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ÁLGEBRA LINEAR Professora: Itaciane T.B. Tomasini Formação: Engenharia Agrícola –UFV, MG.

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1 ÁLGEBRA LINEAR Professora: Itaciane T.B. Tomasini Formação: Engenharia Agrícola –UFV, MG. Matemática –UNIUBE, MG. Especialização : Matemática- Faculdade da Região dos Lagos, RJ.

2 Álgebra Linear O desenvolvimento da Álgebra Linear tem origem nos estudos de Sistemas de Equações Lineares. Atualmente, é uma área da matemática, que estuda vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, matrizes e sistemas de equações lineares que são utilizados nas técnicas que são essenciais para os cientistas. Desta forma, embora seja Álgebra Linear um campo abstrato da Matemática, ela tem um grande número de aplicações nas ciências e na Matemática.

3 Plano de Ensino Objetivos Desenvolver os conceitos fundamentais da Álgebra Linear. Habilitar o estudante para a compreensão e utilização de métodos básicos necessários à resolução de problemas que podem ser modelados matematicamente fornecendo subsídios teóricos matemáticos para a aplicação da Álgebra Linear na Engenharia.

4 Unidade 1 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E MATRIZES 1.1. Sistemas de Equações : Introdução 1.2. Solução Sistemas de equações Lineares pelo método da eliminação 1.3. Matrizes: Definição 1.4. Tipos especiais de matrizes 1.5. Operações com matrizes 1.4. Solução Sistemas de equações Lineares pelo método: Método de Gauss

5 Unidade 2 2. DETERMINANTES E MATRIZ INVERSA 2.1. Introdução: Conceitos preliminares. Propriedades 2.2 métodos de cálculos do determinante: Desenvolvimento de Laplace, Regra de Cramer e Método da triangulação 2.3. Matriz Inversa: Definição e propriedades

6 Unidade 3 3. ESPAÇOS VETORIAIS 3.1. Vetores no plano e no espaço: representação geométrica, comprimento, vetor unitário 3.2. Operações com vetores no plano e no espaço 3.3. Definição e propriedades de espaço vetorial 3.4. Subespaços Vetoriais: Definição 3.5. Combinação Linear: Definição 3.5.Dependência e Independência Linear 3.6. Base e Dimensão de Espaço vetorial

7 Unidade 4 4.TRANSFORMAÇÕES LINEARES 4.1. Transformações Lineares: Definição 4.2. Transformação do Plano no Plano

8 BIBLIOGRAFIA BOLDRINI, José Luiz. ET AL. Álgebra Linear. 3ed. São Paulo: Harper How do Brasil, DAVID, c. Geometria Analítica. 2ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, KOLMAN, B. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Livros técnicos e científicos, LIPSCHULTZ, s. Álgebra Linear: teoria e problemas. 3ed. (coleção Schaum). São Paulo: Makron Books, LEITHOLD, Louis. O cálculo com Geometria Analítica. Vol.1. 3ed. São Paulo: Harbra Itda.

9 Distribuição das notas: Nesta disciplina o aluno terá que atingir 60% de 100 pontos distribuídos em duas provas valendo 35 pontos cada uma e atividades diversas (pesquisas e apresentações, lista de exercícios, participação, etc.) no valor de 30 pontos.

10 1- SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Muitos problemas que ocorrem em engenharia e nas ciências físicas, assim como nas ciências naturais e sociais, envolvem equações lineares. Uma equação linear é uma equação do tipo a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b. que expressa b em termos das variáveis (incógnitas) x 1, x 2, x 3,...x n e das constantes a 1, a 2, a 3,..a n. Em muitas aplicações, dados os valores de b e das constantes a 1, a 2, a 3,..a n. é preciso determinar os valores das incógnitas x 1, x 2, x 3,...x n que satisfazem a equação.

