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Estudo de Vigas Contínuas: MÉTODO DE CROSS

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Apresentação em tema: "Estudo de Vigas Contínuas: MÉTODO DE CROSS"— Transcrição da apresentação:

1 Estudo de Vigas Contínuas: MÉTODO DE CROSS
UNIVERSIDADE PAULISTA – CAMPUS BRASÍLIA CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: TEORIA DAS ESTRUTURAS PROFESSORA: NÍVEA ALBUQUERQUE

2 Estudo de Vigas Contínuas
Hipóteses Preliminares Quando as cargas são todas verticais e não há deformações axiais, as reações das vigas contínuas são todas verticais. n Reações = n Apoios GH = (n-2) Redundantes nulo Sistema Estrutural Hiperestático Equações da Estática não suficientes Deve-se criar uma nova equação SOLUÇÃO: Criar relações entre o carregamento e a deformação. Método das Forças Método das Deformações Excesso de reações

3 Eliminação do Apoio Central
Quanto maior o número de incógnitas, mais complexas se tornam essas equações  solução do sistema exige o uso de cálculo matricial. Viga hiperestática: Nº incógnitas > Nº Eq. Estática (Fv=0 e M=0) A terceira equação é montada a partir do seguinte modelo: Supõe-se a eliminação do apoio central; Calcula-se a deformação que a viga, agora isostática (estrutura primária: eliminação das redundantes), teria no ponto em que o apoio existia; Supõe-se a aplicação de uma força de baixo para cima que anulasse a deformação no ponto em que ocorre o apoio na viga real; Determinada a força, define-se a reação que ocorre no apoio inicialmente eliminado, restando apenas duas outras reações, que podem ser determinadas pelas equações da estática.

4 Método de Cross Introdução
(Método da Distribuição dos Momentos) Introdução Processo iterativo para solução de estruturas hiperestáticas desenvolvido pelo Prof. Hardy Cross em Trata-se de um algoritmo que parte do conhecimento prévio dos momentos fletores em apoios engastados de vigas de um só vão. É aplicável a elementos rígidos que possuem continuidade e nós indeslocáveis. Libera-se o giro no apoio engastado, transfomando-o em apoio articulado; Calcula-se o giro que a viga sofre no apoio. Determina-se o valor do momento fletor que causa a mesma rotação, de maneira que se reproduza a situação original, ou seja, giro igual a zero, cujo valor é correspondente a momento de engastamento perfeito devido ao carregamento.

5 Método de Cross Momentos de Engastamento Perfeito Bi-Engastado:
Engaste-Apoio: Em Balanço: MEP

6 Método de Cross E quando não há engaste? Há rotação nos apoios.
Condição de Continuidade da Viga: O giro é igual, mas com sinal contrário.

7 Método de Cross Como os momentos de engastamento perfeito podem ser conhecidos, pode-se considerar os apoios internos das vigas contínuas como inicialmente engastados. Isso pressupõe que não há qualquer espécie de giro. Na realidade, quando a viga está em equilíbrio, o giro existe, podendo ser horário ou anti horário. MEP MEP

8 Método de Cross Como o momento de engastamento de um lado do apoio é normalmente diferente do outro, pois os vãos e carregamentos são normalmente diferentes, significa que o nó considerado engastado não está equilibrado, resultando um momento desequilibrado positivo ou negativo. Para equilibrar o nó deve-se distribuir a diferença M entre os tramos adjacentes, de maneira que resulte o momento do tramo esquerdo igual ao do direito, a menos dos sinais. Convenção de Sinais: Lado Esquerdo (-); Lado Direito (+) M

9 “O elemento mais rígido sempre absorve mais esforços.”
Método de Cross Princípio Importante: “O elemento mais rígido sempre absorve mais esforços.” Coeficiente de Rigidez A rigidez de um elemento é proporcional à quantidade de esgastamento e inversamente proporcional ao comprimento. Usa-se uma redução de 25% na rigidez do tramo que apresenta uma articulação e um engaste 1 2 1 2

