Sumário: Introdução ao estudo da axiomatização da geometria. (Geometria Euclidiana)

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1 Sumário: Introdução ao estudo da axiomatização da geometria. (Geometria Euclidiana)

2 Vocabulário do método axiomático Teorias axiomatizadas como modelos da realidade; objetos e relações primitivas; axiomas; Axiomática de uma teoria; definições, teoremas e demonstrações; Lemas e corolários Condições necessárias e suficientes; hipótese e tese de um teorema; o símbolo « ⇒ »;

3 Vocabulário do método axiomático Teoria – é um conjunto de preposições consideradas verdadeiras. Uma teoria incluí, também todas as preposições que delas forem dedutíveis logicamente. As teorias axiomatizadas são consideradas modelos da realidade. No âmbito da teoria é necessário fixar: objetos primitivos, objetos a partir dos quais se constroem outros: relações primitivas, relações entre objetos que não se definem a partir de outras; Axiomas, são preposições que se consideram verdadeiras e que não são deduzidas de outras.

4 Vocabulário do método axiomático Axiomática de uma teoria ▫é um conjunto de objetos primitivos, relações primitivas e axiomas ▫a partir dos quais todos os objetos e relações da teoria podem ser definidos e todas as preposições construídas com esse conjunto podem ser demonstradas. Definição ▫é a explicação de um termo.

5 Vocabulário do método axiomático Teorema – é uma firmação (ou proposição) que se pode provar ser verdadeira, através de outras afirmações já demonstradas, como outros teoremas, juntamente com afirmações anteriormente aceites, como axiomas. Demonstração de um teorema (ou prova) é um processo de mostrar que um teorema é verdadeiro. Lema – é um teorema que é considerado resultado auxiliar para a demenstração de um teorema considerado mais relevante. Corolário – é um teorema que surge como consequência de outro teorema considerado mais relevante.

6 Vocabulário do método axiomático Hipótese e Tese Num teorema existe sempre uma premissa (ou conjunto de premissas) que consideramos verdadeiras – a hipótese ou hipóteses – e a afirmação que pretendemos demonstrar, por dedução lógica a partir dos axiomas, relações primitivas e teoremas, a que se chama tese. A hipótese é a condição suficiente e a tese é a condição necessária. Simbolicamente HIPÓTESE ⇒ TESE onde o símbolo é o da implicação e lê-se “então “ou implica”.

7 Hipótese e Tese (exemplo) Teorema (proposição verdadeira e demonstrável) : “Se 2 triângulos têm 2 ângulos iguais então são semelhantes.” Hipótese (Condição suficiente) : Existem 2 triângulos que têm 2 ângulos iguais. Tese (Condição necessária) : Os 2 triângulos são semelhantes. Simbolicamente A ⇒ Existem 2 triângulos que têm 2 ângulos iguais Os 2 triângulos são semelhantes. Exercícios: Manual (1ªparte) página 56…exercícios 1, 2 página 75 propostas 1, 2 e 3

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9 Os cinco postulados/axiomas de Euclides Axioma I: Pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos. Axioma II: Substituir Axioma III: Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio. Axioma IV: Todos os ângulos retos são iguais.

10 Os cinco postulados/axiomas de Euclides Axioma V: Se uma reta, ao cortar outras duas, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que um ângulo raso, então estas duas retas encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que um ângulo raso.

11 Equivalentes do 5º postulado Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela a reta dada. Quaisquer duas retas paralelas possuem uma perpendicular em comum.

12 Geometrias não Euclidianas Lobatchevsky (1829)  A geometria não-euclideana surge pela negação do Axioma V.  Dado um ponto P exterior a uma reta r, existem pelo menos duas retas que contêm o ponto P e são paralelas a r!  Estamos em presença da geometria hiperbólica ou de Lobatchevsky!

13 Exercícios  Ficha de atividades  Manual, página …. Exercícios … e …

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