11 Por exemplo, uma solução para a equação linear 2x - y + 3z = 9 é dada por x =1, y = 2 e z = 3 (verifique), mas x = 5, y = 4 e z =1 também é uma solução (verifique). De uma maneira geral, um sistema linear de m equações com n incógnitas, ou simplesmente um sistema linear, é uma coleção de m equações lineares, cada uma delas envolvendo n incógnitas. Denotamos tal sistema linear da seguinte forma:

12

13 onde aij e bj são números reais dados. O objetivo é determinar os valores das incógnitas x 1, x 2,..., x n que satisfaçam todas as equações de. Em aij os índices i e j são utilizados da seguinte maneira: o índice i indica qual equação estamos considerando e o índice j está associado à incógnita que estamos considerando, ou seja, i indica a i - ésima equação e j indica a j -ésima incógnita (xj ).

14 Exemplo 1: Considere o sistema linear: X – 3Y = -3 2X + Y = 8 Qual a solução desse sistema? RESOLVA Para resolvermos esse sistema podemos utilizar o método de eliminação. Após resolvê-lo percebemos que ele tem uma única solução e pode ser representado geometricamente pelo gráfico abaixo. A intersecção nas retas ocorre nos ponto (3, 2) que representa a solução do sistema.

15 (3,2)

16 Exemplo 2: Um nutricionista está planejando uma refeição contendo os alimentos A, B e C. Cada grama do alimento A contém 2 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidratos. Cada grama do alimento B contém 3 unidades de proteína, 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidrato. Cada grama do alimento C contém 3 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidrato. Se a refeição precisa conter exatamente 25 unidades de proteína, 24 unidades de gordura e 21 unidades de carboidrato, quantas gramas de cada tipo de alimento devem ser usados? RESOLVA NO CADERNO REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO SISTEMA:

17

18 Cada equação representa um plano e a solução do sistema é a intersecção destes três planos num único plano. Outros Exemplos: Resolva o seguinte sistema de equações lineares: x +2y -3z =-4x + 2y =10 2x +y -3z = 4 2x – 2y = -4 3x + 5y = 20

19 Com os exemplos feitos até agora, podemos perceber que o método de eliminação consiste na aplicação repetida de algumas operações: i. troca de ordem das equações; ii. multiplicação de uma das equações por uma constante diferente de zero; iii. adição de uma equação a um múltiplo de outra equação.

20 É importante observarmos que o método de eliminação fornece outro sistema que possui exatamente a mesma solução do sistema original. Descrevemos o método de forma bastante geral, sem a preocupação de explicitarmos a forma de escolher a incógnita a ser eliminada em cada passo do processo de solução. Mais adiante, faremos uma descrição sistemática deste método. Porém, antes disso, introduziremos, na próxima seção a noção de matriz. Isto simplificará muito a nossa notação e fornecerá ferramentas que permitem resolver muitos problemas importantes.

21 Exercícios propostos 1) Resolva cada sistema linear abaixo usando o método de eliminação: a)3x + 5y =1 b) x + y + z = 1 2x + z =-4 2x + 5y -2z = 3 5x + y – z =o c) x + 3y = -4 2x + 5y = -8 x + 3y = -5

22 2) Uma refinaria produz combustível com baixo e com alto teor de enxofre. Cada tonelada de combustível com baixo teor de enxofre necessita de 5 minutos no setor de mistura e de 4 minutos no setor de refinaria, por outro lado, cada tonelada de combustível com alto teor de enxofre necessita de 4 minutos no setor de mistura e de 2 minutos no setor de refinaria. Se o setor de mistura fica disponível por 3 horas e o setor de refinaria por 2 horas, quantas toneladas e cada tipo de combustível devem ser produzidos de modo que esses dois setores não fiquem ociosos?

