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Aula 26 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas e Triplas.

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Apresentação em tema: "Aula 26 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas e Triplas."— Transcrição da apresentação:

1 Aula 26 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas e Triplas

2 Mudança de Variável No Cálculo I (Substituição de variável) onde e Outro modo de escrever é o seguinte:

3 Coordenadas Polares Onde é a região no plano que corresponde à região no plano

4 Mudança de variável De modo mais geral, no Cálculo II, consideremos uma mudança de variável dada pela transformação do plano no plano onde ou, como às vezes escrevemos

5 Transformação inversa Se é injetora, então existe uma transformação inversa do plano para o plano e pode ser possível inverter as equações para escrever em termos de

6 Transformação e sua Inversa

7 Exemplo 1 Uma transformação é definida pelas equações Determine a imagem do quadrado

8 Solução A transformação leva a fronteira de na fronteira da imagem. Assim, começamos por determinar a imagem dos lados de

9 Solução O primeiro lado, é dado por Das equações dadas, temos e portanto Então é levado no segmento de reta que liga a no plano

10 Solução O segundo lado, é dado por e substituindo nas equações dadas, temos Eliminando obtemos que é parte de uma parábola.

11 Solução Da mesma forma, é dado por cuja imagem é o arco parabólico Finalmente, é dado por cuja imagem é isto é,

12 Solução

13 Jacobiano Definição: O jacobiano da transformação dada por e é

14 Mudança de Variáveis em uma Integral Dupla Suponha que seja uma transformação cujo jacobiano seja não nulo e leve uma região do plano para uma região do plano Suponha que seja contínua sobre e que e sejam regiões planas do tipo I ou II. Suponha ainda que seja injetora, exceto possivelmente nos pontos de fronteira de. Então

15 Exemplo 2 Utilize a mudança de variáveis para calcular a integral onde é a região delimitada pelo eixo e pelas parábolas e

16 Solução

17 No Exemplo 1, descobrimos que onde é quadrado A razão que nos levou a fazer a mudança de variável para calcular a integral é que é uma região muito mais simples que O jacobiano é dado por:

18 Solução Portanto,

19 Exemplo 3 Calcule a integral onde é a região trapezoidal com vértices e

20 Solução Como não é fácil integrar diretamente, vamos fazer a mudança de variáveis dada pela forma da função: Essas equações definem a transformação do plano para o plano.

21 Jacobiano

22 Região S Para determinar a região do plano correspondente a, observamos que os lados de estão sobre as retas e as retas imagem do plano são Então, a região é a região trapezoidal com vértices e

23 Solução

24

25 Mudança de variável na integral tripla Definição: O jacobiano da transformação dada por é o determinante

26 Mudança de variável na integral tripla Sob hipóteses semelhantes àquelas usadas para a mudança de variável na integral dupla, temos a seguinte fórmula para integrais triplas:

27 Exemplo 4 Utilize a fórmula anterior para deduzir a fórmula para a integração tripla em coordenadas esféricas. Solução: Aqui a mudança de variáveis é dada por

28 Jacobiano

29 Como temos Portanto,

30 Fórmula

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