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Introdução • Ponto A, B, C,... Reta r, s, p,... Plano ß,Ω,...

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2 Introdução Ponto A, B, C,... Reta r, s, p,... Plano ß,Ω,...

3 O ponto A pertence à reta r O ponto B não pertence à reta r
Relação entre um ponto e uma reta r O ponto A pertence à reta r O ponto B não pertence à reta r A B

4 Os pontos A, B e C são colineares Os pontos D, E e F são colineares
Relação entre pontos A D B F C E Os pontos A, B e C são colineares (existe uma reta que passa pelos três) Os pontos D, E e F são colineares (não existe reta que passa pelos três simultaneamente)

5 Relação entre duas retas de um plano
c m r p a e n b

6 No exemplo anterior, temos:
As retas c e m são distintas e paralelas; As retas b e e são concorrentes e oblíquas; As retas a e r são coincidentes (paralelas iguais); As retas p e n são concorrentes e perpendiculares.

7 Ponto e Reta e Ponto e Plano
Dado um ponto P e uma reta r, temos P ɛ r ou P ɇ r Dado um ponto P e um plano α, temos P ɛ α ou P ɇ α Exemplo: B A D C E X

8 No exemplo anterior, temos:
B ɛ r; B ɇ s; D ɛ s; D ɇ r; A ɛ r; A ɛ s, E ɇ r; E ɇ s

9 Posições de pontos no espaço
Pontos colineares A• B • C• Pontos tais que existe uma reta à qual eles pertençam simultaneamente.

10 Pontos tais que existe um plano que os contém simultaneamente.
Pontos coplanares •X •L •A Pontos tais que existe um plano que os contém simultaneamente.

11 Posições relativas de 2 retas no espaço
Duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano que contém todas elas. AB,BC,CD,DA e AC são coplanares porque o plano (ABCD) as contém.

12 Retas coplanares que não têm ponto comum são chamadas de retas paralelas distintas.
CD e GH, AD e EH, CG e DH  

13 Retas que têm um único ponto comum são chamadas retas concorrentes.
FG e GH, CG e FG, AD e DH, etc.

14 Duas retas concorrentes são sempre coplanares.
Observações: Duas retas concorrentes são sempre coplanares. Dadas duas retas, quando não existe um plano contém as duas, elas são chamadas de retas reversas (ou não coplanares)

15 Duas retas no espaço Concorrentes Coplanares Distintas Paralelas
Coincidentes ( iguais) Não coplanares (reversas)

16 Determinação de um plano
Um único plano passa por três pontos não colineares. Um plano, também pode ser determinado por: uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:

17 duas retas distintas concorrentes:

18 duas retas distintas:

19 Posições relativas entre dois planos no espaço
Dois planos irão assumir no espaço as seguintes posições relativas entre si: Planos paralelos, Planos secantes e Planos coincidentes.

20 Planos paralelos Dois planos são considerados paralelos se não possuírem pontos em comum ou se uma reta pertencente ao plano α for paralela a uma reta pertencente ao plano β.

21 Planos secantes Dois planos são secantes quando forem distintos e a intersecção entre eles formar uma reta.

22 Planos coincidentes Planos coincidentes equivalem a um mesmo plano. Ou seja, todos os seus infinitos pontos e planos pertencem ao outro.

23 Posições relativas de uma reta e um plano
Existem três tipos de posições, sendo: contida, incidente e paralela.

24 Contida Quando a reta estiver contida no plano , ou seja, quando todos os pontos de r pertencerem ao plano a. a e r tem em comum todos os pontos de r

25 Incidente Quando a reta tem somente um ponto uniforme com o plano. Ou seja, quando a reta r tem o ponto P em comum com o plano a, ela intersecta o plano em um determinado ponto.

26 Paralela Quando a reta não tem nenhum ponto em comum com o plano, ou seja, a reta r está paralela ao plano a. r e a não tem pontos em comum.

27 Paralelismo no espaço Regra
As retas só são paralelas quando na possuem nenhum ponto em comum com a outra. Ou seja, duas retas distintas somente são paralelas quando não possuem pontos em comum.

28 Exemplo Em dois planos paralelos podem existir retas que não sejam paralelas. Retas paralelas podem existir em planos que não sejam paralelos.

