Sejam todos bem-vindos!

Sejam todos bem-vindos!
Mecânica Quântica Prof. Dr. Cesar Vanderlei Deimling

Objetivos Gerais e Específicos:
Apresentar a Mecânica Quântica por meio da análise de alguns fenômenos não elucidados pela Mecânica Clássica. Tratar de algumas aplicações da Mecânica Quântica. Introduzir o formalismo matemático necessário à compreensão da Mecânica Quântica. Capacitar o estudante a entender os princípios básicos e os fundamentos teóricos da Mecânica Quântica, bem como capacitá-lo a entender e resolver situações e problemas básicos relacionados a estrutura fundamental da matéria.

Plano de Ensino

Bibliografia:

Seminários: Temas Indicados Modelo Atômico de Bohr;
Radiação de Corpo Negro; Efeito Fotoelétrico; Efeito Compton; Dualidade Onda-Partícula; Principio da Incerteza; Divisão em 6 grupos; Apresentação de um seminário de atividades relacionadas ao tema definido para cada grupo; No seminário: Explicar a atividade, indicando em que momento poderia ser utilizada, enfatizando onde se encontram as contribuições da Mecânica Quântica; Trabalho escrito fazendo uma revisão bibliográfica sobre o tema, incluíndo as atividades propostas no seminário;

Fundamentos conceituais e formais da Mecânica Quântica
Apresentação da disciplina (Conteúdo programático, Referências bibliográficas e Metodologia de Avaliação - Plano de Ensino). Radiação térmica de corpo negro; Propriedades corpusculares da radiação; Efeito fotoelétrico; Propriedades ondulatórias das partículas; Dualidade onda-partícula; Ondas Eletromagnéticas e Fótons; Modelos atômicos Clássicos e Quânticos; Descrição Quântica de uma Partícula; Pacotes de Onda; A Equação de Schrödinger; Partícula em um Potencial Escalar Independente do Tempo.

O que é Mecânica Quântica?
Mecânica Clássica: Leis do movimento para objetos do nosso cotidiano... Cinemática; Leis de Newton; Energia... Relatividade: É o campo da Física que estuda o movimento em condições extremas: próximas à velocidade da Luz Mecânica Quântica é o campo da Física que estuda o comportamento das pequenas Partículas: Elétrons, Prótons, Átomos e até mesmo moléculas...

A Radiação de Corpo Negro
Definição: Um corpo que absorve toda a radiação incidente é denominado de corpo negro. Em 1879 Josef Stefan verificou que: 𝐼= 𝑃 𝐴 = 𝜎𝑇4 𝜎=5,67∗ 10 −8 𝑊/𝑚2𝐾4  é a emissividade do corpo, que varia de 0 a 1. 1 corresponde ao corpo negro. 0 corresponde a um espelho perfeito. 𝐼= 𝜎𝑇4 Ex: Estime o raio da estrela que possui T = 4000K, sabendo que a potencia irradiada pela estrela é 25 vezes maior que a potencia do sol, e que a temperatura do sol é 5800 K. Re = 10,5*Rs

A Lei de Wein pode ser usada para descrever a dependência da potencia máxima em termos do comprimento de onda para uma distribuição espectral: 𝑇∝ 1 𝜆 𝜆 𝑚á𝑥 𝑇=2,898∗ 10 −3 𝑚𝐾

Lei de Rayleigh-Jeans. Ajustava apenas os valores de intensidade para grandes comprimentos de onda. *A Catastrofre do Ultravioleta* 𝐼= 2𝜋𝑐𝑘𝑇 𝜆 4 𝐼

A contribuição de Max Planck. Os átomos das paredes só poderiam absorver e emitir energias com valores discretos. Dessa forma excitariam osciladores harmônicos presentes na cavidade do corpo negro. 𝐼= 8𝜋ℎ𝑐 𝜆 ( 𝑒 ℎ𝑐 𝐾𝑇𝜆 )−1 𝐼 𝐸 𝑛 =𝑛ℎ𝑓

A Radiação de Corpo Negro: Quantização de PlancK
A quantização não é relevante para osciladores macroscópicos, pois o quantum de energia é tão pequeno que torna a quantização indistinguível da variação contínua de energia prevista pela Mecânica Newtoniana; Planck foi bem sucedido ao resolver o problema da raddiação de corpo negro mas nem ele entendia/aceitava a quantização; A hipótese da discretização das energias de partículas vibrando, por parte de planck, não encontrava nenhum análogo na época. Era tão radical que mesmo reproduzindo exatamente os dados experimentais não foi aceita na epoca , até que viesse a ser adotada por Einstein em 1905. Em 1905, Einstein sugeriu na explicação do efeito fotoelétrico que a quantização era uma propriedade fundamental da radiação eletromagnética!

Propriedades corpusculares da radiação;
Em seu livro De Rerum Natura (Sobre a Natureza das Coisas) ele apresenta a ideia filosófica que a luz seria composta de pequenas partículas. Poeta romano Titus Lucrecius Carus – Lucrécio (99-55 AC). Se o estoque de átomos é inexaurível Maior do que qualquer ser vivo pode contar Se o poder criativo da natureza sempre esteve presente Para unir os átomos – exatamente como estão unidos agora Por que razão não deveria confessar Que existem outros mundos em outras regiões do céu Diferentes tribos de homens e outros tipos de animais selvagens Lucrécio – De Rerum Natura

Propriedades corpusculares da radiação;
Isaac Newton ( ) No Século XVI, uma teoria corpuscular se consolidou como um conjunto de ideias capaz de explicar os fenômenos ópticos conhecidos à época (refração e reflexão). Em seu livro Optiks (Óptica) Isaac Newton discutiu implicitamente a natureza da luz, sem apresentar uma defesa ardorosa de sua teoria. Esquema de como a reflexão e a refração foram concebidas para Newton em seu livro Optiks.

Efeito Fotoelétrico Do princípio:
Einstein propos que a radiação elétromagnética fosse quantizada (o fóton) e associou uma energia ao fóton: h é a Constante de Planck; h = 6,63x10-34 Js = 4,14x10-15 eVs f é a frequencia da radiação Exemplo 1: Uma lâmpada de vapor de sódio é colocada no centro de uma casca esférica que absorve toda a energia que chega a ela. A lâmpada tem potencia de 200 W; suponha que toda a luz seja emitida com λ = 590 nm. Quantos fótons são absorvidos pela casca esférica por segundo. A cada segundo a lâmpada emite 200 J

Efeito Fotoelétrico A luz incide sobre um alvo T ejetando elétrons que são coletados em C. Podemos aplicar um potencial negativo no coletor, motitorando a corrente elétrica. Quando aplicamos um potencial que anule a corrente, essa energia associada ao potenical de corte será igual a energia cinética e sendo assim: O efeito fotoelétrico ocorre quando elétrons são emitodos por um material, geralmente metálico, exposto a uma radiação eletromagnética de frequência suficientemente alta. O elétron emitido carrega características que dependem do material.

