AMPLIFICADORES OPERACIONAIS.

AMPLIFICADORES OPERACIONAIS

CONTEÚDO 2.1. Circuitos básicos com Amplificadores Operacionais
Montagem não inversora, Seguidor; Inversor; Somadores e circuitos diferença; Integradores; Diferenciador; Comparadores; Rectificadores de precisão; Detector de Pico. 2.2. Amplificador Operacional Real Características não ideais de funcionamento: ganho e largura de banda; Resposta em frequência; corrente e tensão de desvio (“offset”); Taxa de deslizamento (“slew rate”); impedâncias de entrada e de saída; excursão de sinal; Modelo de um Amplificador Operacional não ideal. CONTEÚDO

Amplificador Operacional Ideal
Entrada inversora Entrada não inversora Unilaterais – variáveis de saída não influenciam as variáveis de entrada Impedância de entrada infinita (Zi>1MW) Impedância de saída nula (Zo<100W) Ganho de tensão infinito (105<A< 106) - Importante !! (define a qualidade do Ampop) Largura de banda infinita Correntes de entrada nulas Amplificadores operacionais de uso geral são amplificadores de tensão. São unilaterais: as variáveis de saída não têm influência nas variáveis de entrada, Alimentação duas fontes de tensão contínuas uma positiva e outra negativa (+15,-15 ;+5,-5)

Circuito Equivalente do ampop ideal
Amplificador Operacional Ideal Representação das fontes de sinal de entrada v1 e v2 em termos das componentes diferencial e de modo comum Circuito Equivalente do ampop ideal Entrada diferencial Entrada de modo comum

Modelo interno de um Amplificador Operacional Ideal
Expressar v3 em termos de v1 e de v2 para o caso de Gm=10mA/V, R=10kW e m=100, Determinar o valor do ganho em cadeia aberta. O circuito interno de um ampop pode ser modelado pelo circuito da figura. Expressar v3 em termos de v1 e de v2 para o caso de Gm=10mA/V, R=10kW e miu=100, Determinar o valor do ganho em cadeia aberta.

Característica de transferência de um Amplificador Operacional Ideal
vD vO VSAT+ VSAT- 10mV 10V vD vO VSAT+ VSAT- A tensão de saída só depende da tensão diferencial de entrada vD Na zona linear da característica VO=A vD Nas zonas de saturação VO=VSAT+ ou VO=VSAT-

Realimentação negativa
Circuitos Básicos com Amplificadores Operacionais Funcionamento Linear Amplificador realimentado Componentes ligados da saída para a entrada negativa Realimentação negativa

Montagem não inversora
Ganho em cadeia fechada Características da montagem não inversora: Resistência de entrada: Resistência de saída: GANHO:

Montagem não inversora Características da montagem não inversora:
Resistência de entrada: Resistência de saída: GANHO: Esquema equivalente da montagem não inversora: Gerador de tensão comandado por tensão + -

Características da montagem não inversora:
Influência do ganho do ampop A sobre o ganho da montagem Af: GANHO A finito: vX vD vD=VO/A A Af 102 9,09 103 9,90 104 9,99 ∞ 10

Seguidor de tensão isolador Rg + Rg vg + Rl + - - vg vO=vg - Rl vo<vg

Inversor Análise da montagem inversora.

Características da montagem inversora:
Resistência de entrada: Resistência de saída: GANHO: Esquema equivalente da montagem não inversora: + - RI

Características da montagem inversora:
Influência do ganho do ampop A sobre o ganho da montagem Af: vX GANHO A finito: vD=VO/A vD

Análise da montagem inversora considerando o ganho de cadeia aberta finito
Resistências de entrada e de saída Ordem de grandeza (RiRO)1/2 Resistências no circuito devem ser menores que Ri e maiores que Ro (do ampop) Exemplo: (Ri= 1 MW e Af=100 e RO=100W) (RiRO)1/2=10kW R1=1kW e R2=100kW

Inversor - Exemplo Exemplo 1 1 2 3 e 4 5 7 6 8
Determinar uma expressão para o ganho Af. Use este circuito para dimensionar um inversor com ganho Af=100 e uma resistência de entrada de 1MW. As resistências devem ser menores ou iguais que 1MW. 1 2 3 e 4 5 7 6 8