10 Método de Cross Fator de Distribuição Fator de Propagação
O FD dos momentos de uma barras com relação ao nó é dado pela razão entre a rigidez da barra e o somatório de cada parcela dos tramos que convergem para o nó. Cada barra tem sempre dois FD. A soma desses fatores entre barras adjacentes a um nó é igual a 1. Nota: FD nos apoios extremos: Fator de Propagação O FP dos momentos de uma extremidade à outra é dado pela razão entre o momento que surge no nó oposto ao que sofreu o giro pelo momento na extremidade que sofre o giro. FD=1 FD=0

11 Método de Cross Procedimento de Cálculo
Segue o passo-a-passo da aplicação do método, dada a viga abaixo: Tramo 1 Tramo 2

12 Método de Cross Procedimento de Cálculo
Cálculo do coeficiente de rigidez de cada tramo: Tramo 1: Tramo 2: FDBC FDBA

13 Método de Cross Procedimento de Cálculo
Tomando-se os MEPs e os FDs, distribui-se a diferença em cada tramo (momento desequilibrado) proporcionalmente à rigidez de cada tramo. FDBA FDBC Esse procedimento significa, fisicamente, liberar o nó inicialmente engastado, de forma que alcance a posição de equilíbrio.

14 Método de Cross Procedimento de Cálculo
Soma-se algebricamente (considerando os sinais) os valores dos momentos de cada lado do apoio. Esses valores deverão ser iguais e com sinais contrários, de tal forma que a sua soma resulte zero, condição de equilíbrio. FDBA FDBC

15 Método de Cross Procedimento de Cálculo
De posse do momento no apoio interno, determinam-se as reações de apoio, usando as equações da estática. Para isso, considera-se cada tramo como independente, calculando-se inicialmente as reações sem levar em conta o momento no apoio.

16 Método de Cross Procedimento de Cálculo
O momento no apoio interno alivia as reações dos apoios extremos e sobrecarrega as do apoio interno.

17 Método de Cross Procedimento de Cálculo
Após esse procedimento, tem-se automaticamente determinadas as forças cortantes nos apoios para o traçado dos diagramas.

18 Método de Cross

19 Método de Cross Procedimento de Cálculo
Quando a viga contínua apresenta mais de dois tramos, a liberação dos nós é feita para um nó de cada vez, mantendo os demais perfeitamente engastados. O nó, depois de equilibrado, volta a ser imobilizado. O momento distribuído para cada lado do nó é propagado para os nós vizinhos, que permaneceram engastados.

20 Método de Cross Procedimento de Cálculo
O momento propagado provoca alteração no valor do momento desequilibrado, sendo algebricamente somado a este. Processo de propagação:

21 Método de Cross Exemplo Numérico
Obter o Diagrama de Momentos Fletores e o Diagrama de Esforços Cortantes da viga contínua abaixo, usando o Método de Cross:

22 Método de Cross Exemplo Numérico
1) Cálculo do coeficientes de rigidez de cada tramo:

23 Método de Cross Exemplo Numérico
2) Cálculo dos fatores de distribuição: Considera-se: E x I = 1

24 Método de Cross Exemplo Numérico
3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito: Tramo 1

25 Método de Cross Exemplo Numérico
3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito: Tramo 2

26 Método de Cross Exemplo Numérico
3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito: Tramo 3

27 Método de Cross Exemplo Numérico
4) Distribuição dos momentos desequilibrados: OBS Para melhorar a precisão, foram alteradas as unidades de momento de tf.m para tf.cm.

28 Método de Cross Exemplo Numérico
5) Transmissão dos momentos equilibrantes aos nós adjacentes:

29 Exemplo Numérico 6) Somatório dos momentos nos nós equilibrados: OBS
As iterações continuam até que, em cada nó, a diferença entre os valores absolutos dos momentos do lado esquerdo e direito seja desprezível ( 5% de diferença)

30 Exemplo Numérico 7) Somatório das reações considerando vãos isostáticos independentes:

31 momentos nos apoios Exemplo Numérico 8) Somatório das reações considerando o efeito dos momentos negativos nos apoios centrais: reações isostáticas efeitos dos momentos das vigas contínuas

32 Método de Cross Exemplo Numérico 9) Traçado do DEC:

33 Método de Cross Exemplo Numérico 10) Traçado do DMF:


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