Efeito Fotoelétrico Para conseguirmos ejetar elétrons de uma superfície, fornecendo a eles uma energia cínética K, devemos fornecer uma energia maior que a função trabalho, Ф, que corresponde à energia necessária para trazer um elétron das camadas internas do material até a superfície.

Efeito Fotoelétrico Exemplo:
Determinar a função trabalho para o sódio conforme a figura ao lado.

Efeito Fotoelétrico Exemplo:
Determine a frequência de corte para um metal cuja função trabalho seja 2,3eV. A frequência de corte é a mínima frequência necessária para que ocorra o efeito fotoelétrico.

A espectroscopia de Fotoemissão de Elétrons
Efeito Fotoelétrico A espectroscopia de Fotoemissão de Elétrons

Efeito Fotoelétrico A Célula Fotovoltáica e os Semicondutores!
Semicondutor do tipo N: Dopado com um elemento que contem 5 elétrons na camada de valência (Fósforo) Semicondutor do tipo P: Dopado com um elemento que contem 3 elétrons na camada de valência (Boro) Quando colocados em contato formam uma junção PN, onde os elétrons livres do lado n passam ao lado p onde encontram os buracos que os capturam; isto faz com que haja um acúmulo de elétrons no lado p, tornando-o negativamente carregado e uma redução de elétrons do lado n, que o torna eletricamente positivo. Estas cargas aprisionadas dão origem a um campo elétrico permanente que dificulta a passagem de mais elétrons do lado n para o lado p; este processo alcança um equilíbrio quando o campo elétrico forma uma barreira capaz de barrar os elétrons livres remanescentes no lado n.

Efeito Fotoelétrico A Célula Fotovoltáica e os Semicondutores!
Semicondutor do tipo N: Dopado com um elemento que contem 5 elétrons na camada de valência (Fósforo) Semicondutor do tipo P: Dopado com um elemento que contem 3 elétrons na camada de valência (Boro)

A Célula Fotovoltáica e os Semicondutores!
Efeito Fotoelétrico A Célula Fotovoltáica e os Semicondutores! Se uma junção pn for exposta a fótons com energia maior que o gap, ocorrerá a geração de pares elétron-lacuna; Se isto acontecer na região onde o campo elétrico é diferente de zero, as cargas serão aceleradas, gerando assim, uma corrente através da junção; este deslocamento de cargas dá origem a uma diferença de potencial ao qual chamamos de Efeito Fotovoltaico. Se as duas extremidades do "pedaço" de silício forem conectadas por um fio, haverá uma circulação de elétrons. Esta é a base do funcionamento das células fotovoltaicas.

𝜆= ℎ 𝑝 𝑓= 𝐸 ℎ Propriedades ondulatórias das partículas
Em 1924 – Louis de Broglie, propôs que o dualismo de onda-partícula era também propriedade da matéria! * Até então o formalismo ondulatório era empregado apenas na descrição da radiação eletromagnética. Louis de Broglie expressou matematicamente suas hipóteses originando as relações de de Broglie: 𝑓= 𝐸 ℎ 𝜆= ℎ 𝑝

Propriedades ondulatórias das partículas
Demonstração das relações de de Broglie para um fóton: 𝑓= 𝐸 ℎ 𝜆= ℎ 𝑝 Das contribuições Eistein: 𝑝= ℎ𝑓 𝑐 = ℎ 𝜆 𝐸=𝑝𝑐=ℎ𝑓 Dos estados estacionários propostos por Bohr: O momento angular: 𝑚𝑣𝑟=𝑛ℎ/2𝜋 𝑚𝑣=𝑛ℎ/2𝜋𝑟 Estado Estacionário: 𝑝=ℎ/𝜆 2𝜋𝑟=𝑛𝜆

Propriedades ondulatórias das partículas
Exemplo: Calcule o comprimento de onda: a) De uma bolinha de pingue-pongue de m = 1 g, com velocidade de 5 m/s. b) De um elétron lento, com energia cinética de 10 eV. a) Sabendo que: 𝜆=ℎ/𝑝 𝜆=1,33 ∗10 −22 𝑛𝑚 b) Sabendo que: 𝐸= 𝑝 2 /2𝑚 𝑝= 2𝑚𝐸 𝜆=ℎ/𝑝 𝜆=0,39 nm

Propriedades ondulatórias das partículas O experimento de Dupla fenda
Considere um feixe de elétrons extremamente fraco utilizado no experimento de dupla fenda como no esboço abaixo.

O Detector permite contar o número de elétrons em função da posição no anteparo Contagem de um número inteiro de elétrons Contagem dependente da posição: fenda 1 ou fenda 2. Todos elétrons saem da fonte com a mesma energia / λ Por que a probabilidade de contar elétrons com as duas fendas abertas não é a mesma da soma quando apenas a fenda 1 ou a 2 estão abertas? Por que um elétron é detectado como uma partícula, mas se propaga como uma onda!

Visão Simplificada 𝑚𝜆=dsen(θ) (𝑚+1/2)𝜆=dsen(θ) Interferência Construtiva Interferência Destrutiva Tarefa: Sabendo comprimento de onda medir a distância entre cada uma das trilhas de um cd e estimar o tamanho de cada Byte do CD! (Meça o raio médio do cd, com tamanho de 600 MB = 4,8 Gb).

Dualidade onda-partícula Interferômetro de Mach-Zehnder
Visão Classica: Um feixe de Luz (fótons) de grande intensidade incide sobre um espelho semirrefletor proporcionando dois caminhos ópticos distintos, atingindo E1 e E2. Considerações: Cada ramo tem o mesmo tamanho! Cada reflexão de espelho, seja refletor ou semirrefletor há um ganho de /4. Verificações: No detector D2 ocorre interferência destrutiva, e nada é detectado! No detector 1 ocorre interferência construtiva e todo o feixe inicial passa a ser detectado.

Visão Quântica: É diminuída a intensidade intensidade do feixe de modo que apenas um fóton chegue ao interferômetro por vez. Inicialmente sem o espelho semirrefletor S2. Considerações: Nesse caso nunca os detectores indicarão fótons ao mesmo tempo. 50% dos fotos serão detectados no detector D1 e outros 50 % no detector D2. Constatações: Os fótons se comportam como partículas escolhendo um dos caminhos para percorrer!

Considerações: Nesse caso nunca os detectores indicarão fótons ao mesmo tempo. 25% dos fotos serão detectados no detector D1 e outros 25 % no detector D2. Constatações: Os fótons se comportam como partículas escolhendo um dos caminhos para percorrer!

