Aritmética – Progressões aritméticas e geométricas.

Apresentação em tema: "Aritmética – Progressões aritméticas e geométricas."— Transcrição da apresentação:

1 Aritmética – Progressões aritméticas e geométricas.
RODOLFO SOARES TEIXEIRA OBMEP NA ESCOLA

2 Progressão Aritmética (P.A.)
Gauss, matemático alemão, foi o primeiro a somar os termos de uma PA sem precisar somar todos os termos um por um. Quando criança, sua turma na escola sofreu um castigo do professor: eles deveriam somar todos os números de 1 a 100. Gauss foi o primeiro a terminar, em tempo recorde, e o único a acertar o resultado:

3 Progressão Aritmética (P.A.)

4 Progressão Aritmética (P.A.)
Exercitando... Calcule a soma dos quinze primeiros termos da PA (3, 7, 11, . . .). Calcule o valor da seguinte soma: ( )  a) b) c) d) 5055 Numa progressão aritmética limitada em que o 1º termo é 3 e o último 31, a soma de seus termos é 136. Determine o número de termos dessa progressão.

5 Progressão Geométrica (P.G.)
Uma progressão geométrica, ou abreviadamente PG, é qualquer sequência de números reais (finita ou infinita), dada por uma recorrência do tipo:

6 Progressão Geométrica (P.G.)
O número q = É denominado a razão da PG. Título de exemplos, a sequência das potências de 2 com expoentes inteiros e não negativos, (1, 2, 4, . . .). Classificação:

7 Progressão Geométrica (P.G.)
=> Exemplo:

8 Progressão Geométrica (P.G.)

9 Progressão Geométrica (P.G.)

10 Progressão Geométrica (P.G.)

11 Progressão Geométrica (P.G.)
Exercitando... Calcule o 10º termo da PG (1, 2, 4, . . .). Sabendo que a sequência (x+1, x+3, x+4, . . .) é uma PG de termos não nulos, calcule o seu quarto termo. Encontre o primeiro termo de uma P.G. em que a6 = 160 e q =2. O terceiro termo de uma sequência geométrica é 10 e o sexto termo é 80. Então, a razão é: a) b) c) d) e) 3

12 Progressão Geométrica (P.G.)
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G.

13 Progressão Geométrica (P.G.)
Exercitando... Calcule a soma dos 9 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...). A) B) C) D) E) 511 Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/ =100. Qual é a soma dos 8 primeiros termos da PG (4, 12, 36, . . .)? A soma dos infinitos termos da P.G é igual a: a) b) 1/ c) 2/ d) 1/ e) 1

14 P.A. e P.G.

15 P.A. e P.G. Um jardim tem uma torneira e dez roseiras dispostas em linha reta. A torneira dista 50 metros da primeira roseira e cada roseira dista 2 metros da seguinte. Um jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde na torneira e despeja seu conteúdo na primeira. Volta à torneira e repete a operação para cada roseira seguinte. Após regar a última roseira e voltar à torneira para deixar o balde, quantos metros ele terá andado?

16 P.A. e P.G. Quatro números são tais que os três primeiros formam uma progressão aritmética de razão 6, os três últimos uma progressão geométrica e o primeiro número é igual ao quarto. Determine os quatro números. Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Ao final de nove dessas operações, a) quantas tábuas terá a pilha? b) qual será a altura da pilha?

17 P.A. e P.G. Uma exposição de arte deseja arrecadar fundos para uma creche. No primeiro dia de exposição, 2 pessoas visitaram a exposição. A partir do segundo dia, a cada dia o número de pessoas que visitam a exposição é igual ao dobro do número de pessoas que a visitaram no dia anterior. Se de cada pessoa é cobrado um ingresso de 3,00 reais, qual é o menor número de dias que a exposição deve permanecer aberta a fim de que o total arrecadado atinja pelo menos o valor de 6138,00 reais?

18 P.A. e P.G. Larga-se uma bola de uma altura de 5 metros. Após cada choque com o solo, ela recupera apenas 4/9 da altura anterior. a) Calcule a distância total percorrida pela bola.

19 P.A. e P.G.