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PROPRIEDADES DE UM GRUPÓIDE P1 – Em um grupóide (G, ) se existir elemento neutro, este é único. Como o resultado de uma operação é único, n 1 n 2 = n 1.

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1 PROPRIEDADES DE UM GRUPÓIDE P1 – Em um grupóide (G, ) se existir elemento neutro, este é único. Como o resultado de uma operação é único, n 1 n 2 = n 1 = n 2. Demonstração: Suponhamos que n 1 e n 2 são dois elementos de G tais que, x G, (1) n 1 x = x n 1 = x e, (2) n 2 x = x n 2 = x Seja então n 1 n 2. Se n 1 é o elemento neutro, devemos ter n 1 n 2 = n 2, de acordo com (1). Se n 2 é o elemento neutro, devemos ter n 1 n 2 = n 1, de acordo com (2). Portanto o elemento neutro é único.

2 P2 - Seja (G, ) um grupóide com elemento neutro n e uma operação associativa. então x é inversível e x 1 = x 2. Se x 1 G é o inverso de x à direita e x 2 G é o inverso de x à esquerda Pela definição de elemento neutro x 1 = x 1 n. Demonstração: De acordo com o enunciado, x 2 é o inverso à direita n = x x 2 Pode-se então escrever: x 1 = x 1 n = x 1 (x x 2 ). Como é associativa, x 1 = x 1 n = x 1 (x x 2 ) = (x 1 x ) x 2. Mas x 1 x = n, pois x 1 é o inverso de x à esquerda. Portanto: x 1 = x 1 n (pela definição de elemento neutro. ) = x 1 (x x 2 ) = (x 1 x ) x 2 = n x 2 = x 2 X é inversível pois o inverso à esquerda é igual ao inverso à direita. ATENÇÃO: Um grupóide associativo é um semi-grupo.

3 Aplicando o elemento inverso à direita prova-se também que y a = b tem, também, solução única. P3 - Sejam (G, ) um grupóide, uma operação associativa e a, b G. Se a é inversível, com inverso a, então a x = b e y a = b, têm solução única. as equações lineares Demonstração Mostremos inicialmente que a b é solução de a x = b. a x = a (a b) (Sendo x = a b, os resultados devem ser iguais.) a (a b) = (a a) b = ( é associativa, conforme enunciado.) = n b = (definição de inverso) = b (definição de elemento neutro). Do mesmo modo b a é solução de y a pois: y a = (b a) a = b (a a) = b n = b. Com relação à unicidade da solução teremos: se x 1 e x 2 são soluções de a x = b, teríamos a x 1 = a x 2 a (a x 1 ) = a (a x 2 ) (a a) x 1 = (a a) x 2 n x 1 = n x 2 x 1 = x 2. Nota: a demonstração não implica em que a solução de a x = b seja a mesma de y a = b sejam iguais.

4 EXEMPLO: Sendo A e B as matrizes abaixo, resolver as equações: (1) A.X = B e (2) X.A = B. A inversa da matriz A é: (1) AX = B X = A -1.B = (2) XA = B X = B.A -1 = A = B = A -1 = (-1) (-1).7 (-5) (-5) = (-5) 6.(-1) (-5) 9.(-1) = Os resultados são diferentes.

5 (5) o grupóide G admite a lei do cancelamento se o cancelamento for válido para todos os elementos de G. P4 – LEI DO CANCELAMENTO OU DO CORTE Seja (G, ) um grupóide. Se x, y, z G, (1) x z = y z x = y, então z é cancelável à direita para Å, e (2) z x = z y x = y, então z é cancelável à esquerda para Å, (3) z é cancelável para a operação Å, se z é cancelável à direita e à esquerda. (4) os termos simplificável e regular também podem substituir a denominação cancelável. Exemplo 1 – Em (N, +) é válida a lei do cancelamento = a + 5 a = 3 Exemplo 2 – Em (R, :) a lei do cancelamento não tem validade. 0 : 6 = 0 : 10 e 6 10.