Visão Quântica: É diminuída a intensidade intensidade do feixe de modo que apenas um fóton chegue ao interferômetro por vez. Inicialmente sem o espelho semirrefletor S2. Considerações: Ao escolher um caminho específico, o fóton "classicamente" não teria como saber que o outro caminho está bloqueado e, portanto, não deveria alterar o seu comportamento nos detectores. Apenas o detector D1 indicará a chegadas de fótons, de maneira análoga ao caso clássico. Constatações: Esse comportamento é completamente inesperado e não pode ser explicado dentro do formalismo clássico.

James Clerk Maxwell 13 de junho de 1831 – 5 de novembro de 1879
Ondas Eletromagnéticas e Fótons James Clerk Maxwell 13 de junho de 1831 – 5 de novembro de 1879

Ondas Eletromagnéticas e Fótons
O Arco-íris de Maxwell c = *f

O espectro da luz visível Para a sensibilidade de 1% o espectro visível compreende a faixa de frequência entre 430 e 690 nm.

A geração de uma onda eletromagnética

Aparência de uma onda eletromagnética

Propriedades de uma onda eletromagnética O campo elétrico é sempre perpendicular ao campo magnético, assim como, à direção de propagação da onda. O produto vetorial entre o campo elétrico e o campo magnético fornece o sentido e a direção de propagação da onda Os campos oscilam senoidalmente, na mesma frequência e mesma fase, assim como as ondas estudadas em osciladores harmônicos.

O oscilador RLC Da conservação de energia temos: U = UB + UC = Li2/2 + q2/2C A potência dissipada no resistor na forma de energia térmica será: dUR/dt = -Ri2 Reescrevendo: d2q/dt2 + (R/L)(dq/dt) + q/LC = 0 Solução análoga à do Oscilador Harmônico Amortecido! d2x/dt2 + 2α(dx/dt) + ω02x = 0 X(t) = Ket Dessa forma temos: dU/dt = Li(di/dt) + q(dq/dt)/C = -Ri2 Subtituindo i = dq/dt e dividindo ambos os termos por dq/dt, temos: L(dq/dt)(d2q/dt2) + (q/C)(dq/dt) + R(dq/dt)2 = 0 L(d2q/dt2) + q/C + R(dq/dt) = 0

O oscilador RLC Da solução... (2 + 2α + ω02)Ket = 0 (2 + 2α + ω02) = 0 1 = − α + 𝛼 2 − 𝜔0 2 2 = − α − 𝛼 2 − 𝜔0 2 Trataremos dos três comportamentos diferentes que dependem das raízes da equação característica. Amortecimento forte: Se α > ω0 as raízes da equação característica λ1 e λ2 são reais, distintas e negativas e, portanto, sua solução será: x(t) = κ1eλ1t + κ2eλ2t, que tende para zero sem oscilações. Amortecimento fraco: Se α < ω0 as raízes da equação característica ficam λ1 = − α + iωd e λ2 = −α − iωd em que ωd = (ω02 − α2)0.5 é a frequência natural amortecida. Elas são complexas conjugadas, com parte real negativa. x(t) = e−αt {(κ1 + κ2) cos(ωdt) + i(κ1 − κ2) sin(ωdt)}

O oscilador RLC Da solução... (2 + 2α + ω02)Ket = 0 (2 + 2α + ω02) = 0 1 = − α + 𝛼 2 − 𝜔0 2 2 = − α − 𝛼 2 − 𝜔0 2 Trataremos dos três comportamentos diferentes que dependem das raízes da equação característica. Amortecimento crítico: Se α = ω0 as raízes da equação característica λ1 e λ2 são iguais: λ1 = λ2 = -α x(t) = κ1e−αt + κ2e−αt As constantes κ1 e κ2 podem ser determinadas resolvendo-se um sistema de segunda ordem obtido quando as condições iniciais x(0) e dx(0)/dt são impostas.

Velocidade da onda eletromagnética c = E/B

Lei de Faraday

Lei de Faraday Da análise do Campo Magnético temos: 𝜙 𝐵 =𝐵ℎ𝑑𝑥 Então: ℎ𝑑𝐸=− ℎ𝑑𝑥 𝑑𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝐸 𝑑𝑥 =− 𝑑𝐵 𝑑𝑡 𝑐= 𝐸 𝑚 𝐵 𝑚

Lei da Indução de Maxwell O módulo do campo elétrico está diminuindo e, portanto, o módulo do campo magnético induzido é maior do lado direito do retângulo do que no lado esquerdo. 𝐵 ∙𝑑 𝑠 =− 𝐵+𝑑𝐵 ℎ+𝐵ℎ=−ℎ𝑑𝐵 𝜙𝐸=𝐸ℎ𝑑𝑥 −ℎ𝑑𝐵=𝜇0𝜀0ℎ𝑑𝑥 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑑𝐵 𝑑𝑥 =−𝜇0𝜀0 𝑑𝐸 𝑑𝑡

O Transporte de energia e o Vetor de Poynting Definição: Interpretação Física: O módulo do Vetor de Poynting de uma onda eletromagnética indica a taxa de transporte de energia por unidade de área. A direção do Vetor de Poynting de uma onda eletromagnética em um ponto qualquer indica a direção de propagação da onda e a direção do transporte de energia nesse ponto. W/m2

c = E/B Sabendo que:

A variação da intensidade com a distância Uma fonte pontual, que emite luz isotropicamente, ou seja, com igual intensidade para todas as direções, forma frentes de ondas esféricas concêntricas em S. Portanto, as ondas eletromagnéticas que passam por um ponto qualquer localizado por sobre a esfera amarela, distante r da fonte S possui intensidade dada por:

Exemplo 1: O campo elétrico máximo a uma distância de 10 m de uma fonte pontual isotrópica vale 2 V/m. Quais são; a) o valor máximo do campo magnético, b) a intensidade média da luz a essa distância da fonte? c) qual a potência da fonte? Exemplo2: Quando olhamos para a Estrela Polar (Polaris), recebemos a luz da estrela que está a 431 anos-luz da Terra e emite energia na taxa de 2,2x103 vezes maior que o Sol (Psol = 3,90x1026 W). Desprezando a absorção da luz pela atmosfera terrestre, determine os valores rms do campo elétrico e do campo magnético dos fótons que chegam até nós. Exemplo 3: Um investigador do programa SETI (Search for Estra-Terrestrial Inteligence) afirmou que o grande radiotelescópio de Arecibo, em Porto Rico, é capaz de detectar um sinal que deposite em toda a superfície terrestre apenas 1 pW. a) Qual a potencia que a antena do radiotelescópio receberia de um sinal como este? Suponha que a antena tem diâmetro de 300m. b) qual deveria ser a potencia de uma fonte isotropica situada no centro da nossa galáxia para que um sinal dessa potencia chegasse na terra? Suponha que o centro de nossa galáxia fique a 2,2x104 anos-luz.