Inversor - Exemplo 1 2 Exemplo 1 3 e 4 5 6 7 8

Somador

Acm = ganho de modo comum – idealmente deverá ser nulo
Representação dos sinais de entrada através das suas componentes diferencial e de modo comum Circuitos diferença Muito aplicados em instrumentação, para eliminação de ruído. Não se pode usar um ampop por ter ganho infinito. Ad = ganho diferencial Acm = ganho de modo comum – idealmente deverá ser nulo CMRR = razão de rejeição de modo comum

Aplicação do Teorema de Sobreposição para resolver o amplificador diferença
vI2=0 vI1=0

Aplicação do Teorema de Sobreposição para resolver o amplificador diferença
Aplicação, medida osciloscópio

Análise do amplificador diferença para determinar o seu ganho em modo comum: Acm = vO / vIcm.
Cálculo de i1: Cálculo de vO: O ganho de modo comum é zero se fizermos R1=R3 e R2=R4 Ganho de modo comum Acm Como i2=i1

Circuitos diferença Determinar a resistência de entrada do amplificador diferença para o caso de se ter R3 = R1 e R4 = R2. Desvantagens: 1 - Ganho diferencial elevado: R2 /R1 e R1 tem que ser baixo levando a uma baixa impedância de entrada. 2 – Difícil variar o ganho diferencial.

Amplificador de Instrumentação
Análise A ideia é incluir duas montagens não inversoras em cada entrada, para eliminar o problema de baixa impedância de entrada. O opamp Amplificador de instrumentação, obtém-se melhores resultados se se substituir as duas resistências R1 pela sua soma e eliminando a ligação á terra. Análise do circuito considerando ampops ideais Ganho variável através de R1 impedância de entrada infinita

Amplificador Operacional Real Características não ideais de funcionamento:
Ganho e Largura de banda Ganho diferencial e ganho de modo comum A tensão e saída depende das componentes diferencial e de modo comum vId e vICm Representação das fontes de sinal de entrada v1 e v2 em termos das componentes diferencial e de modo comum A → ganho diferencial AC → ganho de modo comum Entrada diferencial Num ampop ideal A=infinito e AC=0 Um amplificador operacional pode ser excitado por dois geradores que impõem as tensões v1 e v2. É conveniente considerar que a excitação contém uma componente diferencial vId e uma componente de modo comum vICm em que vId=v1-v2 e vIm=1/2 (v1+v2). A tensão de saída depende de vId e de vIcm da seguinte forma vo=AvId+ACvICm Num ampop real em que AC≠0 define-se relação de rejeição de modo comum CMRR=A/AC = 80 a 100dB (104 < – >105) Entrada de modo comum

Amplificador Operacional Real
MONTAGEM INVERSORA A → ganho diferencial O efeito de AC não é importante AC → ganho de modo comum Um ampop com CMRR finito é equivalente a um ampop ideal com um gerador de tensão vE na entrada MONTAGEM NÃO INVERSORA - + vE O efeito de AC é importante Importante quando se têm tensões diferenciais de pequena amplitude associadas a tensões de modo comum elevadas

Resistências de entrada e de saída Amplificador Operacional Ideal + - RI Resistência de entrada diferencial é a resistência “vista” por um gerador ligado entre os terminais + e – da entrada ~ Rid Amplificador Operacional Real RO VId Rid Perceber nas montagens inversors e não inversora Resistência de entrada de modo comum é a resistência “vista” por um gerador que produz uma tensão e modo comum ~ Ric + - 2Ric 2Ric Ric>> Rid >> RO VIcm 100MW >> 1 MW >> 100W

Característica de um AO real com tensão de offset VOS= - 5mV Tensão de “offset” (desvio) Montagem inversora com as entradas ligadas à massa. Devido à tensão e offset a saída não é nula No ampop ideal qd vID=0 é vo=0. na realidade devido a assimetrias no circuito interno do ampop para que a saída seja nula é necessário que a tensão de diferencial entrada tenha um valor não nulo vId=VOS. Sendo devida a assimetrias vOS é uma variável aleatória |vOS| situa-se entre 1 e 5mv. Um ampop não realimentado está normalmente saturado: Vos=1mV A=10 à quinta vO=Avos=100>>>vsat. vX=Vos Vo-Vos/r2=voS/r1 Vo/r2-Vos/r2=Vos/r Vo/r2=Vos(1/r1+1/r2) Vo=Vos (r2/r1+1) Esta é a tensão que tem que somar-se na saída quando a tensão de entrada não é nula. O efeito da tensão de desvio pode ter uma importância maior ou menor consoante a aplicação em causa. (mau quando os sinais de entrada são da mesma ordem de grandeza das tensões de offset e de baixa frequência. Efeito da tensão de offset piora quando a amplitude dos sinais a amplificar é da mesma ordem de grandeza da tensão offset e quando são de baixa frequência  COMPENSAÇÃO

