  A e x  B} A B Também a operação interseção pode ser generalizada para três ou mais conjuntos.

10 Número de Elementos da União
O número de elementos da união de dois conjuntos é dado por: n(A  B)= n(A) + n(B) - n(AB) n(A  B)= – 2 = 7 B A 2 3 6 7 9 10 12

11 Diferença dos Conjuntos A e B (A – B)
É o conjunto dos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. A – B = {x; x  A e x  B} A B

12 Diferença dos Conjuntos B e A (B – A )
É o conjunto dos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. B – A = {x; x  B e x  A} A B

13 Exemplo Se A = {x natural, menor que 10 / x é par} e B = {x natural, menor que 10 / x é primo}. Determine A  B, A  B, A – B e B – A. A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {2, 3, 5, 7} A  B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A  B = {2} A B 3 A – B = {0, 4, 6, 8} 4 2 6 5 B – A = {3, 5, 7} 8 7

14 Complemento de um Conjunto
No caso em que o conjunto B está contido no conjunto A (B  A), a diferença A – B pode ser chamada, também, complementar de B em relação a A (∁AB). A B A – B B  A  ∁AB = A-B

15 Complementar em Relação ao Conjunto Universo
Seja A contido em U. O complementar de A em relação a um dado universo pode ser representado, simplesmente por A. U A Ex: Se A={-2,0,7,10} e o conjunto universo é U={-5,-2,-1,0,1,2,3,5,7,10,12}, então

16 Conjuntos Numéricos

17 Evolução do sistema de numeração hindu.

18 Depois de muito tempo, no seculo XX o matemático Cantor (1845–1918) organizou uma teoria para os conjuntos, de onde surgiram então os Conjuntos Numéricos

19 Conjuntos numéricos CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS – N
Tem como elementos números inteiros e positivos. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z Tem como elementos números inteiros positivos e negativos. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS - Q Tem como elementos números inteiros positivos e negativos, decimal finito e dízima periódica. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS - I Tem como elementos decimais infinitos sem período. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - R Tem como elementos os números que compõem o conjunto Racional e Irracional simultaneamente.

20 Conjunto dos Números Naturais
São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N, N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...} Obs: Isso vale todos para os outros conjuntos a seguir. ex: Z*, Q*, R*,I*

21 Conjunto dos Números Inteiros
São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z: Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:

22 Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}

23 Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-: Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

24 Inteiros Positivos É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z+*: Z+* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Z+* = N*

25 Inteiros Negativos São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z-*. Z-* = {... -4, -3, -2, -1}

26 Conjunto dos Números Racionais
Englobam os números inteiros (Z) Números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) Números decimais infinitos periódicos (dízimas periódicas). Os racionais são representados pela letra Q. N Q Z N Z Q

27 Todo número racional pode ser colocado em forma
a/b, onde a é um número inteiro e b é um inteiro não-nulo, Exemplos Representação decimal Números decimais periódicos ou infinitos Números decimais exatos ou finitos 27

28 Conjunto dos Números Irracionais conjunto I ou conjunto R-Q
É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Exemplos: o número π (pí) = 3, o número e (algarismo neperiano ou número de Euler) = 2, São irracionais todas as raízes não exatas. d 1 Quanto mede a diagonal de Um quadrado de lado 1 ?

29 Conjunto dos Números Reais
Z Q I R R=Q U I Q ∩ I = Ø I=R-Q Consequências:

30 R = Q U I = { x | x é racional ou x é irracional}
Conjunto dos Números Reais R = Q U I = { x | x é racional ou x é irracional} e 30

31 Intervalos Intervalo é qualquer subconjunto dos números reais.
Intervalo aberto a b ou ]a, b[ Intervalo semi-aberto à direita a b ou [a, b[ Intervalo semi-aberto à esquerda a b ou ]a, b] Intervalo fechado a b ou [a, b] 31

32 Intervalos Infinitos 1) ou ]a, + [ 2) ou [a, + [ 4) ou ] - , b[ 3)
5) A reta é o conjunto R 32


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