29 1ª Propriedade Quando dois planos distintos estão paralelos, qualquer reta pertencente a um deles é paralela a o outro plano.

30 2ª Propriedade Quando a reta é paralela a um plano, ela é paralela a pelo menos uma reta deste plano.

31 3ª Propriedade Quando uma reta não estiver contida num plano ela vai estar paralela a uma reta do plano e ao plano.

32 4ª Propriedade Quando um plano intersecta (“fura”) dois planos paralelos, as intersecções vão formar duas retas paralelas.

33 5ª Propriedade Quando um plano possui duas retas concorrentes, paralelas a um outro plano, logo os planos considerados também são paralelos.

34 Perpendicularismo no Espaço
Em geometria, perpendicularidade  (ou ortogonalidade, cujo símbolo é ┴) é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) fazem um ângulo de 90º.

35 Z e Y são retas concorrentes e perpendiculares
Retas perpendiculares Z e Y são retas concorrentes e perpendiculares Z ┴ Y

36 Retas ortogonais Retas que determinam quatro ângulos congruentes. Se forem concorrentes, serão perpendiculares e retas ortogonais são retas que determinam quatro ângulos congruentes.

37 Reta e plano perpendiculares
Uma reta que intersecta um plano é perpendicular a ele se ela é perpendicular a todas as retas desse plano que passam pelo ponto de intersecção.

38 Se uma reta intersecta um plano e não é perpendicular a ele, dizemos que ela é obliqua ao plano.
Gráfico 1 Gráfico 2 No Gráfico 1, t é perpendicular a α e no Gráfico 2 R é oblíqua a α

39 Por outro lado, bastam duas retas concorrentes,
Para uma reta ser perpendicular a um plano α é preciso ser perpendicular a duas retas concorrentes contidas em α, ou seja, são necessárias duas retas porque uma reta não é suficiente para garantir o perpendicularismo. Por outro lado, bastam duas retas concorrentes, ou seja, elas são suficientes, pois essas duas concorrentes já determinam o plano α.

40 1ª Propriedade Para que uma reta seja perpendicular a um plano, é necessário e suficiente que ela seja perpendicular a duas retas concorrentes contidas nesse plano. Ǝ r, s e t | s ⊂α, t ⊂α, s ∩ t = {P}, r ┴ s e r ┴ t ⇔ r ┴α

41 2ª Propriedade Dados um ponto P e uma reta r, existe um único plano que passa por P e é perpendicular a r. P e r ⇒Ǝ α | P € α e r ┴α

42 3ª Propriedade Se uma reta é perpendicular a um plano, qualquer reta paralela a ela também é perpendicular ao plano. r┴ α e s // r ⇒ s ┴α

43 4ª Propriedade Se dois planos são paralelos, toda reta perpendicular a um deles é também perpendicular ao outro. α // β e r ┴α⇒ r ┴β

44 Retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas.
Planos perpendiculares a uma mesma reta são paralelos.

45 Planos Perpendiculares
Um plano é perpendicular a outro quando e somente quando existe uma reta contida em um deles e perpendicular ao outro. β┴α⇔Ǝ r ⊂β | r ┴ α

46 Se dois planos concorrentes não são perpendiculares, dizemos que são oblíquos.
Se dois planos α e β são oblíquos e a reta r está contida em α, então r não é perpendicular a β. Quando uma reta é perpendicular a um plano, todos os planos que a contêm são perpendiculares ao plano inicial.

47 1ª Propriedade Se uma reta r e um plano α são ambos perpendiculares a um plano β, a reta r é paralela ao plano α.

48 2ª Propriedade Se dois planos α e β se intersectam segundo uma reta r e se y é um outro perpendicular a cada m dos planos α e β. Então y é perpendicular à reta r.

49 Então, se B é um ponto de r, a reta AB é perpendicular à reta s.
Teorema das 3 Perpendiculares Dados: uma reta r perpendicular a um plano α no ponto P; uma reta s, contida em α, que não passa por P; uma reta t, contida em α, que passa por P e é perpendicular a s no ponto A. Então, se B é um ponto de r, a reta AB é perpendicular à reta s.

