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Prof. Ernesto Lindstaedt

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Apresentação em tema: "Prof. Ernesto Lindstaedt"— Transcrição da apresentação:

1 Prof. Ernesto Lindstaedt
Introdução a Árvores Prof. Ernesto Lindstaedt

2 Introdução Estrutura de dados adequada para representar e manipular informação hierárquica Exemplos de aplicação: Estrutura de diretórios (pastas) em um sistema de arquivos Organograma de uma empresa/instituição Expressão aritmética Estrutura de classes de uma API

3 Definição Uma árvore T é um conjunto finito de elementos denominados nós ou vértices tais que: T = 0 é a árvore dita vazia ou Existe um nó r, chamado raiz de T; os nós restantes constituem um único conjunto vazio ou são divididos em m1 conjuntos distintos não vazios que são as sub-árvores de r, cada sub-árvore a qual é, por sua vez, uma árvore.

4 Sub-árvores: definições
Notação: Se v é um nó de T,então a notação Tv indica a sub-árvore de T com raiz em v Seja a árvore TA = {A, B, ...} A árvore TA possui duas sub-árvores: Tb e Tc onde Tb = { B } e Tc = {C, D, ...} A sub-árvore Tc possui 3 subárvores: Td , Tf e Te onde Td = {D, G, H} Tf = {F, I} Te = {E} As sub-árvores Tb, Te, Tg, Th, Ti possuem apenas o nó raiz e nenhuma sub-árvore.

5 Outro exemplo:

6 Mais definições... Seja v o nó raiz da subárvore Tv de T Nós filhos
os nós w1, w2, ... Wj, raízes das subárvores de Tv, são chamados filhos de v. Pais, tios, irmãos e avô O nó v é chamado pai de w1, w2, ... wj. Os nós w1, w2, ...wj são irmãos. Se z é filho de w1 então w2 é tio de z e v é avô de z. Nó descendente e ancestral Se x pertence à subárvore Tv, então x é descendente de v e v é ancestral, ou antecessor, de x.

7 Exemplo:

8 Mais definições... Grau de saída
Grau de saída: número de filhos de um nó; Nó folha Nó que não possui descendentes, ou seja, um nó folha é aquele com grau de saída nulo. Nó interior ou interno Nó que não é folha (isto é, possui grau de saída diferente de zero). Grau de uma árvore Valor máximo entre os graus de seus nós.

9 Exemplo:

10 Mais definições... Floresta Conjunto de zero ou mais árvores
Caminho na árvore Seqüência de nós distintos v1, v2, ..., vk, tal que existe sempre entre nós consecutivos (isto é, entre v1 e v2, entre v2 e v3, ... , v(k-1) e vk) a relação "é filho de“ ou "é pai de" Comprimento do caminho Um caminho que passa por vk vértices é obtido pela seqüência de k-1 pares. O valor k-1 é o comprimento do caminho.

11 Exemplo de floresta:

12 Exemplo de caminho:

13 Mais definições... Nível (ou profundidade) de um nó
O nível ou profundidade de um nó é o número de nós do caminho da raiz até o nó (raiz tem nível 1) Altura de um nó v Número de nós no maior caminho de v até um de seus descendentes (folhas têm altura 1) Altura de uma árvore T ou h(T) Máximo nível de seus nós (a altura da sub-árvore de raiz v é representada por h(v) )

14 Exemplo de níveis:

15 Caminhamento em Árvores - Amplitude
Visitar cada nó começando no de menor nível e mover-se para os níveis mais altos, nível após nível, visitando cada nó da esquerda para a direita: Breadth - First Search (BFS) Fila: 13 13 Fila: 10, 25 Fila: 25, 2, 12 10 25 Fila: 2, 12, 20, 31 Fila: 12, 20, 31 2 12 20 31 Fila: 20, 31 Fila: 31 29 Fila: 29 Percurso: 13, 10, 25, 2, 12, 20, 31, 29 15

16 Caminhamento em Árvores - Profundidade
O caminhamento em profundidade prossegue tanto quanto possível à esquerda (ou direita), então se move para trás até a primeira encruzilhada, vai um passo para a direita (ou esquerda) e novamente, tanto quanto possível, para a esquerda (ou direita). Deapth - First Search (DFS) V – Visitar um nó L – Percorrer à esquerda R – Percorrer à direita VLR VRL LVR RVL LRV RLV 13 10 25 2 12 20 31 29 Percurso: 2, 12, 10, 20, 29, 31, 25, 13 16


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