6 1 - Considere a terna (Q,, *) onde as operações são definidas, respectivamente por: x y = x + y - 2 e x * y = x + y- xy/2. Verifique se (Q,, *) é um anel comutativo com elemento unidade. EXERCÍCIOS Solução: devemos verificar as propriedades (1)associativa, neutro, inverso e comutativa para a operação ; (2) associativa, neutro e comutativa para*; (3) Distributividade de * em relação a. Operação : - Associativa: (i) (a b) c = (a + b – 2) c = (a + b – 2) + c – 2 = a + b + c - 4 (ii) a (b c) = a ( b + c – 2) = a + (b + c – 2) – 2 = a + b + c - 4 As igualdade em (i) e (ii) comprovam a associatividade. - Comutativa: Provemos a comutatividade antecipadamente para evitar a verificação do neutro e do inverso à esquerda e à direita. a b = a + b – 2 = b + a – 2 (comutatividade da adição) = = b a (definição de ). Portanto, a b = b a.

7 - neutro (n) (i) Por definição da operação : a n = a + n – 2. (ii) Por definição de elemento neutro: a n = a. Comparando os resultados de (i) e (ii): a + n – 2 = a n = 2. Portanto, a operação admite elemento neutro que é: n = 2. - Inverso (inverso de a = a) (i) Por definição da operação : a a = a + a – 2. (ii) Por definição de inverso: a a = n. Como o neutro é igual a 2, devemos ter: a a = 2. Deste modo: a + a – 2 = 2 a = 4 – a. Portanto, o inverso de a, para a operação é 4 – a. Operação *: - Associativa (a + b - ) + c - ab 2 (a + b - ).c ab 2 2 = ab 2 (a * b) * c = (a + b – ) * c = (i) = (4a + 4b + 4c – 2ab – 2ac – 2bc + abc)/4 bc 2 bc 2 (ii) a * (b * c) = a * (b + c - ) = a + (b + c - ) - a.(b + c - ) bc 2 2 = = (4a + 4b + 4c – 2ab – 2ac – 2bc + abc)/4 A igualdade de (i) e (ii) mostra a validade da propriedade associativa.

8 - Neutro ou identidade (n) (i) a * n = a + n – an/2 (pela definição da operação) (ii) a * n = a (pela definição de neutro) Assim, a + n – an/2 = a n – an/2 = 0 n(1 – a/2) = 0 n = 0. - Distributividade de * em relação a Devemos verificar se a * (b c) = (a * b) (a * c). (i) a * (b c) = a * (b + c – 2) = a + (b + c – 2) – = a.(b + c – 2) 2 = (2a + 2b + 2c – 4 - ab + ac – 2a)/2 = (4a + 2b + 2c – 4 – ab – ac)/2 = = (4a + 2b + 2c – ab – ac - 4)/2. (ii) (a * b) (a * c) = ( a + b - ) (a + c - ) = ac 2 bc 2 = (a + b - ) + (a + c - ) – 2 = bc 2 ac 2 = (2a + 2b – bc)/2 + (2a + 2c – ac)/2 – 2 = = (4a + 2b + 2c – ab – ac - 4)/2. A igualdade de (i) e (ii) comprova a distributividade.

9 2 - Mostre que o grupóide (RxR, *), a operação * sendo definida por (a, b) * (c, d) = (a + c, b + d) é um grupo abeliano. Devemos provar que * é associativa, tem neutro, inverso e é comutativa. Solução - Associativa x * (y * z) = (x * y) * z (a, b) * [(c, d) * (e, f)] = (a, b) * (c + e, d + f) = = (a + c + e, b + d + f) = = ( (a + c) + e, (b + d) + f ) = (definição de *) (definição da operação) (associatividade da adição em R) = [(a + c), (b + d)]* (e, f) = (definição da operação) = [(a, b) * (c, d)] * (e, f). O que comprova a associatividade. - Comutativa x * y = y * x (a, b) * (c, d) = (a + c, b + d) = = (c + a, d + b) = = (c, d) * (a, b) (definição da operação) (comutatividade da adição em R) O que comprova a comutatividade. - Neutro x * n = x (a, b) * (n, n) = (a + n, b + n) (a + n, b + n) = (a, b) (1) a + n = a n = 0. (2) b + n = a n = 0 Portanto, (0, 0) é o elemento neutro. (definição da operação)

10 - Inverso (a -1 é o inverso de a) Por definição: a * a -1 = n, ou (a, b) * (a -1, b -1 ) = (0, 0) (a + a -1, b + b -1 ) = (0, 0) (definição da operação) a + a -1 = 0 a -1 = -a, e b + b -1 = 0 b -1 = -b. Portanto, (a, b) tem inverso (- a, - b). Como foi visto, * é associativa, tem neutro, tem inverso e é comutativa. Isto prova que: (RXR, *) é um grupo abeliano.


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