50 Simbolicamente: r ┴ α, r ∩ α = {P} s ⊂ α, P ∉ s t ⊂ α, P ∈ t, t ┴ s, t ∩ s = {A} B ∈ r

51 Projeção ortogonal Postulados/Axiomas
Ocorre quando há intersecção de um plano com sua reta perpendicular através de um ponto, formando assim uma projeção ortogonal de um ponto sobre o plano, ou seja, o ponto P’ é a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano α.

52 Obs: Quando o P ϵ α, os pontos P’ e P coincidem, ou seja, P’ = P

53 De uma figura qualquer sobre um plano
Ocorre quando as projeções de uma figura geométrica (qualquer conjunto de pontos) sobre um plano, formando uma projeção ortogonal de todos os pontos sobre o plano.

54 Há uma projeção ortogonal da figura geométrica F sobre o plano α.
Exemplo: Há uma projeção ortogonal da figura geométrica F sobre o plano α.

55 Casos particulares 1º - A projeção ortogonal de uma reta sobre uma plano pode ser tanto uma reta como um ponto

56 2º - A projeção ortogonal de um segmento sobre um plano pode ser um segmento ou um ponto.

57 Distâncias A distância entre dois pontos distintos pode formar um segmento. Dados os pontos a e b, a distância entre eles forma o segmento A͞B, se A e B coincidirem, dizemos que a distância entre eles é zero. B A

58 A distância do ponto P à reta r é a distância entre os pontos P e A.
Distância de um ponto a uma reta Tendo um ponto P e uma reta r, podemos traçar uma reta que passa por P sendo perpendicular a r, no ponto A. A distância do ponto P à reta r é a distância entre os pontos P e A.

59 Distância de um ponto a um plano
Dados um ponto P e um plano α, podemos determinar P’, que é a projeção ortogonal de P sobre α. A distância do ponto P ao plano α é igual a distância entre os pontos P e P’.

60 Distância entre duas retas distintas e paralelas
A distância entre duas retas paralelas pode formar um reta perpendicular a partir de qualquer ponto entre as retas paralelas. Dadas as r e s paralelas, os pontos A e B formam outra reta perpendicular.

61 Distância entre uma reta a um plano
Quando a reta é paralela ao plano e não está contida nele A distância entre uma reta paralela e um plano pode formar outra reta, que estará contida entre a reta paralela e o plano, a partir de qualquer ponto da reta paralela. A distância da reta r e o plano α paralelos da origem a reta P e P’ a partir do ponto P da reta r.

62 Distância entre dois pontos distintos e paralelos
Distância formada a partir de qualquer ponto de dois planos distintos e paralelos.

63 Dados os planos α e β distintos e paralelos forma-se uma reta entre os pontos P do plano α e P’ do plano β.

64 A distância entre r e s é a distância desse ponto a esse plano.
Distância entre duas retas reversas Distância formada a partir de qualquer ponto da reta r reversa e o plano α paralelo, que contem s. A distância entre r e s é a distância desse ponto a esse plano.

65 O método dedutivo: algumas demonstrações
Postulados/Axiomas Propriedades aceitas como verdadeiras sem demonstração Dados dois pontos distintos do espaço, existe uma, e somente uma, reta que os contém. Dados 3 pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um, plano que os contém.

66 Teoremas Demonstrados a partir dos postulados e de outros teoremas já demonstrados, usando argumentação lógica. Existe um único plano α que contém uma reta r e um ponto pertencente a ela. Demonstração P

67 A e B são distintos pertencentes a r;
Existência P não pertence a r; A e B são distintos pertencentes a r; P, A e B são colineares. Como, por um postulado, existe um único plano α contendo A, B e P, e como a reta r tem dois de seus pontos (A e B) em α, r está contida em α. Assim, de fato existe um plano contendo r e P. P

68 Todo plano que contiver r e P, conterá A e B.
Unicidade Todo plano que contiver r e P, conterá A e B. Logo, será o plano α. Dados uma reta r e um ponto A não pertencente a r, existe uma reta que passa por A e é paralela a r. P

69 Centro Educacional Monteiro Lobato
MATEMÁTICA Professor Renilson Ribeiro Grupo Ana Luíza Anne Lula Jamille Marina Amorim Tarciso Reis Vinícius David Brumado/BA, Jun/2012 2º ano EM


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