23 Matrizes Descrevemos o método de eliminação para resolver sistemas lineares. Examinando este método com mais cuidado, podemos observar que apenas os números em frente das incógnitas x 1, x 2,..., x n estão sendo modificados ao efetuarmos as operações necessárias. Dessa forma, podemos pensar em uma maneira de representar um sistema linear sem ter que ficar repetindo as incógnitas. Nesta seção, vamos definir um objeto que vai nos permitir escrever um sistema linear de uma forma mais compacta. Esse objeto é uma matriz. Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, ao recolhermos os dados referentes às notas de três alunos em uma etapa escolar, podemos dispô-los na seguinte tabela:

24 AULA 2

25 Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas, resulta na matriz: MatemáticaQuímicaFísica Aluno1879 Aluno2685 Aluno3768

26 Outros exemplos de matrizes: 1 2x 23 0x 331

27 Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, ou ainda outras matrizes. Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por:

28 = a ij * m linhas e n colunas denotada por A mxn * a ij é o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna.

29 Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes, e quando quisermos especificar a ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas), escrevemos A mxn.

30 A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturaisnaturais Nesse exemplo, o elemento a 12 é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

31 Qual é o elemento a 11, a 22, a 23? * Duas matrizes A e B são iguais, se elas têm o mesmo número de linhas e colunas, e todos os seus elementos correspondentes são iguais ( a ij = b ij )

32 Tipos especiais de matrizes Algumas matrizes recebem nomes especiais devido a quantidade de linhas ou colunas, ou ainda pela natureza de seus elementos. Matriz quadrada * m=n * diagonal principal *Ordem

33 Matriz Nula * aij = 0, para todo e j. Matriz Coluna *n=1

34 Matriz Linha *m=1 Matriz Diagonal * m=n onde aij =o, para ij, isto é que os elementos que não estão na diagonal são nulos.

35 Matriz Identidade Quadrada *É aquela em que aii = 1 e aij =0, para ij Matriz Triangular Superior * m=n e aij =o, para i > j

36 Matriz Triangular Inferior * m=n e aij =o, para i < j Matriz Simétrica * m=n e aij= aji

37 Matriz transposta Dada uma matriz A do tipo m x n, chama-se transposta de A e indica-se por A t a matriz que se obtém trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas de A. A operação de obtenção de uma matriz transposta de A é denominada transposição da matriz. Observe o exemplo:matriz

38 Note que A é do tipo 3 x 2 e A t é do tipo 2 x 3 e que, a matriz transposta, a primeira linha corresponde à primeira coluna da matriz original e a segunda linha à segunda coluna, também da matriz original. Igualdade de matrizes Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais. Assim, se A=(a ij ) e B=(b ij ) são matrizes do tipo m x n, então:

39 Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais

40 Adição de matrizes Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B. Exemplo: *Dada as matrizes A e B determine A+B.

41 Propriedades da adição Sendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de mesmo tipo e p, q R, valem as propriedades: - Comutativa: A+B = B+A - Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C - Elemento neutro: A+O = O+A = A

42 Matriz oposta Chama-se matriz oposta de A a matriz –A, cuja soma com A resulta na matriz nula. Exemplo: Dada a matriz: A oposta de A será:

43 Multiplicação por um Número Real Multiplicar um número por uma matriz A é obter a matriz KA, cujos elementos são os elementos de A multiplicados todos por K.

44 AULA 3

45 Multiplicação de matrizes- Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita.

46

47 Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas). Exemplo 1:

48

49 Exemplo 2

50 Problemas onde podemos aplicar multiplicação de matrizes: A)Em um projeto de pesquisa sobre dieta participam adultos e crianças de ambos os sexos. A distribuição dos participantes no projeto é dada pela matriz

51 A quantidade de gramas de proteína, gordura e carboidrato consumidos diariamente pelas crianças e adultos é dado ela matriz

52 A quantidade total (em gramas) de proteína, gordura e carboidrato consumidos diariamente por homens e mulheres é dado pelo produto das matrizes A e B:

53 A primeira linha da matriz AB fornece os números que representam as quantidades totais consumidas diariamente por homens e os números da segunda linha representam as quantidades totais consumidas diariamente por mulheres. A primeira coluna representa o consumo de proteína, a segunda o consumo de gordura e a terceira o consumo de carboidrato. Portanto, a quantidade total de carboidrato consumido diariamente por mulheres é de 8000 gramas e o por homens é de 5200 gramas.