Compensação da Tensão de offset O efeito da tensão de offset na saída do ampop pode ser colocado a zero, colocando um potenciómetro nos terminais de compensação do ampop. Mais caro; VOS varia com a temperatura e com outras condições ambientais

Tensão de offset Inversor com acopulamento capacitivo circuito equivalente para determinar a tensão de offset na saída VO.

Amplificador Operacional Real Corrente de desvio (“offset”)
Correntes de polarização de entrada representadas por duas fontes de corrente IB1 and IB2. Análise do amplificador em malha fechada tendo em conta as correntes de polarização de entrada Corrente de polarização de entrada IB = ½( IB1 + IB2) Corrente de desvio de entrada IOS =( IB2 – IB1)

Amplificador Operacional Real Corrente de desvio (“offset”)
Compensação do efeito das correntes de polarização de entrada através da introdução de R3 corrente em R1: corrente em R2: Considera-se IB1=IB2, para que seja vO=0 obtêm-se R3=R1//R2 Se IB1≠IB2, têm-se: Se R3=0, têm-se: Como obtem-se uma redução

corrente de desvio (“offset”) Neste caso faz-se R3=R2 pois a resistência vista pela entrada menos é R2 Neste caso o amplificador não funciona sem R3 pois é necessário existir um caminho para que as correntes de polarização se fechem.

Resposta em frequência de um amplificador com um ganho nominal de 10V/V Resposta em frequência Pólo dominante. Pólo a baixa frequência que determina a resposta em frequência; existem outros pólos a frequências muito mais elevadas (que não interessam) A(s) → Ganho diferencial w1 →Largura de banda a 3dB Características dinâmicas. Variação do ganho com a frequência. Para garantir a estabilidade e circuitos com AOs é necessário proceder à compensação em frequência (ligar condensadores e uma ou mais resistências que vão condicionar a resposta em frequência). Podem ser ligaçõe s exteriores ou pode ser feita compensação internamente. S>>>>w1 → A0 →Ganho de baixa frequência B=A0w1 →Produto banda - ganho

Resposta em frequência Amplificador Operacional Real
Af0 Af(w) A(w) w1 wa w Montagem não inversora: com Se A(s) tiver um pólo dominante Af0wa= A0w1 Concluí-se: A(s) tem um pólo dominante Af(s) também tem um pólo mantém-se o produto banda-ganho: Af0wa=A0w1 Como bA0>>1 fica:

Resposta em frequência Amplificador Operacional Real
Montagem inversora: A(w) Af0 1-b com A0w1 Af(w) Se A(s) tiver um pólo dominante w w1 wa Af0wa Como bA0>>1 fica: Conclui-se: o produto banda-ganho não se mantêm: Af0wa=(1-b)A0w1

Montagem não inversora: Montagem inversora:
Af0 Af(w) A(w) w1 wa w A0 A(w) Af0 1-b A0w1 Af(w) w w1 wa Af0wa Af0wa= A0w1 A.O. com produto banda-ganho =1MHz Af0 fa 1 500 kHz 10 90,9 kHz 100 9,90 kHz 1000 999 Hz produto banda-ganho mantêm-se produto banda-ganho não se mantêm

1 . Cálculo do ganho do A.O. em cadeia aberta:
Problema nº38 Considere um A.O. representado pelo modelo da Fig1. Para o circuito da Fig.2 determine: a) o ganho em DC ; b) a frequência de corte a -3dB. R1 + - + - Fig.1 Fig.2 R1=100kW; R2=9R1; C=(1/2p)mF; Ad=104; A1=1 Resolução: 1 . Cálculo do ganho do A.O. em cadeia aberta: Função de Transferência do A.O.

