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Prof. Cesário. 6 – ESPAÇO PERCORRIDO E DESLOCAMENTO A tabela ao lado mostra o registro das das velocidades de um corpo. Instante (t) em s Velocidade (m/s)

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1 Prof. Cesário

2 6 – ESPAÇO PERCORRIDO E DESLOCAMENTO A tabela ao lado mostra o registro das das velocidades de um corpo. Instante (t) em s Velocidade (m/s) O gráfico v = f(t) desse movimento tem a forma: v(m/s) t(s) A equação da velocidade em função do tempo é: v = 3t 2 – 24t + 36.

3 Calculando as integrais nos intervalos 0 a 2 s, 2s a 6 s e 6s a 8 s, temos: 2 0 (3t 2 – 24t + 36)dt = t 3 – 12t t 0 2 = (3t 2 – 24t + 36)dt = t 3 – 12t t 2 6 = (3t 2 – 24t + 36)dt = t 3 – 12t t 6 8 = (3t 2 – 24t + 36)dt = t 3 – 12t t 0 8 = 32 O deslocamento foi de 32 m. Porém: no intervalo 0 a 2 s, o móvel percorreu 32 m no sentido positivo do eixo das posições pois, a velocidade era positiva; no intervalo 2 a 6 s, o móvel percorreu 32 m no sentido negativo do eixo das posições pois, a velocidade era negativa; e no intervalo 6 a 8 s, o móvel percorreu 32 m no sentido positivo do eixo das posições pois, a velocidade voltou a ser positiva. Isto significa que a distância realmente percorrida foi de = 96 m.

4 Do exposto pode-se concluir que: se v(t) tem raízes t 2, t 3,... t n-1 no intervalo t 1 a t n, para o calculo do deslocamento faz-se tntn t1t1 v(t)dt da distância efetivamente percorrida faz-se t2t2 t1t1 v(t)dt t3t3 t2t2 v(t)dt tntn t n-1 v(t)dt onde t 2, t 3,.... t n são as raízes de v(t) = 0. As barras indicam que se deve considerar os módulos (valores absolutos) das integrais definidas.

5 7 - ACELERAÇÃO Observe as posições inicial e final do ponteiro do velocímetro bem como a marcação no relógio. Início: v = 20 km/h e t = 15 h 22 min 10 s Final: v = 190 km/h e t = 15 h 22 min 26 s. início fim No intervalo de tempo t = 16 s a velocidade variou de 170 km/h. Tivemos então uma variação de 170/10 = 17 km/h em cada segundo. Esta variação da velocidade em uma unidade de tempo é denominada aceleração.

6 Expressando a aceleração matematicamente tem-se: Aceleração média: Aceleração instantânea: a = v t a = lim = v t t 0 dv dt Como foi visto anteriormente, a aceleração tem unidades: (a) km/h em cada segundo, que se escreve km/h-s (b) m/s em cada segundo, que se escreve m/s-s ou m/s 2. Responda: o que significa quando se diz que um corpo em queda livre (sem resistência do ar) tem aceleração de 9,8 m/s 2 ? NÃO LEIA A PRÓXIMA INFORMAÇÃO SEM ANTES RESPONDER Resposta – significa que à medida que o corpo cai, a velocidade aumenta de 9,8 m/s em cada segundo. Vejamos alguns exemplos:

7 Solução: a = v/ t = (100 – 10)/10 = 9 km/h-s Solução: como se quer a aceleração em m/s2, a velocidade deverá ser expressa em m/s. 72 km/h = 72 : 3,6 = 20 m/s a = v/ t = (0 – 20)/5 = - 4 m/s 2. Exemplo 1 – Um automóvel modifica sua velocidade de 10 km/h para 100 km/h num intervalo de tempo de 10 segundos. Qual é sua aceleração? Exemplo 2 – Um ônibus com velocidade de 72 km/h leva 5 segundos para para em uma freada brusca. Qual é, em m/s 2, sua aceleração? Exemplo 3 – Uma nave para viagens interplanetárias deve atingir a velocidade de 11 km/s = km/h para que possa se livrar a ação gravitacional da Terra. Ela é impulsionada por um foguete. Supondo que a aceleração da nave seja cerca de 7 vezes a aceleração da gravidade (9,8 m/s 2 ), quanto tempo leva a nave para atingir a velocidade de km/h? Solução: : 3,6 = m/s (convertendo em m/s) – velocidade final O foguete parte do repouso, a velocidade no início é zero. a = 7g = 7 x 9,8 = 68,6 m/s 2. a = v/ t 68,6 = (11000 – 0)/ t t = 11000/69,6 = 158 s = 2 min 38 s.