54 Observe que nos produtos de matrizes efetuados nos dois exemplos acima, cada um dos elementos da matriz-resultado é obtido a partir de uma linha da primeira matriz e uma coluna da segunda. Agora faça você o problema seguinte utilizando multiplicação de matrizes. B) Suponhamos que um professor utilize quatro tipos de avaliação para determinar a média de uma disciplina: listas de exercícios, seminário, uma prova oral e uma prova final. Seus pesos são de 10%, 30%, 30% e 30%, respectivamente. Se as notas de um estudante forem 90, 80, 50 e 60, respectivamente, calcular sua média na disciplina

55 AULA 4

56 Propriedades do produto de matrizes: Sejam as matrizes A, B e C, de forma que o produto entre elas esteja bem definido. Então, valem as seguintes propriedades: i. A.I = I.A = A (existência do elemento neutro da multiplicação de matrizes) ii. A.(B+ C) = A.B + A.C (distributividade) iii. (A.B).C = A.(B.C) (associatividade) iv. (A.B) T = B T.A T v. 0.A = A.0 = 0

57 Exemplificando a propriedade i

58 Exemplificando a propriedade iii

59

60 Propriedade iv Dadas as matrizes Temos que:

61 EXERCÍCIOS 1) Sejam as matrizes Calcule se possível: a)A.B b) A+B c) B.C d)D t e) D t.C f) 3(B-D) g) -2A t + 3D h) D.C 2) Seja A=.Se A=A t então determine o valor de x.

62 3) Seja A= uma matriz quadrada de ordem 2 tal que aij= 2i – j e seja B=. Calcule a matriz X tal que X + 2A = B.

63 AULA 5

64 SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES Nos estudos anteriores abordamos o assunto sistemas lineares, descrevendo de forma rápida o método de eliminação para a solução de tais sistemas. Nesta seção iremos formalizar o método de eliminação, obtendo dessa forma, uma metodologia bastante útil na resolução de sistemas lineares. Como sabemos um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto do tipo:

65 Ou de uma forma compacta A.X=B onde,

66 Podemos escrever o sistema na forma matricial: Onde,

67 Matriz dos coeficientes Matriz das incógnitas Matriz dos termos independentes

68 Podemos também associar ao sistema uma matriz, chamada matriz ampliada do sistema: Usaremos esta matriz ampliada na solução dos sistemas lineares. Vejamos um exemplo. Considere o sistema:

69 A matriz aumenta do sistema é: Agora faremos as seguintes operações: *troca-se a linha 1 pela linha 2: *no lugar da linha 2 coloca-se a linha 2 mais a linha 1 vezes -2

70 Essa nova matriz representa o sistema: Cuja a solução é: y=-1 e x=3.(-1) +6= 3

71 Segue que a solução do sistema linear inicial também é y = 1 e x = 3. Utilizamos aqui o método da eliminação(que já discutimos antes), para resolver o sistema, porém em uma linguagem mais compacta e mais simples. Neste exemplo, vimos que dois sistemas lineares diferentes têm as mesmas soluções. Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes se, e somente se, toda solução de qualquer um dos sistemas também é solução do outro. Mais adiante vamos determinar uma forma de encontrar um sistema linear equivalente a outro, cuja solução é facilmente encontrada. Para isso, precisamos manipular a matriz aumentada do sistema, através de operações elementares sobre as linhas dessa matriz. A seguir, definimos as operações elementares sobre as linhas de uma matriz.

72 Uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz é uma das seguintes operações: i. Trocar a posição de duas linhas de uma matriz ii. Multiplicar uma linha de uma matriz por um escalar diferente de zero iii. Substituir uma linha de uma matriz por ela mesma somada a um múltiplo escalar de outra linha A aplicação dessas operações em um sistema linear não modifica a solução do sistema.