(*) 2 . Cálculo do ganho do em cadeia fechada do circuito da Fig.2
Por outro lado tem-se: (*) Substituindo em (*) A pelo seu valor Função de Transferência do circuito da Fig.2 considerando o modelo do A.O. Da Fig.1

a) Ganho em DC do circuito da Fig.2:
b) Frequência de corte a -3dBs: wa A0w1=ADCwa=104x2px10=10x2px104

Saturação da tensão de saída Limites da corrente de saída exemplo Montagem não inversora com um ganho nominal de 10V/V utiliza um A.O. que satura a ±13-V e tem uma corrente de saída máxima de ±20-mA Quando a tensão de entrada tem um valor de pico máximo de 1.5 V, o sinal de saída fica limitado a ±13 V.

Taxa de inflexão - “slew rate” [V/ms] Máxima taxa de variação da tensão de saída do ampop -> causa distorção não linear (diferente da limitação em largura de banda que causa distorção linear) Forma de onda sinusoidal de saída (teórica) Se a tensão de entrada variar muito rápidamente a tensão de saída não acompanha essa variação ficando limitada pela slewrate. Considerar o exemplo de um seguidor e considere-se uma tensão escalão na entrada. A saída do ampop não consegue acompanhar a tensão de entrada. A tensão de saída será uma rampa linear com declive igual a SR. Efeito de slew-rate limitando as formas de onda sinusoidais de saída

Taxa de inflexão - “slew rate” Efeito da taxa de inflexão sobre o funcionamento em regime alternado sinusoidal Exemplo: SR=0.5V/ms w<SR/Vom=0.5V/ms/Vom Para não haver distorção quando Vom=1V é necessário que f<80kHz Para não haver distorção quando Vom=10V é necessário que f<8kHz Efeito de slew-rate limitando as formas de onda sinusoidais de saída

Integrador e Diferenciador
A montagem inversora com impedâncias Exemplo 1 - Derivar uma expressão para a função de transferência vO(s)/vi(s). 2 – Mostrar que é um filtro passa baixo. 3 – Determinar o ganho em DC e a frequência de corte (3dB). 4 – Dimensionar o circuito para obter um ganhoDC de 40dB, uma frequência de corte de 1kHz, e uma resistência de entrada de 1kW. 5 – Qual a frequência a que a amplitude da transmissão se torna unitária? 6 – Qual o ângulo de fase à frequência de corte?

Integrador Função de Transferência: Módulo e fase: Filtro passa baixo
O integrador comporta-se como um filtro passa-baixo com uma frequência de corte nula. Para omega igual a zero a amplitude da função de transferência é nula, o que indica que em DC o opamp opera em malha aberta, pois sendo a malha de realimentação realizada apenas por um condensador, em DC opera como um circuito aberto e não há realimentação. Istoé uma fonte de problemas para o integrador, (Porquê?). Qualquer componente DC mesmo muito pequena irá produzir teóricamente uma tensão infinita. Prática o operacional satura. (problema com a tensão e corrente de offset).

Problema com a tensão de offset:
Integrador Problema com a tensão de offset: A tensão de saída aumenta linearmente com a tensão deoffset até o ampop saturar Problema com as correntes de offset Resistência R na entrada positiva do opamp para que Ios flua por C senão????? A tensão de saída aumenta linearmente com a tensão deoffset até o ampop saturar

Solução: Montar a resistência RF em paralelo com C
Integrador Impulso de entrada Rampa linear de saída do integrador ideal, com constante de tempo de 0.1 ms Integrador de Miller: com uma grande resistência RF ligada em paralelo com C para assegurar realimentação negativa e uma ganho finito em dc. A resistência RF assegura um caminho para as componentes contínuas de offset. O resultado é que a tensão de saída terá uma componente contínua, o que provoca um funcionamento afastado do ideal do integrador. (que será tanto menor quanto maior for RF) pois RF faz deslocar a frequência do polo do integrador de zero para um valor 1/CRF . Quanto menor for RF maior é a frequência do pólo e menos ideal é o funcionamento do integrador Rampa exponential de saída com resistência RF ligada em paralelo com o condensador.