O modelo de Dalton (aprox. 1803)
Dalton acreditava que o átomo era uma esfera maciça, homogênea, indestrutível, indivisível e de carga elétrica neutra. Pressupostos: Todas as substâncias são constituídas de minúsculas partículas, esféricas e maciças, denominadas átomos, que não podem ser criados e nem destruídos. Nas substâncias, eles se encontram unidos por forças de atração mútua. Verdade! A força é variável nos sólidos, líquidos e gases. Um conjunto de átomos de com a mesma massa e tamanho, apresenta as mesmas propriedades e constitui um elemento Químico. Existem modos mais eficientes para caracterizar um elemento Químico. Ex: número de prótons Z.

Dalton acreditava que o átomo era uma esfera maciça, homogênea, indestrutível, indivisível e de carga elétrica neutra. Elementos Químicos diferentes apresentam átomos com massas, tamanhos e propriedades diferentes. A combinação de átomos de elementos Químicos iguais ou diferentes, numa porção de números inteiros formam as substâncias. Verdade! Não existem meios átomos em uma substância! Em uma reação Química, os átomos não são criados nem destruídos, mas simplesmente são rearranjados, originando novas substâncias. Verdade! Origem das moléculas!

Dalton acreditava que o átomo era uma esfera maciça, homogênea, indestrutível, indivisível e de carga elétrica neutra. Problemas que permaneceram sem explicação! A atração eletrostática e magnética? A emissão de radiação pela matéria? A Emissão de partículas alfa (Núcleo de Hélio)? A radioatividade (Fissão e Fusão Nuclear)?

O modelo de Thomson: datado de aprox. 1900
O átomo era uma esfera de carga elétrica positiva “recheada” de elétrons de carga negativa. Esse modelo ficou conhecido como “pudim de passas”.

O átomo era uma esfera de carga elétrica positiva “recheada” de elétrons de carga negativa. Esse modelo ficou conhecido como “pudim de passas”. Por meio de experimentos com gases em uma ampola de raios catódicos, verificou que os átomos deveriam ser compostos por cargas positivas e negativas (elétrons). O átomos seria formado por uma distribuição contínua, esférica de cargas positivas, de raio m, onde os elétrons estão distribuídos homogeneamente. Nos átomos no estado fundamental, os elétrons estão fixos nas posições de equilíbrio, conforme fossem excitados, passariam a vibrar em torno das suas posições de equilíbrio.

O átomo era uma esfera de carga elétrica positiva “recheada” de elétrons de carga negativa. Esse modelo ficou conhecido como “pudim de passas”. Por meio do modelo foi possível entender qualitativamente a emissão de radiação pelos átomos excitados. Os valores quantitativos do modelo não descreviam os dados experimentais! Colaborou com algumas explicações que o modelo de Dalton não fornecia. Obteve sucesso na explicação de efeitos como a condução de elétrons, a eletrização por atrito, e a ionização dos gases. A emissão de partículas alfa não foi explicada, pois necessitava que a carga positiva fosse concentrada em um ponto do espaço.

Exemplo 1: Suponha que um elétron está dentro de uma distribuição esférica de cargas positivas, conforme o modelo de Tomson. Mostre que o movimento do elétron (quando o átomo esta excitado) pode ser descrito analogamente ao de um oscilador harmônico simples. (F = kx) Suponha que a carga positiva distribuída no item a) seja igual, em módulo, à carga do elétron (átomo de hidrogênio). Nesse caso determine a frequência e o comprimento de onda associado ao movimento do elétron. (f = 2,5x1015 Hz e  = 1200 Å)

Estudos complementares da ampola de crookes. O Experimento de Thomson: Calcule a deflexão em y do feixe de raios catódicos quando: A diferença de potencial que acelera o feixe vale 50 eV, o comprimento das placas defletoras vale 2 cm, a distância que separa as placas vale 0,5 cm e a diferênca de potencial entre as placas defletoras vale 2,5 V. Dados me = 9,11x10-31 kg, D = 30 cm. y = 3,1 cm

A descoberta do núcleo atômico
O modelo de Rutherford: datado de aprox. 1910 Rutherford foi aluno de Thomson! O Modelo Planetário: A descoberta do núcleo atômico e a eletrosfera. Em seu experimento, Rutherford, bombardeou uma fina folha de ouro com partículas Alfa (Núcleo de He4), e verificou que poucas dessas partículas sofreram desvios.

O modelo de Rutherford: datado de aprox. 1910
Constatações do modelo - o átomo é um enorme vazio; (apenas 1 entre partículas alfa eram totalmente refletidas). - o átomo tem um núcleo muito pequeno; - o átomo tem núcleo positivo (+), já que partículas alfa desviavam algumas vezes; - os elétrons estão ao redor do núcleo (na eletrosfera) para equilibrar as cargas positivas.

A Teoria do Espalhamento de Rutherford e o Átomo Nuclear.
Como estimar o limite superior do tamanho do núcleo? Imaginando colisões frontais! Analisando a energia muito antes da colisão e no ponto mais próximo, temos: 𝑈0+𝐾0=𝑈1+𝐾1 0 + 𝑚α𝑣2 2 = 𝑘𝑞α𝑄 𝑟 +0 Através dos dados de Rutherford, foi possível mostrar o átomo possui tamanho de aprox a maior que o núcleo. Ra ~ 1 à 3 Å Rn ~ 1x10-14 à 3x10-14 m 𝑟= 2𝑘𝑞α𝑄 𝑚α𝑣2 Considere partículas α com energia de 7,7MeV e determine a posição de máxima aproximação.

𝑏 𝜃 = 𝑘 𝑞 𝛼 𝑄 𝑚 𝑣 𝛼 2 cotg 𝜃 2 b = Parâmetro de Impacto [m]. θ = ângulo de espalhamento. Considerando um feixe de partículas α de intensidade I0. 𝜋 𝑏 𝜃 2𝐼0 Corresponde ao número de partículas espalhadas por cada núcleo de Au, por segundo, com ângulo de espalhamento maior que θ.