73 Dois sistemas lineares que possuem matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes Então, dado um sistema linear Ax=b, como resolvê- lo ? * 1º passo: determinamos sua matriz aumentada [A|b] * 2º passo: realizamos operações elementares sobre as linhas dessa matriz até encontrar uma nova matriz cujas soluções do sistema associado sejam facilmente encontradas. Note que isso nada mais é do que um processo de eliminação. * 3º passo: resolvemos o sistema equivalente obtido.

74 A forma como se realiza o 2º passo origina os métodos de eliminação de Gauss e de Gauss- Jordan. Definiremos a seguir, o método de Gauss- Jordan. Método de Gauss-Jordan Este método consiste na aplicação de operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada até transformá-la em uma matriz na forma escalonada reduzida. Não se preocupe. Uma matriz na forma escalonada reduzida será definida daqui a pouco. O importante é que o novo sistema linear obtido (equivalente ao sistema original) é facilmente resolvido.

75 Considere, inicialmente, o seguinte sistema de equações lineares Matriz ampliada: (troca-se a linha 1 pela linha 2) Realizamos agora um número finito de operações elementares sobre as linhas dessa matriz até encontrar uma matriz cuja solução do sistema associado seja de fácil resolução. Vejamos:

76 Essa é a matriz aumentada do sistema linear:

77 que fornece a solução do sistema original. Logo, a solução do sistema Observamos neste exemplo que a matriz dos coeficientes foi transformada na matriz identidade. Obtemos então uma nova matriz ampliada cujo sistema associado é de fácil solução. Essa nova matriz ampliada é um exemplo de matriz na forma escalonada reduzida.

78 Definição 1.8: Uma matriz A = [aij] m×n está na forma escalonada reduzida se: i. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas; ii. O primeiro elemento não nulo de uma linha (chamado de pivô) é igual a 1. iii. O pivô de cada linha não nula ocorre a direita do pivô da linha de cima; iv. Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de uma linha, o pivô, tem todos os seus outros elementos iguais a zero.

79 Quando a matriz está na forma escalonada o método de solução de sistemas lineares utilizado é conhecido como o Método de Gauss ou eliminação de Gauss. Exemplo 1:

80 Exemplo 2

81 Exemplo 3

82 Em geral, em um sistema linear com m equações e n incógnitas pode ter: i. Uma única solução; ii. Infinitas soluções; iii. Nenhuma solução. Observação 1: Quando um sistema tem uma única solução, dizemos que é um sistema possível e determinado; quando tem infinitas soluções, dizemos que é um sistema possível e indeterminado e quando não tem nenhuma solução, dizemos que o sistema é impossível.

83 Observação 2: Para encontrarmos a solução de um sistema linear não precisamos, necessariamente, transformar a matriz aumentada do sistema na sua forma escalonada reduzida, mas se a matriz está nesta forma, o sistema associado é o mais simples possível. Este método é conhecido como método de Gauss ou eliminação de Gauss. O método de Gauss é um dos mais adotados quando se faz uso do computador, devido ao menor número de operações que envolve.

84

85 AULA 6

86 Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, o sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo: Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0. Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não-trivial.

87 Se dois sistemas lineares, S 1 e S 2, admitem a mesma solução, eles são ditos sistemas equivalentes. Veja o exemplo: Como os sistemas admitem a mesma solução {(1, -2)}, S 1 e S 2 são equivalentes.

88 2. Seja o sistema: Calcule k para que o sistema seja homogêneo. Exercícios Propostos: 1.Seja o sistema a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S. b)Verifique se (0,0,0) é solução de S.