Diferenciador Amplifica o ruído de alta frequência EVITAR!
Filtro passa alto Mudando a localização da resistência com a do condensador, obtêm-se um deferênciador. vI (t) fica aos terminais do condensador. A corrente i é igual a CdvI/dt, e a tensão passa a ser igual a r vezes C dvi /dt . A função de transferência no domínio da frequência é dada por –sRC. O diferenciador é um amplificador de ruído (a evitar) Amplifica o ruído de alta frequência EVITAR! Resposta em Frequência de um diferenciador com constante de tempo CR.

Circuitos Básicos com Amplificadores Operacionais Funcionamento Não Linear
vO COMPARADOR VSAT+ v1 vO + - v2 V1-V2 VSAT-

vO VREF v1 vO t COMPARADOR não Inversor VSAT+ v1 vO + - VREF v1 VREF VSAT+ VSAT- VSAT- vO COMPARADOR Inversor VSAT+ VREF vO + - v2 VREF v2 VSAT-

COMPARADOR REGENERATIVO (Schmitt trigger)
Circuitos Básicos com Amplificadores Operacionais Funcionamento Não Linear COMPARADOR REGENERATIVO (Schmitt trigger) vI crescente vO + - bVSAT+ v1 1. VI bastante negativo implica: vO=VSAT+ 2. vx=bVSAT+ Comparador regenerativo inversor resulta da montagem não inversora 3. Este estado mantém-se enquanto vI<bVSAT+ 4. Quando o circuito muda de estado e vI>bVSAT+ vO=VSAT- bVSAT+ bVSAT- 5. vx=bVSAT-

COMPARADOR REGENERATIVO (Schmitt trigger)
Circuitos Básicos com Amplificadores Operacionais Funcionamento Não Linear COMPARADOR REGENERATIVO (Schmitt trigger) vI decrescente v1 vO + - vO=VSAT- 1. Considerando 2. Se vI decrescer por forma que vI<bVSAT- Comparador regenerativo inversor resulta da montagem não inversora 3. O circuito muda de estado vO=VSAT+ 5. vx=bVSAT+ Inversor – fora da zona em que há histerese VO e VI têm sinais contrários

Não Inversor – fora da zona em que há histerese VO e VI têm o mesmo sinal Resulta da montagem inversora Enquanto mantiver a tensão de saturação na saída é equivalente a um gerador de tensão pelo que pode aplicar-se o teorema de sobreposição vO=VSAT+ Transição rápida devido à realimentação positiva Eliminação de ruído vO=VSAT-

Figure Illustrating the use of hysteresis in the comparator characteristics as a means of rejecting interference.

vI < vx vO =VSAT+ vI > vx vO =VSAT- vx
omparadores de histerese com tensão de referência não nula vI VSAT+ VSAT- vO (1-b)VREF bVSAT+ bVSAT- vx vO + - v1 Os comparadores de histerese podem ter uma tensão de referência não nula vI < vx vO =VSAT+ vI > vx vO =VSAT-

Rectificador de precisão
Circuitos Básicos com Amplificadores Operacionais Funcionamento Não Linear Rectificador de precisão Se VI=0.1V não podem ser utilizados circuitos normais de rectificação (queda tensão diodo 0.7V) Operação: se vI>0 → vA>0 e D entra em condução e vO=VI se vI<0 → vA<0 e D entra no corte e vO=0 Quando a tensão a rectificar tem amplitude muito pequena não podem ser utilizados circuitos normais de rectificação: exemplo VI=0.1V (queda tensão diodo 0.7V). Rectificador de precisão: ampop com um diodo de rectificação na cadeia de rectroacção negativa do ampop, sendo R a carga. Se vi é maior que zero vA será maior que zero e o diodo conduz estabelecendo uma cadeia de rectroacção negativa no ampop e criado um curcto circuito virtual entre as duas entradas e vO=vI. A tensão de off-set de 0,5V que aparece num rectificador normal não surge aqui. Para que o rectificador de precisão comece a conduzir a tensão VI só tem que ser superior a à tensão de condução do diodo a dividir pelo ganho em cadeia aberta do ampop. A caterística VO(VI) é uma linha que começa na origem. Quando vI<0 V tende a tornar-se negativo e o diodo passa ao corte. Não passa corrente na resistência e VO fica nulo Desvantagens: Se vI<0 → vD=VI (tensão maior que alguns volt) → protecção de sobre tensão Tirar o ampop da saturação demora tempo → limitação em frequência