𝑏 𝜃 = 𝑘 𝑞 𝛼 𝑄 𝑚 𝑣 𝛼 2 cotg 𝜃 2 b = Parâmetro de Impacto [m]. θ = ângulo de espalhamento. Considerando um feixe de partículas α de intensidade I0. 𝜋 𝑏 𝜃 2𝐼0 Considerando o montante total de átomos N afetados pela área A de atuação do feixe na placa de espessura x! Corresponde ao número de partículas espalhadas por cada núcleo de Au, por segundo, com ângulo de espalhamento maior que θ. 𝜋 𝑏 𝜃 2𝐼0 N 𝑛= 𝑝 𝐾𝑔 𝑚3 𝑁𝐴[á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑚𝑜𝑙] 𝑀[𝐾𝑔/𝑚𝑜𝑙] = 𝑝𝑁𝐴 𝑀 𝑓=𝜋 𝑏 𝜃 2𝑛𝑥 Fração de partículas espalhadas com ângulo maior que . 𝑓= 𝜋 𝑏 𝜃 2𝐼0𝑛𝐴𝑥 𝐼0𝐴 𝜋 𝑏 𝜃 2𝐼0𝑛𝐴𝑥

Calcular a fração de um feixe de partículas α com energia de 5 MeV incidindo em uma folha de Ouro (Z = 79) com 1 m de espessura para a qual é esperado um ângulo de espalhamento maior que 90°. 𝑓=𝜋 𝑏 𝜃 2𝑛𝑥 𝑓= 9,6x10-5 partículas/s 𝑏 𝜃 = 𝑘 𝑞 𝛼 𝑄 𝑚 𝑣 𝛼 2 cotg 𝜃 2 𝑛= 𝑝 𝐾𝑔 𝑚3 𝑁𝐴[á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑚𝑜𝑙] 𝑀[𝐾𝑔/𝑚𝑜𝑙] = 𝑝𝑁𝐴 𝑀 Medidas experimentais de Geiger e Marsden indicaram que 1/8000 partículas eram espalhadas na condição acima descrita.

O modelo de Rutherford: datado de aprox. 1910
Problemas: - A estabilidade atômica! Principais apontamentos: Núcleo composto por cargas positivas, com tamanho de a vezes menor que o tamanho do átomo! Eletrosfera composta por elétrons que se movem em orbitas circulares, fazendo analogia com o modelo planetário. Em 1932 uma de seus alunos, James Chadwich, bombardeando Berílio (Be) obteve Carbono (C) e uma partícula de carga neutra, denominado de Nêutron. A partir desse fato, o modelo de Rutherford previa a existência de Nêutrons e Prótons formando o núcleo e a existência de elétrons na razão de 1/1840 da massa do próton.

O modelo de Bohr: datado de aprox. 1913
O modelo de orbitas circulares estáveis, com energias bem definidas entre níveis energéticos. O átomo de Hidrogênio! Combinação de ideias de Einstein, Plank e Rutherford Postulados: Elétrons se movem em certas órbitas sem irradiar energia. Os átomos irradiam energia quando um elétron sofre uma transição de um estado estacionário para outro, sendo que a frequência, f, da emissão está relacionada às energias das órbitas. hf = Ei – Ef h = 6,62x10-34 Js

Energia de um elétron orbitando em “r”.
O modelo de Bohr: datado de aprox. 1913 Da segunda lei de Newton: 𝐹= 𝐾𝑍𝑒2 𝑟2 =𝑚𝑣2/𝑟 𝑣= 𝐾𝑍𝑒2/𝑟𝑚 Da conservação da energia: Sabendo que mv2 = KZe2/r 𝐸= 𝑚𝑣2 2 − 𝐾𝑍𝑒2 𝑟 𝐸=− 𝐾𝑍𝑒2 2𝑟 𝐸= 𝐾𝑍𝑒2 2𝑟 − 𝐾𝑍𝑒2 𝑟 Energia de um elétron orbitando em “r”.

Quantização do momento angular do elétron.
A quantização do momento angular. Cada orbita deve se comportar como um estado estacionário: 2𝜋𝑟=𝑛𝜆 𝑟=𝑛𝜆/2𝜋 𝑛=1, 2, 3, 4… Da contribuição de Einstein para o momento de uma onda: 𝑝= 𝐸 𝑐 = ℎ𝑓 𝑐 =ℎ/𝜆 𝑛=1, 2, 3, 4… 𝐿 = 𝑛ℎ 2𝜋 =𝑛ℏ Pela análise do momento angular, temos: h = 6,62x10-34 Js 𝐿 = 𝑟 × 𝑝 Quantização do momento angular do elétron. Orbita Circular: 𝐿 =𝑟𝑝=(𝑛𝜆/2𝜋)(ℎ/𝜆)

A quantização do momento angular.
Sabendo que: 𝑣= 𝐾𝑍𝑒2/𝑟𝑚 𝐿 =𝑛ℏ=𝑚𝑣𝑟 𝑛ℏ=𝑚𝑟 𝐾𝑍𝑒2/𝑟𝑚 𝑟= 𝑛2ℏ2 𝑚𝑘𝑍𝑒2 𝑛=1, 2, 3, 4… Para n = 1 e Z = 1, temos 𝑎0= ℏ2 𝑚𝑘𝑒2 =0,529 Å=0,0529 𝑛𝑚 Raio de Bohr

Energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio
A quantização do momento angular. 𝐸=− 𝐾𝑍𝑒2 2𝑟 Sabendo que: 𝑟= 𝑛2ℏ2 𝑚𝐾𝑍𝑒2 𝑛=1, 2, 3, 4… Temos que: 𝐸=− 𝑚𝐾2𝑍2𝑒4 2𝑛2ℏ2 Para n = 1 e Z = 1, temos 𝐸0=− 𝑚𝐾2𝑒4 2ℏ2 =− 2,18𝐽=− 13,6 𝑒𝑉 Energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio

Descrição Quântica de uma Partícula
Na Mecânica Clássica 𝐹 =𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 𝑥 𝑡 ;𝑣 𝑡 ;𝑎(𝑡) Na Mecânica Quântica Função de Onda que define as propriedades da partícula. Ψ(𝑥,𝑡)

Imaginando uma equação de onda Como localizar uma partícula? Ψ 𝑥,𝑡 =Asen(κx−ωt) Graficamente temos:

Como localizar uma partícula? Ψ 𝑥,𝑡 =Asen(κx−ωt) Para localizar a partícula devemos somar muitas funções de ondas com variações infinitesimais de . Nessa situação apareceria apenas o máximo central, ou seja, um pacote de onda capaz de localizar a partícula!

Pacote de Onda 𝑓= Ψ(𝑥,𝑡) 2 𝑥 = −∞ ∞ 𝑥 Ψ(𝑥,𝑡) 2 𝑑𝑥
Relações da Função de Onda: A densidade de Probabilidade: 𝑓= Ψ(𝑥,𝑡) 2 O valor médio da posição: 𝑥 = −∞ ∞ 𝑥 Ψ(𝑥,𝑡) 2 𝑑𝑥 A normalização: Mostre que a densidade de probabilidade do estado fundamental do átomo de hidrogênio é máxima para r = a. Ψ(𝑟,0)= 2𝑟 𝑎 3 𝑒 −𝑟/𝑎

Pacote de Onda Exemplo:
Um elétron se encontra no estado fundamental de um poço infinito unidimensional como o mostrado pela figura abaixo, cuja largura L = 100 pm. Considerano sua função de onda como sendo: Qual a probabilidade de detectar o elétron no terço esquerdo (entre x1=0 e x2=L/3)? Qual a probabilidade de detectar o elétron entre x1=L/3 e x2=2L/3? sen²x +cos²x = 1 cos²x -sen²x = cos2x

Pacote de Onda b) Qual a probabilidade de detectar o elétron entre x1=L/3 e x2=2L/3? L/3 2L/3 20% 60% Por simetria da função de onda, sabemos que a probabilidade de encontrar o elétron no intervalo entre 0 < x < L/3 (terço esquerdo) deve ser igual a probabilidade de encontrar o elétron entre 2L/3 < x < L (terço direito).