89 3. Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas e 4. Expresse matricialmente os sistemas: a) b) 5. A expressão matricial de um sistema S é:

90 Determine as equações de S. 6.Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo: a) b) c)

91 7. (FEI – SP) Se x = A, y = B e z = C são as soluções do sistema, então ABC vale: a)-5b) 8c) -6d) -10 e) 5

92 DETERMINANTE

93 Determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número. Como estamos considerando neste fascículo, somente matrizes reais, então os determinantes calculados serão todos números reais. Denotamos o determinante da matriz A por detA ou. A definição do determinante é dada de maneira recursiva, isto é, o determinante de uma de uma matriz de ordem n é definido em termos do determinante de matrizes de ordem menores do que n. Inicialmente, vamos definir o determinante de matrizes 1×1 e 2× 2.

94 Em seguida, veremos que o cálculo de determinante de matrizes de ordem 3 utiliza determinantes de matrizes de ordem 2 e 1. Vejamos: Se A = [ a 11 ] é uma matriz 1×1, definimos o determinante de A por detA = a 11. Se é uma matriz 2× 2, o determinante de A é dado por ou seja, detA é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária da matriz. EXEMPLOS: vamos calcular o determinante de:

95

96 Determinante de 3a Ordem Para o cálculo de determinantes de ordem 3 podemos utilizar uma regra prática, conhecida como Regra de Sarrus, que só se aplica a determinantes de ordem 3. passo 1: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

97 passo 2: Devemos encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:

98 passo 3: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:

99 Assim, subtraindo o segundo produto do primeiro, podemos escrever o determinante como:

100 Exemplo: Calcule o determinante da matriz:

101 Agora, vamos à definição de determinante de uma matriz qualquer nxn. Seja a matriz quadrada A = [aij] n×n. O determinante de A, denotado por detA ou, é definido por Onde, é o cofator do elemento aij. A expressão (2.6) é chamada desenvolvimento em cofatores em relação a linha i ou desenvolvimento de Laplace. Uma forma análoga é válida para as colunas, ou seja, podemos calcular o determinante usando o desenvolvimento em cofatores em relação a uma coluna.

102 Considere o exemplo: o determinante da matriz A usando a terceira coluna é dado por:

103 Propriedades dos Determinantes i. Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A são iguais a zero então detA = 0. ii. O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, ou seja, detA = det(AT ). iii. O determinante de uma matriz quadrada A que tem duas linhas ou duas colunas iguais é zero. iv.

104 v. Multiplicando uma linha de uma matriz por uma constante diferente de zero o determinante fica multiplicado por essa constante. vi. Trocando-se a posição de duas linhas de uma matriz, o determinante dessa matriz muda de sinal. vii. O determinante não se altera se a uma linha de uma matriz for somada outra linha multiplicada por uma constante. viii. O determinante de um produto é o produto dos determinantes, ou seja, det(AB) = detAdetB. ix. O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

105 EXEMPLOS:Calcule os determinantes abaixo analisando as propriedades. a) c) b)d)

106 e) L1=L3 f) Observe que as matrizes se diferem apenas na segunda linha. Obtemos uma matriz C tal que:

107 g) Considere as matrizes: Calcule e compare e h) Multiplicando a primeira linha de A pela constante K= -5 obtemos a matriz B. Calcule e compare o detA e detB.

108 i) Trocando as linhas de posição obtemos a matriz B, calcule e compare o detA com o detB. j) Realizando a seguinte operação: obtemos uma matriz B

109 Compare detA com detB. l) Calcule e compare detA.detB com det(A.B) m)

110 Método da Triangularização A propriedade (ix) é essencial para determinarmos outra forma de calcular o determinante de uma matriz, chamada de método da Triangularização. Este método consiste em aplicarmos as operações elementares (propriedades (v), (vi) e (vii)) sobre as linhas da matriz até que esta se transforme em uma matriz triangular superior. Daí, o determinante da matriz é facilmente calculado. É importante saber o que cada operação elementar promove no determinante de uma matriz. O quadro abaixo exibe as mudanças que ocorrem no determinante quando operações elementares são realizadas.