vx vA Versão melhorada do rectificador de meia onda de precisão:
O Diodo D2 é incluído para manter a malha de realimentação do ampop fechada durante os intervalos de corte do díodo D1, evitando assim que o ampop sature. vx vA A realimentação fica sempre assegurada pelo que não é necessário tirar o ampop da saturação ele está sempre a operar na zona linear. “D2 catching diode” ---- apanha vo quando ela se vai tornar negativa e iguala-a a queda de tensão de D1 Característica de transferência para R2 = R1. Operação: se vI>0 → D2 entra em condução vx=0 ; D1 não conduz e vO=-VD2=0 se vI<0 → vA>0 e D2 entra no corte e D1 conduz : vO=-vI para R1=R2

um filtro passa baixo de primeira ordem.
APLICAÇÃO Voltímetro AC consistindo num rectificador de precisão de meia onda seguido por um filtro passa baixo de primeira ordem. Calibrado para medir o valor eficaz filtro passa baixo de primeira ordem rectificador de precisão

Rectificação de onda completa de precisão: princípio de funcionamento
Rectificação de onda completa obtem-se invertendo as alternâncias negativas da tensão de entrada e aplicar o sinal resultante a outro diodo rectificador. As saídas dos dois rectificadores juntam-se depois numa carga comum. Substituindo o diodo DA por um super diodo e o inversor e o diodo DB pelo rectificador de precisão de meia onda anterior (sem o diodo de catching obtem-se um rectificador de onda completa de precisão. Característica de transferência para R2 = R1.

Rectificação de onda completa de precisão
A>0→D2 “on” → C=vI →vO=vI A<0→D1 “on” → C=-vI →vO=-vI 3 “on” 2 1 C=vI A>0 5 1 A<0 “off” 5 4 vO=vI>0 iR1=iR2=0 2 iR1=iR2≠ 0 “off” 4 vO=- R2/R1vI>0 Quando A é positiva a saída de A2 é positiva D2 conduz fechando a cadeia de rectroacção de A1 e vo é positiva e igual a A. Não há corrente em R1 e R2 e a tensão na entrada menos de A2 é igual a vI. O terminal F de A1 ficará negativo até A1 saturar e D1 fica no corte. Quando A é negativa, A tendência para uma tensão negativa na entrada menos de A1 faz com que F aumente fazendo D1 conduzir e fazendo com que a cadeia de realimentação de A1 se feche, provocando uma massa virtual na entrada menos de A1, e as duas resistências R1 e R2 forçam a tensão em C a ser igual à tensão de entrada invertida e portanto positiva. A combinação da tensão positiva em C e da tensão negativa em A faz com que a saída de A2 sature negativamente mantendo D2 no corte. 3 “on” Característica de transferência para R2 =R1.

Voltímetro de precisão
Colocando a ponte de diodos e o amperímetro na cadeia de rectroacção do ampop mascaram-se as não idealidades dos diodos e do aparelho de medida vA>0 vA<0

Detector de Pico de precisão com diodo na malha de realimentação
Detector de Pico de precisão com seguidor Substituir o diodo do rectificador de pico por um super diodo. Quando vi é maior do que a tensão de saída o ampop põe o diodo em condução fechando a cadeia de rectroacção e o ampop funciona como seguidor. A tensão de saída segue a tensão de entrada com o ampop a fornecer a corrente de carga. Este processo continua até se atingir o pico de tensão. Depois de ser atingido o pico de tensão o ampop vê na entre as suas entradas um valor negativo, que faz com que a sua saída fique saturada negativamente passando o diodo ao corte. O condensador reterá o valor de pico da tensão (se não descarregar pela resistência). Se se quizer que o condensador retenha a tensão duante algum tempo o condensador deverá ter um buffer. A2 tem uma alta impedância de entrada e está ligado como um seguidor. D1 actua como rectificador e D2 evita saturação negativa (associada aos atrasos de A1). Durante o intervalo de retenção de tensão A2 fornece uma pequena corrente a D2 através de R. A saída de A1 será igual a vi-VD2 e D1 está off. Se vI aumentar acima do valor armazenado em C A1 vê uma tensão positiva na sua entrada e a sua saída tende a saturar positivamente pondo D1 em condução e passando D2 ao corte.

Circuito de clampling Circuito de clampling de precisão

AMPLIFICADORES OPERACIONAIS.

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