O princípio da Incerteza
Como localizar uma partícula, usando o formalismo ondulatório? O pacote de onda! Δ𝑥 Δ𝑘 ~ 1 Da contribuição de Heisemberg: Δ Δ𝑡 ~ 1 𝐸=ℏ𝜔 𝑝=ℏ𝑘 Usando as relações: Δ𝑥 Δ𝑝 ~ ℏ Δ𝐸 Δ𝑡 ~ ℏ Mais precisamente: Δ𝑥 Δ𝑝 𝑥 ≥ ℏ/2 Δ𝑦 Δ𝑝 𝑦 ≥ℏ/2 Δ𝑧 Δ𝑝 𝑧 ≥ℏ/2 Δ𝐸 Δ𝑡≥ℏ/2

A constatação da Natureza Ondulatória da Matéria: A difração de fenda dupla Na tentativa de localizar por qual fenda o elétron passou, iluminamos o experimento com luz. Nessa situação vemos isoladamente clarões ou na fenda 1 ou na 2 e nunca nas duas ao mesmo tempo 𝐸=ℎ𝑓 Para construir a figura de interferência 𝑝= ℎ 𝜆 𝑑 ~ 𝜆 𝑒

Sendo assim: Conclusão: Na tentativa de localizar por qual fenda o elétron passou, iluminamos o experimento com luz de comprimento de onda, e por consequência, localizamos o elétron e por isso perdemos qualquer informação sobre o momento linear do elétron, e, a figura de interferência deixa de existir. Δ𝑥 Δ𝑝 ≥ ℏ Δ𝑝 ≥ 2ℏ/𝑑 Δ𝜃 ~ ∆𝑝/𝑝 = 2ℏ 𝑑 ℎ 𝜆 =λ/𝜋𝑑 d/2 Δ𝑝 ≥ ℏ

Aplicações: Determinando a energia mínima de Partícula em uma Caixa! Exemplo: Determinar o tamanho mínimo do átomo de hidrogênio 𝐸= 𝑝 2 2𝑚 − 𝑘 𝑒 2 𝑟 (Δ𝑝) 2 = 𝑝 2 ≥ ℏ 𝑟 2 𝐸 𝑚𝑖𝑛 = ℏ 2 2𝑚 𝑟 2 − 𝑘 𝑒 2 𝑟 Fazendo: Raio de Bohr 𝑟= ℏ 2 𝑚𝑘 𝑒 2 =0,0529Å 𝑑 𝐸 𝑚𝑖𝑛 𝑑𝑟 =0

A Equação de Schrödinger
−ℏ2 2𝑚 𝜕2Ψ(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥2 +𝑈 𝑥,𝑡 Ψ 𝑥,𝑡 =𝑖ℏ 𝜕Ψ(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡 Para uma dimensão: Termo de Energia Cinética Energia Potencial Energia Mecânica Sabendo a energia potencial que a partícula está submetida podemos encontrar (r,t) Propriedades desejadas da equação de onda na Mecânica Quântica: Obedecer os postulados de Einstein e De Broglie. Deve satisfazer a equação de Energia Mecânica: Deve ser linear em (x,t), ou seja, se 1(x,t) e 2(x,t) são soluções da Equação de Schrödinger para um determinado potencial, a combinação das duas soluções também será solução, ou seja 3(x,t) = a1(x,t) + b2(x,t) também será solução. U(x,t) é a energia potencial que define o problema que será estudado. 𝑝= ℎ 𝜆 𝐸=ℎ𝑓 𝑝2 2𝑚 +𝑈=𝐸

−ℏ2 2𝑚 𝜕2Ψ(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥2 +𝑈 𝑥,𝑡 Ψ 𝑥,𝑡 =𝑖ℏ 𝜕Ψ(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡 Para uma dimensão: Termo de Energia Cinética Energia Potencial Energia Mecânica De onde vem os termos que precedem as Funções de onda? Na mecânica quântica as grandezas físicas são determinadas por meio de operadores: Momento Linear: Energia Mecânica 𝑝 Ψ 𝑥,𝑡 =−𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑥 Ψ 𝑥,𝑡 𝐸 Ψ 𝑥,𝑡 =𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑡 Ψ(𝑥,𝑡)

A Partícula Livre: Solução independente do tempo U = 0 −ℏ2 2𝑚 𝜕2Ψ(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥2 +𝑈 𝑥,𝑡 Ψ 𝑥,𝑡 =𝑖ℏ 𝜕Ψ(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡 Para uma dimensão: A única energia energia da partícula passa a ser a energia cinética: 𝐸= 𝑝2 2𝑚 −ℏ2 2𝑚 𝜕2Ψ(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥2 =𝐸Ψ(𝑥,𝑡) 𝜕2𝜓(𝑥) 𝜕𝑥2 =− 1 ℏ2 ℎ2 𝜆2 𝜓(𝑥) Como a energia não está dependendo do tempo, Ψ 𝑥,𝑡 pode ser reescrito por um produto de duas funções:Ψ 𝑥,𝑡 =𝜓(𝑥)𝜙(𝑡) 𝜕2𝜓(𝑥) 𝜕𝑥2 =− 2𝜋2 𝜆2 𝜓(𝑥) 𝜕2𝜓(𝑥) 𝜕𝑥2 =− 2𝑚 ℏ2 𝑝2 2𝑚 𝜓(𝑥) 𝜕2𝜓(𝑥) 𝜕𝑥2 =−𝑘2𝜓(𝑥)

A Partícula Livre: Solução independente do tempo U = 0 −ℏ2 2𝑚 𝜕2Ψ(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥2 +𝑈 𝑥,𝑡 Ψ 𝑥,𝑡 =𝑖ℏ 𝜕Ψ(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡 Para uma dimensão: Ψ 𝑥,𝑡 =𝐴 𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) +𝐵 𝑒 −𝑖(𝑘𝑥+𝜔𝑡) 𝜕2𝜓(𝑥) 𝜕𝑥2 =−𝑘2𝜓(𝑥) Solução: Lembrete: Os sinais de  definem o sentido de propagação da onda (partícula). + indica sentido negativo do eixo x. - Indica sentido positivo do eixo x. 𝜓 𝑥 =𝐴 𝑒 𝑖𝑘𝑥 +𝐵 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 Considerando a dependência temporal: 𝜙 𝑡 = 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 Ψ 𝑥,𝑡 =𝜓(𝑥)𝜙(𝑡) 𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) =cos 𝑘𝑥−𝜔𝑡 +isen(𝑘𝑥−𝜔𝑡) Ψ 𝑥,𝑡 =(𝐴 𝑒 𝑖𝑘𝑥 +𝐵 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 ) 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑒 −𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) =cos 𝑘𝑥−𝜔𝑡 −isen(𝑘𝑥−𝜔𝑡)