111 Operação ElementarMudança ocorrida no determinante Trocar a posição de duas linhas (Li Lj) O determinante muda de sinal Multiplicar uma linha de uma matriz por uma constante diferente de zero (Li KLi) O determinante fica multiplicado pela constante Substituir uma linha de uma matriz por ela mesma somada a um múltiplo escalar de outra linha (Li Li + KLj) O determinante não muda

112 Exemplo: Vamos calcular o determinante da matriz A usando o método da triangulação: Devemos transformar A numa matriz triangular superior. Isso é feito via operações elementares. Devemos também tomar cuidado para registrarmos as mudanças ocorridas no determinante em cada passo do processo. A primeira operação elementar a ser realizada em A é a permutação das linhas 2 e 3 ( L2 L3).

113 Como essa operação resulta numa mudança de sinal do determinante de A, então devemos multiplicar o determinante da matriz obtida por -1. Isso resulta em detA= (-1) det A próxima operação elementar é: Como sabemos, essa operação não afeta o determinante. Portanto,

114 detA= (-1) det Agora, fazemos. Neste caso o determinante fica multiplicado por. Então, devemos multiplicá- lo por 4 para não haver alteração no determinante de A. Dessa forma,

115 detA= (-1).4. Agora realizando a operação que não altera o determinante, obtemos:

116 detA= (-1).4. Note que este último determinante é facilmente calculado, pois temos uma matriz triangular. Portanto: detA=(-1).4.15/4 = -15 Observações: Podemos resumir o procedimento do cálculo do determinante de uma matriz pelo método da Triangularização da seguinte forma:

117 i. Quando utilizamos a operação elementar de troca de duas linhas, o determinante fica multiplicado por -1. Assim, devemos multiplicar o determinante da matriz que estamos calculando por -1 para que o determinante não fique alterado; ii. Analogamente a i, quando utilizamos a operação elementar de multiplicação de uma linha por uma constante o determinante fica multiplicado pela constante. Assim, devemos multiplicar o determinante pelo inverso da constante para que o determinante que estamos calculando não fique alterado;

118 iii. Quando utilizamos a operação elementar de somar a uma linha outra linha multiplicada por uma constante, o determinante não muda. Neste caso, nada é feito. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1) Calcule usando o método da triangulação o determinante das matrizes:

119 A= B= 2)Dadas as matrizes A= B= Calcule: a)detA+detB b)det(A+B) c)detAdetB d)Det(AB)

120 4) Admita que det = 3 calcule: a) det c)det b) det d)det

121 e)

122 Agora que você já conhece e sabe calcular determinantes voltemos aos sistemas. Solução de sistemas lineares - REGRA DE CRAMER A regra de Cramer diz que: Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante Dx i (que si obtém substituindo os coeficientes do xi pelos termos independentes), ou seja: x i = Dx i / D

123 Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: x + 3y - 2z = 3 2x - y + z = 12 4x + 3y - 5z = 6 Calculando os determinantes:

124

125 Portanto, pela regra de Cramer, teremos: x 1 = D x 1 / D = 120 / 24 = 5 x 2 = D x 2 / D = 48 / 24 = 2 x 3 = D x 3 / D = 96 / 24 = 4 Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }. Resolva o sistema a seguir usando a regra de Cramer: a) x + 3y - 2z = 3 2x - y + z = 12 4x + 3y - 5z = 6

126 b)2 x + 5y + 3z = 20 5 x + 3y - 10z = - 39 x + y + z = 5

127 Matriz Inversa Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se existir uma matriz quadrada B, de mesma ordem, que satisfaça AB=BA=I n Onde I n é a matriz identidade de ordem n, dizemos que B é a inversa de A e que A é inversível (ou invertível). Se essa matriz B não existir, dizemos que A é não inversível (ou não invertível). Com base na definição acima, segue-se que se AB = BA = I, então A é também uma inversa de B.

