Sistemas Lógicos 2 O MAPA DE KARNAUGH. Um mapa de Karnaugh provê um método sistemático para simplificação de expressões Booleanas e, se usado adequadamente,

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1 Sistemas Lógicos 2 O MAPA DE KARNAUGH

2 Um mapa de Karnaugh provê um método sistemático para simplificação de expressões Booleanas e, se usado adequadamente, produz a expressão de soma-de-produtos ou de produto-de-somas mais simples possível, conhecida como expressão mínima. Um mapa de Karnaugh é similar a uma tabela-verdade porque todos os valores possíveis das variáveis de entrada e a saída resultante para cada valor estão presentes no mapa. Em vez de estar organizado em colunas e linhas como uma tabela-verdade, o mapa de Karnaugh é um arranjo de células no qual cada célula representa um valor binário das variáveis de entrada. As células são arranjadas de forma que a simplificação de uma dada expressão é obtida simplesmente fazendo um agrupamento adequado de células.

3 Os mapas de Karnaugh podem ser usados para expressões com duas, três, quatro e cinco variáveis. Acima de 5, usa-se o metodo de QUINE-McCLUSKEY. O número de células num mapa de Karnaugh é igual ao número total de combinações possíveis das variáveis de entrada que é igual ao número de linhas na tabela-verdade. Para o caso de três variáveis, o número de células é 23 = 8. Para quatro variáveis, o número de células é 24 = 16

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5 Neste sentido as casas contiguas (vizinhas) corresponde a termos adjacentes (diferem de uma variável) a de mais, termos de extremidades opostas ou termos equidistantes são também adjacentes por isso o mapa de Karnough é continuo e cíclico nas duas direcções perpendiculares.

6 O Mapa de Karnaugh de 3 Variáveis O mapa de Karnaugh de 3 variáveis é um arranjo de oito células, conforme mostra a Figura 2.1 (a) de Karnaugh de 3 variáveis é um arranjo de oito células, conforme mostra a Figura Nesse caso, A, B e C são usadas como variáveis embora outras letras poderiam ser usadas. Os valores binários de A e B estão ao longo do lado esquerdo (observe a sequência) e os valores de C estão na parte superior. O valor de uma dada célula corresponde aos valores binários de A e B à esquerda na mesma linha combinados com o valor de C na parte superior na mesma coluna.

7 Por exemplo, a célula no canto superior esquerdo tem um valor binário de 000 e a célula no canto inferior direito tem um valor binário de 101, Figura 2.1 b)mostra os termos-produto padrão que são representados por cada célula do mapa de Karnaugh. Figura 2.1 a)Figura 2.1 b)

8 O Mapa de Karnaugh de 4 Variáveis O mapa de Karnaugh de 4 variáveis é um arranjo de dezesseis células,

9 Célula Adjacente As células num mapa de Karnaugh são arranjadas de forma que exista apenas uma mudança simples de variável entre células adjacentes. A adjacência é definida por uma mudança simples de variável. Num mapa de 3 variáveis a célula 010 é adjacente à célula 000, à célula 011 e à célula 110. A célula 010 não é adjacente à célula 001, nem à célula 111, nem à célula 100 ou à célula 101. Como se pode observar em todos mapas ambas condições na vertical e horizontal são contínuos e cíclicos. Os códigos de Gray devem ser usados para ajudar a construir os mapas de karnaugh (Eixo de simetria). Todos elementos equidistantes do eixo de simetria são cíclicos (imagem-objecto). Sendo assim o mapa de Karnough é também contínuo e cíclico.

10 Células adjacentes num mapa de Karnaugh são aquelas que diferem uma da outra em apenas uma variável. As setas indicam as células adjacentes.

11 Princípio de preenchimento, agrupamento e simplificação Dada uma função representada na forma de mintermo, vamos pôr 1 nos rectângulos correspondentes aos termos que constituem a expressão da função, pelo contrário se a função estiver representada na forma de maxtermos, põe-se 0 nos rectângulos correspondentes. Nota: Quando quisermos representar uma função booleana, temos primeiro de a pôr na sua forma canónica completa onde todos os termos têm de conter todas variáveis que intervém na função, isto é valido para as duas formas (mintermos ou maxtermos). Com X as casas do mapa correspondentes a lista das indiferenças ou “Dont’s Care’s” preencher com zeros as restantes células.

12 Agrupamentos

13 Cada grupo deve ser o maior possível e o número de agrupamentos deve ser o menor possível para favorecer maior simplificação. Uma casa pode estar contida em mais de um grupo. Simplificação

14 Quando se deseja simplificar uma função a partir da sua tabela de verdade, não é necessário obter previamente a equação da função por simplificar. Na pratica, pode representar-se a função no mapa directamente a partir da sua tabela de verdade, colocando os uns ou zeros nos rectângulos correspondentes aos valores que a função toma para cada uma das combinações das variáveis. simplificar uma função a partir da sua tabela de verdade

15 Mapeando uma Expressão Padrão de soma-de-produtos Para uma expressão na forma de soma-de-produtos padrão, um 1 é colocado no mapa de Karnaugh para cada termo-produto na expressão. Cada 1 é colocado na célula correspondente ao valor de um termo-produto. Ex:

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17 Mapeando uma Expressão Não Padrão de Soma-de-Produtos Uma expressão Booleana tem que estar primeiro na forma padrão antes de usarmos o mapa de Karnaugh. A expressão de soma-de-produtos não está obviamente na forma padrão porque cada termo-produto não possui as três variáveis. No primeiro termo não aparecem duas variáveis e no segundo termo não aparece uma variável. Já o terceiro termo está na forma padrão. Primeiro faça a expansão numérica dos termos.

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20 Agrupamentos

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22 Condições “Don’t Care” Algumas vezes surge uma situação na qual uma combinação das variáveis de entrada não é permitida. Por exemplo, lembre-se que no código BCD abordado, existem seis combinações inválidas: 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 e 1111. Como esses estados não permitidos nunca ocorrerão numa aplicação envolvendo código BCD, eles podem ser tratados como termos “don’t care” (não importam) em relação aos seus efeitos na saída. Ou seja, para esses termos “don’t care” podemos associar um 1 ou um 0 à saída; na realidade não importa já que eles nunca irão ocorrer. Os termos “don’t care” podem ser usados para se obter vantagens no uso do mapa de Karnaugh..

23 Para cada termo “don’t care”, um X é colocado na célula. Quando se faz o agrupamento de 1s, os Xs podem ser tratados como 1s para tornar os grupos maiores ou como 0s se eles não representam vantagens. Quanto maior o tamanho de um grupo, mais simplificado será o termo resultante.

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25 Inserindo no Mapa uma Expressão de Produto-de-Somas Padrão Para uma expressão de produto-de-somas na forma padrão, um 0 é colocado no mapa de Karnaugh para cada termo-soma na expressão. Cada 0 é colocado na célula que corresponde ao valor de um termo- soma.