Funções trigonométricas

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1 Funções trigonométricas
Um som puro pode ser descrito por uma função da forma: 𝑓 𝑡 =𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋 𝑇 𝑡 ….

2 Muitos fenómenos da vida real repetem-se regularmente, tais como a variação
da altura das marés, as fases da Lua, a duração do período diurno, o movimento de translação da Terra em torno do Sol, o batimento do coração, o movimento dos ponteiros do relógio … Estes fenómenos designam-se por FENÓMENOS PERIÓDICOS.

3 Uma função 𝑓 diz-se periódica de período 𝑷 ou 𝑷−periódica se e só se existir um número 𝑃>0 tal que: 𝑥∈ 𝐷 𝑓 ⟹(𝑥+𝑃)∈ 𝐷 𝑓 𝑓(𝑥 + 𝑃)=𝑓(𝑥), ∀ 𝑥∈ 𝐷 𝑓 Se 𝑓 é periódica de período 𝑃 e se não houver nenhum número positivo 𝑃’ menor que 𝑃 tal que 𝑓 seja periódica de período 𝑃’, diz-se que 𝑃 é o período positivo mínimo ou período fundamental de 𝑓.

4 Exercício Dada uma função real de variável real f de domínio IR, sabe-se que: . é periódica; . O período positivo mínimo é 3; . 𝑓 6 =7 . 𝑓 −1 = 2 Indica o valor de: a) 𝑓 2 b) 𝑓(12) c) 𝑓(3)

5 Função Seno Chama-se função seno, e representa-se por 𝐬𝐞𝐧 ou 𝐬𝐢𝐧, a função real de variável real que a cada número real 𝑥 faz corresponder o seno de um ângulo generalizado de amplitude igual a 𝑥 radianos. 𝒙↦𝐬𝐞𝐧 𝒙 No modo de apresentação, clique na lupa para ver a imagem num tamanho maior.

6 Propriedades Domínio: ℝ Contradomínio: −𝟏,𝟏 −1≤sen 𝑥≤1
Período fundamental: 𝟐𝝅 sen 𝑥+2𝜋 =sen 𝑥, ∀𝑥∈ℝ Zeros: 𝒙=𝒌𝝅, 𝒌∈ℤ No modo de apresentação, clique em cada lupa para ver a imagem respetiva num tamanho maior. sen 𝑥=0⟺ 𝑥=𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ Expressão geral dos zeros

7 Propriedades Máximo: 𝟏 Maximizantes: 𝒙= 𝝅 𝟐 +𝟐𝒌𝝅, 𝒌∈ℤ sen 𝑥=1⟺
𝜋 2 𝒙= 𝝅 𝟐 +𝟐𝒌𝝅, 𝒌∈ℤ 𝟏 sen 𝑥=1⟺ 𝑥= 𝜋 2 +2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ Expressão geral dos maximizantes Mínimo: −𝟏 Minimizantes: 𝒙= 𝟑𝝅 𝟐 +𝟐𝒌𝝅, 𝒌∈ℤ sen 𝑥=−1⟺ 𝑥= 3𝜋 2 +2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ No modo de apresentação, clique em cada lupa para ver a imagem respetiva num tamanho maior. −𝟏 3𝜋 2 Expressão geral dos minimizantes Paridade: Função ímpar sen −𝑥 =−sen 𝑥, ∀𝑥∈ℝ

8 Gráfico da função seno

9 Funções trigonométricas inversas
Função arco-seno A seguinte restrição da função seno é uma função bijetiva: 𝑓: − 𝜋 2 , 𝜋 2 → −1, 𝑥 ↦ sen 𝑥 A função inversa de 𝑓 chama-se função arco-seno e representa-se por arcsen ou arcsin: No modo de apresentação, clique em cada lupa para ver a imagem respetiva num tamanho maior. 𝑓 −1 : −1, 1 → − 𝜋 2 , 𝜋 𝑥 ↦ arcsen 𝑥

10 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥∈ −1, 1 𝑒 𝑦∈ − 𝜋 2 , 𝜋 2 :arcsinx=y⇔𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑦

11 Funções trigonométricas inversas
Função arco-seno Exemplos: arcsen = 𝜋 6 Repara que sen 𝜋 6 = arcsen − =− 𝜋 3 Repara que sen − 𝜋 3 =− arcsen 1 = 𝜋 2 Repara que sen 𝜋 2 =1 . arcsen −1 =− 𝜋 2 Repara que sen − 𝜋 2 =−1 .

12 Função Cosseno Chama-se função cosseno, e representa-se por 𝐜𝐨𝐬, a função real de variável real que a cada número real 𝑥 faz corresponder o cosseno de um ângulo generalizado de amplitude igual a 𝑥 radianos. 𝒙↦𝐜𝐨𝐬 𝒙 No modo de apresentação, clique na lupa para ver a imagem num tamanho maior.