8 8 – O MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO Um movimento é dito uniformemente variado quando a aceleração é constante. Sejam então:a – aceleração v 0 – a velocidade no instante t = 0 (velocidade inicial) v – a velocidade no instante t x 0 – a posição no instante t = 0 x – a posição no instante t 0 0 t De a = dv/dt tira-se: dv = adt t v = at 0 t 0 t v – v 0 = at v = v 0 + at 0 t De v = dx/dt tira-se dx = vdt = (v 0 + at)dt 0 t 0 t x = v 0 t + (1/2)at 2 0 t 0 t x – x 0 = v 0 t + (1/2)at 2 ou x = x 0 + v 0 t + (1/2)at 2

9 As equações v = v 0 + at e x = x 0 + v 0 t + (1/2)at 2 são denominadas equações horárias da velocidade e da posição em um movimento uniformemente variado. 9 – OUTRAS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO Façamos x – x 0 = x Temos então as equações: v = v 0 + at (I) e x = v 0 t + (1/2)at 2 (II) Substituindo o valor de v 0 da equação (I) na equação (II) resulta: x = vt - (1/2)at 2 (III) Substituindo o valor de a da equação (I) na equação (II) resulta: x = (v + v 0 ).t/2 (IV) Substituindo o valor de t da equação (I) na equação (II) resulta: v = v a. x (V) Cada uma das equações apresentam 4 variáveis. Para resolver qualquer problema devemos ter 3 valores dados e um pedido. Estes 4 elementos identificam a equação a ser usada.

10 EXERCÍCIOS 01 – Uma esfera apresenta um movimento cuja aceleração varia com o tempo segundo a equação: a = 6t 2 + 4t + 12, t em segundos e a em m/s 2. Se no instante t = 0 a velocidade é 20 m/s e a posição é x = 100 m, determine: a) a equação da velocidade; b) a equação da posição; c) a velocidade no instante t = 5 segundos; d) a posição no instante t = 5 segundos; e) o deslocamento entre t = 2 e t = 5 segundos. 02 – Um movimento harmônico simples pode ser descrito pela equação x = A.cos (2 t/T) onde T é o período, A é a amplitude e x a posição O período é o tempo gasto para que o bloco percorra 4 amplitudes. Considere que, na figura A = 40 cm, T = 4 segundos e que no instante t = 0, o bloco passe pela posição de equilíbrio em movimento para a direita. a) escreva as equações da velocidade e da aceleração em função do tempo; b) qual a velocidade no instante t = 1/3 s? c) quais são as velocidades nos instantes t = 1 e t = 3 segundos? d) qual é a aceleração no instante t = 7/3 s?

11 3 - Um caminhão passa às 7 h pelo km 50 e às 12 h do mesmo dia pelo km 350. a) Qual foi a velocidade escalar média desse caminhão nesse percurso ? b) Sabendo-se que o limite de velocidade nessa estrada é 80 km/h, é possível garantir-se que em nenhum momento essa velocidade foi ultrapassada ? 4 - Em uma avenida de uma cidade, existem semáforos regularmente espaçados a cada 500 m. Se em todos os semáforos a luz vermelha (sinal de parada) permanece acesa durante 40 s, qual deve ser a velocidade média, em km/h, para que um carro não pare nos semáforos dessa avenida? 5 - Dois móveis A e B movimentam-se ao longo do eixo x, obedecendo às equações móvel A: x A = ,0t e móvel B: x B = 5,0t 2, onde x A e x B são medidos em m e t em s. Pode-se afirmar que: a) A e B possuem a mesma velocidade; b) A e B possuem a mesma aceleração; c) o movimento de B é uniforme e o de A é acelerado; d) entre t = 0 e t = 2,0s ambos percorrem a mesma distância; e) a aceleração de A é nula e a de B tem intensidade igual a 10 m/s2.

12 6 - Um móvel parte do repouso com aceleração constante de intensidade igual a 2,0 m/s 2 em uma trajetória retilínea. Após 20s, começa a frear uniformemente até parar a 500m do ponto de partida. Em valor absoluto, qual foi a aceleração de freada? 7 - Uma motocicleta pode manter uma aceleração constante de intensidade 10 m/s 2. Qual é a velocidade inicial de um motociclista, com esta motocicleta, que deseja percorrer uma distância de 500m, em linha reta, chegando ao final desta com uma velocidade de intensidade 100 m/s? 8 - Um ponto material parte do repouso em movimento uniformemente variado e, após percorrer 12 m, está animado de uma velocidade escalar de 6,0 m/s. A aceleração escalar do ponto material, em m/s vale:


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