Pela condição de normalização podemos determinar o valor da constante A: Uma Partícula que se move para a direita (x positivo) U = 0 −∞ +∞ Ψ 2 𝑑𝑥= −∞ +∞ Ψ∗Ψ 𝑑𝑥=1 Ψ 𝑥,𝑡 =𝐴 𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) −∞ +∞ Ψ 𝑥,𝑡 ∗Ψ(𝑥,𝑡) 𝑑𝑥=1 Ψ 𝑥,𝑡 =𝐴 𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) +𝐵 𝑒 −𝑖(𝑘𝑥+𝜔𝑡) −∞ +∞ 𝐴 𝑒 −𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) 𝐴 𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) 𝑑𝑥=1 Para adequar a solução geral de modo a representar o problema devemos escolher B = 0, pois este coeficiente está relacionado com o movimento no sentido negativo do eixo x. A2 −∞ +∞ 𝑑𝑥 =1 Dessa forma: Problema não Físico! Estamos querendo encontrar um elétron em uma região infinita... Apenas será verdade quando A = 0! Ψ 𝑥,𝑡 =𝐴 𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) Mas.... Se imaginamos uma região finita (uma caixa) de tamanho L, temos...

Uma Partícula que se move para a direita (x positivo) em uma distância L U = 0 A2 −∞ +∞ 𝑑𝑥 =1 A2 −𝐿/2 𝐿/2 𝑑𝑥 =1 Dessa forma: 𝐴2 𝐿 2 − − 𝐿 2 =1 𝐴= 1 𝐿 Ψ 𝑥,𝑡 = 1 𝐿 𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)

Exemplos: Verifique, por substituição na Equação , que as funções e 𝑒 𝑖𝑘𝑥 são solução da mesma quando Demonstre que 𝜓 𝑥 =𝑒 𝑖𝑘𝑥 é uma autofunção do operador momento linear p, com autovalor ** As duas funções são auto 𝜓1 𝑥 =𝑒 𝑖𝑘𝑥 e 𝜓2 𝑥 =𝑒 −𝑖𝑘𝑥 são autofunções da equação de Schrödinger com o mesmo autovalor de energia , mas com dois autovalores para o momento linear e 𝜕2𝜓(𝑥) 𝜕𝑥2 =−𝑘2𝜓(𝑥) 𝑘= 2𝑚𝐸 ℏ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) ℏ𝑘 𝐸= ℏ2𝑘2 2𝑚 ℏ𝑘 −ℏ𝑘

Solução Geral da Eq. de Schödinger p/ Particula Livre A velocidade de Fase e a Velocidade de Grupo: Da equação: Podemos obter: Onde v é a velocidade de fase, definida por: Já a velocidade de Grupo, associada à velocidade da partícula, pode ser calculada com base no pacote de onda que descreve a partícula, portanto definimos como: A velocidade de fase também pode ser calculada por meio da equação de onda! Ψ 𝑥,𝑡 =(𝐴 𝑒 𝑖𝑘𝑥 +𝐵 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 ) 𝑒 −𝑖𝐸𝑡/ℏ Ψ 𝑥,𝑡 =𝐴 𝑒 𝑖𝑘(𝑥−𝑣𝑡) +𝐵 𝑒 −𝑖𝑘(𝑥+𝑣𝑡) 𝑘= 2𝑚𝐸 ℏ 𝑣 𝑓 = 𝐸 ℏ𝑘 𝑣 𝑔 = 𝑑𝜔 𝑑𝑘 𝜕2Ψ(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡2 =𝑣2 𝜕2Ψ(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥2

Exercícios: Mostre que a velocidade de fase da onda descrita conforme a equação abaixo vale , ou seja metade da velocidade de uma partícula de massa m e momento ℏ𝑘 A velocidade da partícula deve ser associada a velocidade de grupo, que aparece quando há superposição de ondas planas de diferentes valores de k, formando um pacote de ondas. Mostre que 𝑣 𝑔 vale: Ψ 𝑥,𝑡 =(𝐴 𝑒 𝑖𝑘𝑥 +𝐵 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 ) 𝑒 −𝑖𝐸𝑡/ℏ 𝑣 𝑓 = ℏ𝑘 2𝑚 𝑣 𝑔 = 𝑑𝜔 𝑑𝑘 𝑣 𝑔 = ℏ𝑘 𝑚

Exercícios: Mostre que a densidade de probabilidade é constante ao longo do espaço para uma partícula livre: Ψ 𝑥,𝑡 =(𝐴 𝑒 𝑖𝑘𝑥 +𝐵 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 ) 𝑒 −𝑖𝐸𝑡/ℏ

RESUMO: Uma partícula livre é aquela que não sobre a influencia de nenhuma força e, portanto, tem associada uma energia potencial constante ou nula. Nesse caso, as soluções da equação de Schrödinger são ondas planas, com valores bem definidos de energia e momento linear e, portanto, incerteza infinita na posição. Em outras palavras, a densidade de probabilidade de se encontrar a partícula é constante em todo espaço.

O Poço de potencial Confinar uma onda em uma região finita leva à quantização do movimento, ou seja, à existencia de estados discretos para a onda, cada um com uma frequencia bem definida, portanto uma energia bem definida. Essa onservação é aplicavel a todos os tipos de ondas incluindo as ondas de matéria. Para ondas em cordas:

O Poço de potencial x U(x) L

O Poço de potencial De Broglie (onda de matéria)
Poço de potencial infinito com L = 100 pm

O Poço de potencial Para que um elétron confinado absorva um fóton, é preciso que a energia do fóton, hf, seja igual à diferença de energia, ΔE, entre a energia do estado inicial do elétron e a energia do outro estado permitido.