13 Propriedades Domínio: ℝ Contradomínio: −𝟏,𝟏 −1≤ cos 𝑥 ≤1
Período fundamental: 𝟐𝝅 cos 𝑥+2𝜋 = cos 𝑥 , ∀𝑥∈ℝ Zeros: 𝒙= 𝝅 𝟐 +𝒌𝝅, 𝒌∈ℤ No modo de apresentação, clique em cada lupa para ver a imagem respetiva num tamanho maior. cos 𝑥 =0⟺ 𝑥= 𝜋 2 +𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ Expressão geral dos zeros

14 Propriedades Máximo: 𝟏 Maximizantes: 𝒙=𝟐𝒌𝝅, 𝒌∈ℤ cos 𝑥 =1⟺ 𝑥=2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ
Expressão geral dos maximizantes Mínimo: −𝟏 Minimizantes: 𝒙=𝝅+𝟐𝒌𝝅, 𝒌∈ℤ 𝜋 −𝟏 cos 𝑥 =−1⟺ 𝑥=𝜋+2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ No modo de apresentação, clique em cada lupa para ver a imagem respetiva num tamanho maior. Expressão geral dos minimizantes Paridade: Função par cos −𝑥 = cos 𝑥 , ∀𝑥∈ℝ

15 Gráfico da função cosseno

16 Funções trigonométricas inversas
Função arco-cosseno A seguinte restrição da função cosseno é uma função bijetiva: 𝑔: 0, 𝜋 → −1, 𝑥 ↦ cos 𝑥 A função inversa de 𝑔 chama-se função arco-cosseno e representa-se por arccos: No modo de apresentação, clique em cada lupa para ver a imagem respetiva num tamanho maior. 𝑔 −1 : −1, 1 → 0,𝜋 𝑥 ↦ arccos 𝑥

17 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥∈ −1, 1 𝑒 𝑦∈ 0,𝜋 :arccosx=y⇔𝑥=𝑐𝑜𝑠𝑦

18 Funções trigonométricas inversas
Função arco-cosseno Exemplos: arccos = 𝜋 3 Repara que cos 𝜋 3 = arccos − = 5𝜋 6 Repara que cos 5𝜋 6 =− arccos 1 =0 Repara que cos 0=1 . arccos −1 =𝜋 Repara que cos 𝜋=−1 .

19 Função Tangente Chama-se função tangente, e representa-se por 𝐭𝐚𝐧 ou 𝐭𝐠 , a função real de variável real que a cada número real 𝑥 faz corresponder a tangente de um ângulo generalizado de lados não perpendiculares e de amplitude igual a 𝑥 radianos. 𝒙↦𝐭𝐠 𝒙 No modo de apresentação, clique na lupa para ver a imagem num tamanho maior.

20 Propriedades Domínio: ℝ\ 𝒙:𝒙= 𝝅 𝟐 +𝒌𝝅, 𝒌∈ℤ Contradomínio: ℝ
Período fundamental: 𝝅 tg 𝑥+𝜋 = tg 𝑥 , ∀𝑥∈ℝ\ 𝑥:𝑥= 𝜋 2 +𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ Zeros: No modo de apresentação, clique em cada lupa para ver a imagem respetiva num tamanho maior. 𝒙=𝒌𝝅, 𝒌∈ℤ tg 𝑥 =0⟺ 𝑥=𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ Expressão geral dos zeros

21 Propriedades Maximizantes e minimizantes: Não tem Paridade:
Função ímpar t𝑔 −𝑥 =− tg 𝑥 , ∀𝑥∈ℝ No modo de apresentação, clique na lupa para ver a imagem num tamanho maior.

22 Gráfico da função tangente

23 Funções trigonométricas inversas
Função arco-tangente A seguinte restrição da função tangente é uma função bijetiva: ℎ: − 𝜋 2 , 𝜋 2 → ℝ 𝑥 ↦ tg 𝑥 A função inversa de ℎ chama-se função arco-tangente e representa-se por arctg: No modo de apresentação, clique em cada lupa para ver a imagem respetiva num tamanho maior. ℎ −1 :ℝ → − 𝜋 2 , 𝜋 𝑥 ↦ arctg 𝑥

24 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥∈ℝ 𝑒 𝑦∈ − 𝜋 2 , 𝜋 2 :arctanx=y⇔𝑥=𝑡𝑎𝑛𝑦

25 Funções trigonométricas inversas
Função arco-tangente Exemplos: arctg 1 = 𝜋 4 Repara que tg 𝜋 4 =1 . arctg 0 =0 Repara que tg 0 =0 . arctg − =− 𝜋 6 Repara que tg − 𝜋 6 =−