128 Exemplo 1: Sejam Como

129 concluímos que B é uma inversa de A e que A é inversível. Uma inversa de uma matriz, se existir, é única. De fato, se B e C são ambas inversas de A, então : B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. e

130 Como uma matriz inversível A possui somente uma inversa, falaremos a partir de agora na inversa de A. Representaremos a inversa de A, se existir, por 1 Assim, AA 1 = A 1 A = I n. Exemplo 2: Considere a matriz Queremos determinar a inversa de A. Se A admite uma inversa, então existe uma matriz

131 tal que AB = BA = I 2. Fazemos então

132 Esta última igualdade resulta em dois sistemas lineares, cada um com duas equações e duas incógnitas: e Ambos os sistemas não tem solução (Faça as contas!!!). Portanto, a matriz A não admite inversa. Isso mostra que nem toda matriz possui inversa.

133 Exemplo 3: Considere a matriz Se A admite uma inversa então existe uma matriz Tal que AB=BA=I 2. Então:

134 Esta última igualdade resulta em dois sistemas lineares cada um com duas equações e duas incógnita: e Resolvendo cada um dos sistemas obtemos: Portanto a matriz A é inversível e sua inversa é:

135 Verifique se :

136 Vimos no exemplo 3 que para determinar a inversa de uma matriz de ordem 2 foi necessário resolver dois sistemas lineares, cada um com duas equações e duas incógnitas. Se quisermos encontrar a inversa de uma matriz de ordem 3, usando o mesmo procedimento do exemplo 3, teremos que resolver três sistemas lineares, cada um com três equações e três incógnitas. Percebe como este procedimento não é muito amigável para determinarmos a inversa de uma matriz? Pois, para encontrar a inversa de uma matriz de ordem n é necessário resolver n sistemas lineares, cada um com n equações e n incógnitas. Imagine n=5 ou n=6 ou até mesmo n de ordem superior.

137 Devemos então, encontrar outro procedimento mais eficiente para calcular a inversa de uma matriz. Esse novo método faz uso das operações elementares sobre as linhas de uma matriz, já vistas anteriormente. Um Método Prático Para Determinar A 1 Vamos agora desenvolver um procedimento para determinar a inversa de uma matriz. No capítulo 1 foi visto que Duas matrizes A e B são equivalentes se B é obtida de A aplicando-se uma sequência finita de operações elementares sobre as linhas de A.No desenvolvimento deste método precisamos do seguinte resultado.

138 Seja A uma matriz de ordem n. Então A é inversível se, e somente se, A é equivalente a matriz I n. Além disso, se A é inversível, a mesma sequência de operações elementares que transformam A em In, transformam In na inversa de A. O resultado acima afirma que realizando um número finito de operações elementares sobre as linhas de uma matriz quadrada A ela pode ser transformada na matriz identidade. O importante é que se A é inversível, a mesma sucessão de operações elementares que transformam A em In, transformam In na inversa de A. Isso é a base para o nosso novo procedimento para inversão de matrizes.

139 Vamos calcular a inversa (caso seja possível) da matriz Coloque a matriz A e a matriz identidade de ordem 3 lado a lado: Agora, realizamos operações elementares sobre as linhas da matriz [A|I] até que A se transforme na matriz identidade. As mesmas operações elementares que transformam A em I, transforma I no bloco direito na matriz inversa de A. Vejamos:

140

141

142

143 Portanto A é inversível e sua inversa é:

144 Vamos calcular a inversa da matriz: a) b) OBS:Uma matriz quadrada de ordem n, A, admite inversa se, e somente se, detA0. Exercícios : 1)Calcule se existir a inversa das matrizes:

145 2) Em cada um dos casos abaixo calcule a multiplicação e verifique se B é inversa de A. a) b) c) d)

146 3) Sejam as matrizes A e B, determine A -1, B -1, (AB) -1. 4) Pesquise um terceiro método de calcular a matriz inversa (cofatores e determinantes), explique e de exemplos.


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