O Poço de potencial Exemplo:
Um elétron é confinado em um poço de potencial unidimensional infinitamente profundo de largura L = 100 pm. Qual a menor energia do elétron? Qual deve ser a energia fornecida ao elétron para que ele execute um salto quântico do estado fundamental para o segundo estado excitado. Se o elétron executou o salto quântico do item b), qual foi o comprimento de onda do fóton incidente? Depois que o elétron saltou ao segundo estado excitado, quais são os possíveis comprimento de onda de luz que podem ser emitidos ao retornar ao estado fundamental? A menor energia será do estado fundamental. b) Calcular:

O Poço de potencial c) Se o elétron executou o salto quântico do item b), qual foi o comprimento de onda do fóton incidente? d) Depois que o elétron saltou ao segundo estado excitado, quais são os possíveis comprimento de onda de luz que podem ser emitidos ao retornar ao estado fundamental? c) Sabendo a variação de energia, temos: d) O elétron pode saltar diretamente para o estado inicial emitindo um fóton correspondente a transição de n=3 para n=1, ou, pode saltar de n=3 para n=2 e depois para n=1: De n=3 para n=1, temos: De n=3 para n=2, temos: De n=2 para n=1, temos:

O Poço de potencial Da Equação de Schrödinger para U = 0 (dentro do poço infinito): Solução: Da condição de contorno: Onda estacionária – Sobreposição de duas ondas de mesma frequência, mesma velocidade, mas sentidos opostos:

O Poço de potencial Para encontrar a probabilidade em um intervalo Δx, de x1 até x2: Condição de normalização

O Poço de potencial Para nosso caso, o elétron certamente estará entre x=L e x=0: Para Grandes valores de n, o resultado previsto pela física quântica se assimila ao previsto pela física clássica.

O Poço de potencial A menor energia permitida para um elétron aprisionado em um poço de potencial infinito, a energia do estado fundamental, é dada pela equação acima apresentada quando n = 1. O elétron sempre estará no estado fundamental a menos que receba uma energia suficiente para transferi-lo para um estado excitado. “Quanto menor a massa maior a energia do estado fundamental.” “Em sistemas confinados não existem estados de energia zero.”

O Poço de potencial finito
Poço infinito = idealização Poço finito = mais realista U U(x) U0 x L Equação de Schrödinger: α2 sempre positivo!

𝛼 2 = 8𝜋2𝑚 ℎ2 (𝑈 𝑥 −𝐸) Dentro da barreira: 0>x>L 𝜓 𝑥 =𝐵1 𝑒 𝛼𝑥 +𝐵2 𝑒 −𝛼𝑥 Solução por partes: x<0 , B2 = 0: 𝜓 𝑥 =𝐵1 𝑒 𝛼𝑥 x>0 , B1 = 0: 𝜓 𝑥 =𝐵2 𝑒 𝛼𝑥 No intervalo: 0<x<L 𝜓 𝑥 =𝐴1 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 +𝐴2cos⁡(𝑘𝑥)

Se a energia do elétron for maior que a energia do poço, qualquer energia é permitida e o elétron não estará mais aprisionado. O maior estado quântico permitido para um elétron confinado em um poço de largura 100 pm e energia potencial de 450 eV é o terceiro estado excitado, n = 4. Quanto maior a energia do elétron, maior é a probabilidade de encontrar o elétron em uma região além das paredes do poço finito.

Exemplo: Um elétron está confinado em um estado fundamental de um poço finito de U0 = 450 eV e L = 100 pm. a) Qual é o maior comprimento de onda de luz capaz de libertar o elétron do poço de potencial por absorção de um único fóton? b) Um elétron inicialmente no estado fundamental pode absorver luz com um comprimento de onda de 2 nm? Em caso afirmativo, qual será a energia do elétron após a absorção? a) O comprimento de onda será proporcional a diferença de energia entre a altura do poço de potencial e a energia do estado fundamental. b) Caso o comprimento de onda de 2 nm render uma energia maior que a do poço de potencial, o elétron será ejetado com energia cinética não nula!

Até agora discutimos 2 tipos de armadilhas para elétrons: o poço de potencial finito e infinito. Nanocristalitos: Quanto menor L, maior a energia do fóton absorvido! Fótons com energias menores que E0 serão espalhados, portanto o maior comprimento de onda permitido na absorção de um fóton será c: Fotografia de duas amostras de seleneto de cádmio com diferentes tamanhos de grãos. A amostra que espalha luz amarela tem granulometria menor!

Arranjo esquemático mostrando um ponto quântico. O semicondutor forma um poço de potencial onde o elétron é aprisionado. A camada inferior de isolante, mais estreita, permite a entrada ou saída de elétrons no semicondutor, dependendo apenas do ajuste do potencial.

Átomos de Fe posicionado por meio da ponta de um microscópio de tunelamento sobre a superfície do Cobre.

O Poço de potencial Bidimencional
Solução de um Poço Infinito Unidimensional: Solução da função de onda para um Curral Bidimensional: Energia do Elétron:

Outras Armadilhas Eletrônicas:
Caixa Tridimensional Energia do Elétron:

Outras Armadilhas Eletrônicas
Exemplo: Um elétron é confinado em um curral quadrado, Lx = Ly = L (poço de potencial bidimensional infinito). Determine as energias dos cinco primeiros níveis de energias e construa um diagrama de níveis de energia. Qual a diferença de energia entre o estado fundamental e o terceiro estado excitado do elétron, em múltiplos de h2/8mL2. a) Das energias permitidas para um confinamento bidimensional: nx ny E (h2/8mL2) 1 2 5 8 3 10 13

Outras Armadilhas Eletrônicas
a) Determine as energias dos cinco primeiros níveis de energias e construa um diagrama de níveis de energia. nx ny E (h2/8mL2) 1 2 5 8 3 10 13

Efeito Túnel Versão Clássica
Um trenó, deslizando sem atrito, não consegue atingir o outro lado da colina caso a energia mecânica (energia cinética) for menor que a energia potencial associada com a colina.

Efeito Túnel A Mecânica Quântica prevê uma probabilidade não nula de encontrar o elétron do lado direito da barreira de potencial, em x > L.

Efeito Túnel Da equação de Schrödinger: Para x < 0: Ub = 0
Incidente Refletida Para 0 < x < L: Ub > E Incidente Refletida

Efeito Túnel Incidente Refletida Para x > L: Ub = 0
Usando os valores de Ub, E e L, assim como as condições de contorno em x = 0 e x = L, podemos calcular os coeficientes das soluções 1(x), 2(x), 3(x), da seguinte forma:

Efeito Túnel Incidente Refletida
Caso L for muito grande, L  , 2(x  ) = 0, e sendo assim D = 0. A Densidade de Probabilidade de encontrar um elétron em uma posição x positiva será proporcional a um decaimento exponencial. Quanto maior x, menor a densidade de probabilidade. Podemos então associar o coeficiente de transmissão como: Por exemplo: se T = 0,02, de cada 1000 elétrons que colidem contra a barreira 980 são refletidos e 20 são transmitidos.

Efeito Túnel Exemplo: Um elétron com energia E = 5,1 eV, incide sobre uma barreira de altura Ub = 6,8 eV e largura de 750 pm. Calcule a probabilidade aproximada de que o elétron atravesse a barreira.

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