Carregar apresentação
PublicouVítor Caetano Alterado mais de 10 anos atrás
1
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas e Triplas
Aula 26 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas e Triplas
2
Mudança de Variável No Cálculo I (Substituição de variável) onde e Outro modo de escrever é o seguinte:
3
Coordenadas Polares Onde é a região no plano que corresponde à região no plano
4
Mudança de variável De modo mais geral, no Cálculo II, consideremos uma mudança de variável dada pela transformação do plano no plano onde ou, como às vezes escrevemos
5
Transformação inversa
Se é injetora, então existe uma transformação inversa do plano para o plano e pode ser possível inverter as equações para escrever em termos de
6
Transformação e sua Inversa
7
Exemplo 1 Uma transformação é definida pelas equações Determine a imagem do quadrado
8
Solução A transformação leva a fronteira de na fronteira da imagem. Assim, começamos por determinar a imagem dos lados de
9
Solução O primeiro lado, é dado por Das equações dadas, temos e portanto Então é levado no segmento de reta que liga a no plano
10
Solução O segundo lado, é dado por e substituindo nas equações dadas,
temos Eliminando obtemos que é parte de uma parábola.
11
Solução Da mesma forma, é dado por cuja imagem é o arco parabólico
Finalmente, é dado por cuja imagem é isto é,
12
Solução
13
Jacobiano Definição: O jacobiano da transformação dada por e é
14
Mudança de Variáveis em uma Integral Dupla
Suponha que seja uma transformação cujo jacobiano seja não nulo e leve uma região do plano para uma região do plano Suponha que seja contínua sobre e que e sejam regiões planas do tipo I ou II. Suponha ainda que seja injetora, exceto possivelmente nos pontos de fronteira de . Então
15
Exemplo 2 Utilize a mudança de variáveis para calcular a integral onde é a região delimitada pelo eixo e pelas parábolas e
16
Solução
17
Solução No Exemplo 1, descobrimos que onde é quadrado A razão que nos levou a fazer a mudança de variável para calcular a integral é que é uma região muito mais simples que O jacobiano é dado por:
18
Solução Portanto,
19
Exemplo 3 Calcule a integral onde é a região trapezoidal com vértices e
20
Solução Como não é fácil integrar diretamente, vamos fazer a mudança de variáveis dada pela forma da função: Essas equações definem a transformação do plano para o plano .
21
Jacobiano
22
Região S Para determinar a região do plano correspondente a , observamos que os lados de estão sobre as retas e as retas imagem do plano são Então, a região é a região trapezoidal com vértices e
23
Solução
24
Solução
25
Mudança de variável na integral tripla
Definição: O jacobiano da transformação dada por é o determinante
26
Mudança de variável na integral tripla
Sob hipóteses semelhantes àquelas usadas para a mudança de variável na integral dupla, temos a seguinte fórmula para integrais triplas:
27
Exemplo 4 Utilize a fórmula anterior para deduzir a fórmula para a integração tripla em coordenadas esféricas. Solução: Aqui a mudança de variáveis é dada por
28
Jacobiano
29
Jacobiano Como temos Portanto,
30
Fórmula
31
Obrigado !
Apresentações semelhantes
© 2024 SlidePlayer.com.br Inc.
All rights reserved.