Metodologia de Superfície de Resposta (RSM) (Montgomery,2005, cap. 11)

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1 Metodologia de Superfície de Resposta (RSM) (Montgomery,2005, cap. 11)

2 Metodologia de Superfície de Resposta
Os projetos experimentais 2k ou 2k-p são usados normalmente para caracterizar o processo (encontrar os fatores significativos, verificar quais provocam maiores efeitos, etc.) A metodologia de superfície de resposta geralmente é aplicada com o objetivo de otimizar o processo (encontrar uma combinação de níveis dos fatores que levam a resposta para o melhor valor possível, geralmente em termos de valor esperado).

3 Metodologia de Superfície de Resposta
Objetivos: encontrar a combinação de fatores do processo (X1, X2, ..., Xk) que leva à melhor resposta - o ótimo (máximo ou mínimo). conhecer o comportamento da resposta (ou do valor esperado da resposta) quando ocorrem mudanças nos níveis dos fatores do processo. Envolve: projeto experimental; ajuste de um modelo de regressão aos dados (superfície de resposta); métodos de otimização.

4 Modelos de primeira ordem
Num experimento preliminar, é usual aplicar um projeto 2k ou 2k-p, que permite ajustar um modelo de primeira ordem (assume-se aqui que os fatores são quantitativos). X1 X2 X3 ou OBS. Havendo fator qualitativo significativo, constrói-se uma superfície de resposta para cada categoria desse fator; ou deixa este fator fixo no nível com melhor resposta.

5 Modelos de primeira ordem
Com o uso de pontos centrais é possível estimar o erro experimental (o que permite testar a significância dos coeficientes) e, também, testar se existem efeitos não lineares (curvatura) significativos. X1 X2 X3

6 Estratégia de análise Ajusta-se aos dados um modelo de primeira ordem (polinômio de primeiro grau). Verifica-se: os fatores significativos; possível existência de curvatura ou de interação.

7 Exemplo Um engenheiro químico está interessado em determinar as condições de operação que maximizam a produção de um processo. Variáveis controláveis que influenciam a produção, y: v1 = tempo de reação (minutos) v2 = temperatura (0F) 40,0 41,5 39,3 40,9 40,3 40,5 40,7 40,2 40,6 x1: v1: x2 -1 +1 v2 150 155 160 Ex. CCD.xls

8 Estratégia de análise CASO 1: se na etapa inicial for detectada uma curvatura significativa, aumenta-se o projeto experimental de forma a permitir o ajuste de uma função quadrática (polinômio de segundo grau). tipo fatorial 32 CCD com 2 fatores X1 X2

9 Estratégia de análise CASO 2: se na etapa inicial não for detectada uma curvatura significativa, procura-se a direção em que provavelmente se encontra o valor ótimo (máximo ou mínimo), fazendo-se novos ensaios nesta direção (método da máxima inclinação ascendente (descendente)).

10 Método da máxima inclinação ascendente (descendente)
Busca da região onde deve estar o ótimo (máximo ou mínimo).

11 Método da máxima inclinação ascendente
0,775 0,325

12 Método da máxima inclinação ascendente
Em termos das variáveis codificadas: x2 x1 0,775 0,325 v1 = tempo v2 = temperatura

13 Método da máxima inclinação ascendente
Em termos das variáveis originais: v2 v1 0,065 0,155 v1 = tempo v2 = temperatura

14 Algoritmo da máxima inclinação ascendente
Seja a função de primeiro grau ajustada aos dados experimentais: 1) Escolha o tamanho do passo para uma das variáveis, digamos xj. Usualmente escolhe-se a variável mais conhecida ou a que tenha o coeficiente de regressão de maior magnitude; 2) O passo a ser dado pelas outras variáveis é dado por: (i = 1, 2, ..., k, sendo i  j); 3) Converta os xj (i = 1, 2, ..., k) em termos das variáveis originais (vj).

15 Projetos experimentais para ajustar modelos de segunda ordem
B A A B tipo central composto (CCD) com 2 fatores tipo fatorial 3k (k = 2 fatores) N = nf + na + nc = = 2k + 2k + 5 N = 3k

16 Projetos central composto (CCD) com precisão uniforme
k (fatores) p (replicações) /2 1/2 1/2 nf (ptos fatoriais) na (ptos axiais) nc (ptos centrais) N (total de ptos)  1,414 1,682 2,000 2,378 2,000 2,378 2,828

17 Exemplo de um CCD com 2 fatores
X1 X2 1,414 0 -1,414 0 ,414 ,414 X2 X1 pontos fatoriais nf = 2k = 4 pontos axiais na = 4 pontos centrais nc = 4

18 Uso de blocos pontos fatoriais nf = 2k = 4 bloco 1 pontos centrais
X1 X2 1,414 0 -1,414 0 ,414 ,414 pontos fatoriais nf = 2k = 4 bloco 1 pontos centrais nc = 4 pontos axiais na = 4 bloco 2

19 Ajuste de um polinômio de segunda ordem
Por ex., para k = 2: termos quadráticos puros termos lineares termo de interação

