1 Processamento de Sinais CDESC Rodolfo Araujo Victor RH/UP/ECTEP Aula 7 11/11/2010.

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1 1 Processamento de Sinais CDESC Rodolfo Araujo Victor RH/UP/ECTEP Aula 7 11/11/2010

2 2 Filtros digitais lineares

3 3 Filtros digitais Filtros ideais têm resposta com duração infinita. Truncamento gera o effeito de Gibbs (derrame espectral)

4 4 Filtros digitais Aplicação da janela reduz este efeito

5 5 Filtros digitais Passa-baixa

6 6 Filtros digitais Passa-alta

7 7 Filtros digitais Passa-faixa

8 8 Filtros digitais Corta-faixa

9 9 Filtros digitais Notch (parte 1)

10 10 Filtros digitais Notch (pronto)

11 11 Filtros digitais Novos parâmetros

12 12 Filtros digitais Exemplo: filtro passa-baixa trapezoidal

13 13 Transformada z

14 14 Transformada z Definição z é variável complexa Transformada z se reduz à transformada de Fourier com

15 15 Exemplos –Impulso –Sequência numérica Polinômio em z Transformada z

16 16 Transformada z Algumas propriedades (vide página 226)

17 17 Transformada z Convolução no tempo equivale à multiplicação no domínio z:

18 18 Deconvolução

19 19 Deconvolução Convolução Deconvolução: operação inversa da convolução. Conhecidos y(t) e h(t), obter x(t). No domínio z, deconvolução equivale a uma divisão polinomial

20 20 Deconvolução Filtro de forma: um filtro f [n] (a ser calculado) que transforma x[n] (conhecido) em y[n] (desejado) por meio de uma operação de convolução. No domínio de frequência, encontramos F(  ) fazendo

21 21 Deconvolução Este processo se torna instável à medida que diminuem as amplitudes de X(  ), o que é típico para processamento de dados sísmicos por exemplo, que são sinais de faixa limitada. Uma proposta de estabilização dada por Wiener (1949) é calcular onde a constante  controla a estabilização.

22 22 Deconvolução Desvantagem do processo no domínio de frequência: o filtro f [n] deve ser do mesmo tamanho do dado x[n], o que não é desejável para dados muito grandes. Outra abordagem: desenvolver um filtro mais curto, de N pontos, que melhor aproxima o resultado desejado, segundo o critério de mínimos quadrados. Considerando x [n], minimizaremos a energia do erro.

23 23 Deconvolução Calculando o zero do gradiente Chegamos à equação* Onde  é a operação de correlação cruzada *Veja, por exemplo, Robinson & Treitel, Geophysical Signal Analysis, Prentice Hall, 1980

24 24 Deconvolução Este processo também pode se tornar instável levando a valores muito altos para os coeficientes do filtro. Uma alternativa é utilizar o método de mínimos quadrados amortecido, que minimiza simultaneamente as energias do erro e do filtro: Levando a

25 25 Deconvolução Escrito em forma matricial:

26 26 Deconvolução Aplicação do parâmetro de estabilização equivale a somar um impulso na autocorrelação do sinal de entrada. No domínio de frequência, impulso é uma função constante e autocorrelação é o espectro de potência. Logo, a estabilização equivale a somar um fator constante no espectro de potência. Este processo é chamado luz branca.

27 27 Deconvolução Deconvolução no domínio de frequência: dividem-se os espectros

28 28 Deconvolução No domínio de tempo, calcula-se uma função f(t) cuja convolução com h(t) resulta em um impulso unitário: Calcular f [n] equivale a calcular o filtro de forma que transforma h[n] em  [n].

29 29 Exercício Carregue ‘traco.mat’, contendo um traço sísmico com mintervalo de amostragem 4 ms. Divida o dado em 5 partes e faça o gráfico do espectro de amplitude de cada parte, aplicando uma janela antes do cálculo da transformada. Comente os resultados.