20 Ajuste de um polinômio de segunda ordem
Estimativa dos coeficientes Dados do experimento Quando k = 2, pode-se visualizar a superfície de resposta (ou suas curvas de nível) e analisá-la por meio de gráficos. Ver arquivo: CCD.xls

21 Análise de uma superfície de segunda ordem (k  2)
Todas derivadas parciais nulas ponto estacionário ponto de máximo ponto estacionário ponto de mínimo ponto de sela

22 Análise de uma superfície de segunda ordem
y = 79, ,995 x1 + 0,515x2 - 1,376x12 - 1,001x22 + 0,250 x1x2 Notação vetorial:

23 Análise de uma superfície de segunda ordem
y = 79, ,995 x1 + 0,515x2 - 1,376x12 - 1,001x22 + 0,250 x1x2 Ponto estacionário: Valor de y no ponto estacionário:

24 Análise de uma superfície de segunda ordem
y = 79, ,995 x1 + 0,515x2 - 1,376x12 - 1,001x22 + 0,250 x1x2 Ponto estacionário: tempo = 86,95 minutos temperatura = 176,53 0F

25 Análise de uma superfície de segunda ordem
Ponto estacionário: Para verificar o significado do ponto estacionário, pode-se verificar os sinais dos autovalores de B. Sejam 1, 2, ... k os autovalores de B i é um autovalor de B <==> |B - i| = 0 E um vetor não nulo x, tal que Bx = ix é dito autovetor de B associado ao autovalor i (i = 1, 2, ...,k).

26 Exemplo Autovetores: Autovalores: 2 + (2,3788) + 1,3639 = 0
i é um autovalor de B <==> |B - iI| = 0 E um vetor não nulo x, tal que Bx = ix é dito autovetor de B associado associado ao autovalor i (i = 1, 2, ...,k). Exemplo Autovetores: Autovalores: 2 + (2,3788) + 1,3639 = 0 Usando 2 encontra-se o segundo autovetor. Donde: 1 = -0,9641 e 2 = -1,4147

27 Análise de uma superfície de segunda ordem
Ponto estacionário: 1, 2, ... k autovalores de B todo i < 0 ===> o ponto estacionário é um máximo todo i > 0 ===> o ponto estacionário é um mínimo

28 Análise de uma superfície de segunda ordem
y = 79, ,995 x1 + 0,515x2 - 1,376x12 - 1,001x22 + 0,250 x1x2 Autovalores de são o ponto estacionário é um ponto de máximo. O tempo = 86,95 minutos e a temperatura = 176,53 0F levam a uma produção máxima.

29 Análise de uma superfície de segunda ordem
Forma canônica: onde 1, 2, ... k são os autovalores de B e (para k = 2) autovetor associado a 1 autovetor associado a 2

30 Análise de uma superfície de segunda ordem
Forma canônica: x2 w2 xs x1 w1

31 Análise de uma superfície de segunda ordem
Sistema de cumeeira Suponha i  0. Então: Haverá pouca variação na direção de i Pode-se escolher o nível de wi mais econômico.

32 x2 w2 xs x1 w1 Sistema de cumeeira Pode-se caminhar bastante
na direção de W2 sem que a resposta altere significativamente. w2 xs x1 w1

33 Principais Delineamentos
Box- Behnken

34 Principais Delineamentos
central composite design

35 Principais Delineamentos
face centered design

36 Principais Delineamentos
3k factorial design

37 Função de utilidade (Desirability function)
Nesta abordagem se cria uma função objetivo – que chamaremos de função de utilidade -, a qual é função da resposta y e do objetivo: encontrar o máximo, o mínimo ou um valor ideal. É feita uma padronização para permitir o uso de múltiplas respostas.

38 Função de utilidade Caso de uma resposta e objetivo para a resposta é um valor máximo. Sejam y a resposta; L o limite mínimo de estudo e T o máximo desejável. d 1 Consideraremos r = 1 (caso linear) y L T

39 Função de utilidade Caso de uma resposta e objetivo para a resposta é um valor mínimo. Sejam y a resposta; U o limite máximo de estudo e T o mínimo desejável. d 1 Consideraremos r = 1 (caso linear) y T U

40 Função de utilidade Caso de uma resposta e objetivo atingir um valor alvo (a resposta pode ser maior ou menor). Sejam y a resposta; L o limite mínimo de estudo U o limite máximo de estudo e T o mínimo desejável (valor-alvo) d 1 Consideraremos r1 = r2 = 1 (caso linear) L U y T

41 Função de utilidade – múltiplas respostas
Caso de múltiplas respostas. No caso do sistema ter m respostas, deve-se construir m funções de utilidade individuais: d1, d2, ..., dm, sendo cada uma com forma coerente com o objetivo da respectiva resposta (se máximo, se mínimo ou se valor individual). Obtém-se a função de utilidade geral pela média geométrica das individuais:

42 Que Pena : Acabou Marcus Antonio Viana Duarte mvduarte@mecanica.ufu.br
(034) Muito Obrigado Por Tudo